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3.4 SISTEMI NEWTONIANI

 

Sommario I sistemi newtoniani sono quelli in cui è assegnata un'accelerazione; si riducono a sistemi dinamici introducendo come variabili sia la posizione che la velocità. La funzione energia è conservata oppure dissipata, e le sue proprietà di monotonia sono utili per la costruzione di funzioni di Lyapounov e di insiemi invarianti.

Sistemi conservativi ad un grado di libertà

Il caso in cui è più semplice costruire una funzione di Lyapounov  è quello del sistema newtoniano ad un grado di libertà  , che è un'equazione differenziale di ordine  2 in tex2html_wrap_inline34960 :

displaymath37702

con f(x) una funzione di classe tex2html_wrap_inline34382 su un intervallo (a,b) (eventualmente tex2html_wrap_inline37710 , tex2html_wrap_inline37712 ). Ponendo tex2html_wrap_inline37714 si ottiene un sistema dinamico in tex2html_wrap_inline34636 :

displaymath37718

L'ipotesi f di classe tex2html_wrap_inline34382 si può rilassare, come si vedrà nella Sezione 5.2.

Questi sistemi newtoniani ad un grado di libertà hanno sempre un integrale primo . Infatti se E(x,y) è una funzione tex2html_wrap_inline34382 :

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e quindi si ottiene tex2html_wrap_inline37730 ponendo, per esempio:

displaymath37732

da cui:

displaymath37734

I due addendi di E possono essere interpretati come energia cinetica  (si intende per unità di massa ) tex2html_wrap_inline37738 ed energia potenziale  tex2html_wrap_inline37740 , e quindi E=T+V è l'integrale dell'energia .

Si usa la notazione tex2html_wrap_inline37744 per indicare la derivata seconda della coordinata x, ed anche la derivata totale seconda di una funzione di x,y:

displaymath37750

L'energia E è costante su ogni soluzione, e può essere impiegata per costruire funzioni di Lyapounov:

Teorema di stabilità del minimo :  Nel sistema newtoniano tex2html_wrap_inline37754 ad un grado di libertà, se tex2html_wrap_inline34488 è un punto in cui tex2html_wrap_inline37758 ha un minimo locale, tex2html_wrap_inline37760 è un punto di equilibrio stabile  (ma non asintoticamente stabile ).

Dimostrazione:

 C.D.D.

Si noti che se il minimo è non degenere, cioè tex2html_wrap_inline37792 , allora il sistema linearizzato  in tex2html_wrap_inline37768 è del tipo centro :

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con matrice jacobiana ed equazione caratteristica:

displaymath37798

con radici immaginarie pure tex2html_wrap_inline37800 ; le parti immaginarie sono frequenze tex2html_wrap_inline37802 . Dunque gli esponenti di Lyapounov sono zero, eppure si riesce a dimostrare che il punto di equilibrio è stabile. Inoltre il teorema di stabilità di Lyapounov si applica anche al caso di un minimo degenere, con tex2html_wrap_inline37804 , come in Figura 3.2.

  figure6344
Figure 3.1:  Curve di livello nel caso di un massimo non degenere e di un minimo non degenere dell'energia potenziale.

Vale il teorema inverso, dimostrato da Cetaev: se tex2html_wrap_inline37806 , ma tex2html_wrap_inline34488 non è un punto di minimo locale dell'energia potenziale, allora tex2html_wrap_inline37768 è un punto di equilibrio instabile . La dimostrazione è tutt'altro che banale.

I sistemi newtoniani ad un grado di libertà sono integrabili  in un senso che sarà precisato nella Sezione 5.2. Il comportamento qualitativo delle soluzioni, non solo nell'intorno dei punti di equilibrio stabili ma globalmente, può essere descritto tracciando le curve di livello della funzione energia nel piano (x,y). Per questo si può utilizzare il metodo grafico seguente: si disegni il grafico della funzione z=V(x), utilizzando la conoscenza del segno della sua derivata -f(x) (attenzione al segno -).

Ad ogni minimo di V(x), cioè per esempio ad ogni punto tex2html_wrap_inline34488 in cui f(x) passa da positiva a negativa, corrisponde un punto di minimo di E(x,y), quindi un punto di equilibrio stabile del sistema dinamico. Approssimando E(x,y) con il suo sviluppo di Taylor, con centro tex2html_wrap_inline37768 , fino al secondo ordine:

eqnarray6353

Le curve di livello di E(x,y) corrispondenti a valori immediatamente superiori al minimo si chiudono attorno al minimo, come in Figura 3.1 a destra, approssimativamente come ellissi:

displaymath37834

Analogamente, ad ogni massimo di V(x) corrisponde un punto stazionario di E(x,y) che non è di estremo ma di sella; le curve di livello si comportano, in un intorno della sella, come in Figura 3.1 a sinistra, cioè approssimativamente come le iperboli

displaymath37840

Il termine `sella' si usa sia per i punti stazionari delle funzioni di due variabili che hanno matrice hessiana con autovalori discordi, sia per i punti di equilibrio dei sistemi dinamici che hanno il linearizzato con matrice ad autovalori discordi. Per i sistemi newtoniani le due condizioni coincidono, quindi l'uso della stessa parola non genera ambiguità.

Le curve di livello E(x,y)=c incrociano la retta y=0 nel piano (x,y) nei punti tex2html_wrap_inline37848 in cui tex2html_wrap_inline37850 , con tangente verticale se tex2html_wrap_inline37852 . Se invece tex2html_wrap_inline37854 la curva di livello non è regolare in tex2html_wrap_inline37856 ; per esempio se tex2html_wrap_inline37858 è un massimo, si ha un punto di sella a cui arrivano quattro rami di curva di livello, con due tangenti distinte.

  figure6363
Figure 3.2:  Curve di livello nel caso di un massimo degenere e di un flesso a tangente orizzontale dell'energia potenziale.

Nel caso `eccezionale' che il potenziale abbia un punto stazionario degenere, con tex2html_wrap_inline37860 ma tex2html_wrap_inline37862 , l'espansione di Taylor della funzione E(x,y) in tex2html_wrap_inline37768 comincia con:

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con m>2, e la curva di livello E=c può essere approssimata, in un intorno di tex2html_wrap_inline37768 , con

displaymath37876

che è una cuspide per m dispari ed una coppia di curve con tangenti orizzontali coincidenti per m pari ed tex2html_wrap_inline37882 , come in Figura 3.2.

  figure6376
Figure 3.3:  Curve di livello dell'energia in un sistema newtoniano tracciate a partire dal grafico dell'energia potenziale.

Si possono costruire graficamente in modo globale le curve di livello E(x,y)=c tracciando la retta z=c nel piano (x,z) e facendo corrispondere ad ogni punto del grafico z=V(x) che sta 'sotto' la retta (z<c) una coppia di punti nel piano (x,y) con la regola:

displaymath37896

In questo modo si ottengono due archi di curva, simmetrici rispetto alla retta y=0il cui andamento come grafico y=y(x) rispecchia gli alti e bassi del grafico z=V(x) (al contrario, per y>0), come in Figura 3.3.

  figure6383
Figure 3.4:  Pendolo nonlineare conservativo, per g/l=1; la figura è periodica nella variabile x.

Esempio:

Problema Un'asta di lunghezza L ruota su un piano orizzontale intorno ad un proprio estremo fisso A, con velocità angolare tex2html_wrap_inline35724 . In A è fissata una carica positiva Q, mentre una carica opposta -Q è libera di scorrere senza dissipazione lungo l'asta, partendo inizialmente da una distanza di L/2 da A. Per quali valori di tex2html_wrap_inline35724 la carica -Q abbandona l'asta ?

Suggerimento: Se x è la distanza da A sull'asta di -Q, bilanciando l'attrazione coulombiana con la forza centrifuga ...

Esercizio Studiare l'equazione tex2html_wrap_inline37754 nei casi in cui

(Soluzione)

Sistemi con dissipazione

Un altro tipo di sistemi dinamici per i quali la costruzione di una funzione di Lyapounov è automatica è quello in cui ad un sistema newtoniano si aggiunge un termine di dissipazione, proporzionale alla derivata prima. Un sistema dissipativo ad un grado di libertà   è un'equazione differenziale di ordine 2 in tex2html_wrap_inline34960 :

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con tex2html_wrap_inline36486 un coefficiente di dissipazione ed f(x) una funzione di classe tex2html_wrap_inline34382 su di un intervallo (a,b) (eventualmente tex2html_wrap_inline37710 , tex2html_wrap_inline37712 ). Ponendo tex2html_wrap_inline37714 si ottiene un sistema dinamico in tex2html_wrap_inline34636 :

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Si utilizza come funzione di Lyapounov la stessa funzione energia del caso senza dissipazione:

displaymath37734

che però non è più un integrale primo:

displaymath38010

ma è una funzione non crescente sulle orbite.

I punti di equilibrio sono i punti dell'asse x corrispondenti ai punti stazionari di V(x). Se tex2html_wrap_inline34488 è tale che tex2html_wrap_inline37806 , il sistema linearizzato in tex2html_wrap_inline37768 è

displaymath38022

con matrice jacobiana ed equazione caratteristica

displaymath38024

per tex2html_wrap_inline38026 gli autovalori sono reali discordi, per cui si ha ancora un punto di equilibrio di tipo sella nonlineare . Invece per tex2html_wrap_inline38028 (cioè quando tex2html_wrap_inline34488 è un punto di minimo non degenere per V(x)), gli autovalori sono complessi coniugati tex2html_wrap_inline38034 , con frequenza dell'oscillazione smorzata  tex2html_wrap_inline38036 : dunque gli esponenti di Lyapounov sono negativi, ed il punto di equilibrio è un pozzo, in particolare asintoticamente stabile.

Poiché tex2html_wrap_inline38038 è una funzione di Lyapounov, il teorema di stabilità di Lyapounov assicura che i punti di equilibrio corrispondenti ai minimi di V(x) sono stabili. Questo è vero anche per i minimi degeneri.

Poiché tex2html_wrap_inline38038 è una funzione di Lyapounov ma non una funzione di Lyapounov stretta , il teorema di stabilità di Lyapounov non può essere usato per assicurare la stabilità asintotica. Quindi per esempio nel caso di un minimo degenere non si può giungere ad una conclusione sulla stabilità asintotica, a meno di impiegare il teorema più forte della funzione di Lyapounov decrescente .

Nel caso dei sistemi dissipativi, poiché la funzione energia è definita globalmente (cioè su tex2html_wrap_inline38044 ), è possibile ottenere informazioni sui bacini di attrazione dei vari punti di equilibrio. A questo scopo occorre introdurre la nozione di insieme invariante per il flusso:

Definizione:

Esempio:

Teorema della funzione di Lyapounov decrescente :  Sia S un punto di equilibrio per un sistema dinamico continuo definito nell'aperto W, e sia L(X) una funzione di Lyapounov  in W per S. Se P è un intorno di S chiuso  e positivamente invariante, tale che su nessun'orbita contenuta in P la funzione L è costante (salvo che su S), allora S è asintoticamente stabile  e P è contenuto nel bacino  di S.

Questo teorema ha il vantaggio, rispetto a quello di stabilità di Lyapounov , di provare la stabilità asintotica senza richiedere che la L(X) sia una funzione di Lyapounov stretta .

Dimostrazione:

 C.D.D.

Il teorema qui sopra è proprio quello che serve nel caso di un sistema dissipativo ad un grado di libertà . Infatti se l'energia potenziale V(x) ha un minimo (locale forte) in tex2html_wrap_inline38132 , anche la funzione energia tex2html_wrap_inline38134 ha un minimo in tex2html_wrap_inline37768 ; ne

segue che la componente connessa di tex2html_wrap_inline37768 dell'insieme tex2html_wrap_inline38140 , con k un valore appena superiore al minimo, è positivamente invariante e contiene un solo punto di equilibrio. La funzione energia non è una funzione di Lyapounov stretta, infatti tex2html_wrap_inline38144 si annulla per y=0. Quasi tutte le soluzioni attraversano la retta y=0 trasversalmente  , cioè con tex2html_wrap_inline38150 , e quindi la funzione E(x(t),y(t)) ha in questi punti derivata nulla per un valore isolato di t e non cessa di essere decrescente in senso stretto. Quindi si può applicare il teorema e concludere che tutti i punti di minimo di V(x) corrispondono a punti di equilibrio asintoticamente stabili, anche se sono minimi degeneri.

Esempio:


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997