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3.6 SELLE

 

Sommario Un punto di equilibrio il cui linearizzato ha esponenti di Lyapounov sia positivi che negativi è instabile; se non ci sono autovalori con parte reale nulla può essere descritto come il prodotto cartesiano di un pozzo per una sorgente. Questa descrizione è assicurata da una serie di teoremi, le cui dimostrazioni non sono semplici e sono qui svolte solo in parte.

Selle in dimensione 2

Consideriamo un sistema dinamico continuo in tex2html_wrap_inline34636 , e facciamo l'ipotesi che abbia un punto di equilibrio nell'origine; sviluppando il campo vettoriale nell'origine si ottiene:

displaymath38422

dove f(x,y),g(x,y) sono infinitesimi per tex2html_wrap_inline38426 di ordine superiore al primo (rispetto a tex2html_wrap_inline38428 ). Allora il sistema dinamico linearizzato  nell'origine è:

displaymath38430

Abbiamo già visto le proprietà qualitative del sistema dinamico nonlineare nel caso di un pozzo  o di una sorgente , che si verificano per tex2html_wrap_inline38432 ; infatti in tal caso, se tex2html_wrap_inline38434 gli esponenti di Lyapounov  sono tutti negativi, mentre se tex2html_wrap_inline38436 sono tutti positivi.

Definizione:

Se tex2html_wrap_inline38438 gli autovalori sono distinti, supponiamo che siano tex2html_wrap_inline38444 con tex2html_wrap_inline38446 ; quindi esistono due autovettori linearmente indipendenti, e usando questi come nuova base si può portare il sistema dinamico nella forma più semplice

displaymath38448

il cui linearizzato è

displaymath38450

Il sistema linearizzato ha soluzioni (x(t),y(t)) che soddisfano alle equazioni

displaymath38454

ed in particolare le soluzioni contenute in y=0 ed x=0, che sono `diverse' dalle altre. Per dare una definizione rigorosa di questa diversità occorre considerare il comportamento delle soluzioni per tex2html_wrap_inline35282 e per tex2html_wrap_inline35280 .

Curve eccezionali

Una curva eccezionale   è una curva la cui immagine C contiene delle soluzioni del sistema dinamico che hanno o limite diverso, o anche lo stesso limite ma vi arrivano con tangente diversa, rispetto ad altre soluzioni `arbitrariamente vicine' (cioè con condizioni iniziali in un sistema fondamentale di intorni di C). Questa definizione si può intendere sia per tex2html_wrap_inline35282 che per tex2html_wrap_inline35280 .

  figure6590
Figure 3.8:  Un punto di equilibrio che presenta delle curve eccezionali, che tendono al punto stesso per tex2html_wrap_inline34290 a differenza del le altre soluzioni vicine.

Teorema di esistenza delle curve eccezionali :  Una sella nonlineare ha sempre delle soluzioni che tendono al punto di equilibrio sia per tex2html_wrap_inline35282 che per tex2html_wrap_inline35280 ; le immagini di queste soluzioni formano due insiemi tex2html_wrap_inline38478 , localmente chiusi nell'intorno del punto di equilibrio, ed aventi per frontiera delle curve eccezionali.

Dimostrazione:

 C.D.D.

In realtà le proprietà degli autovalori reali tex2html_wrap_inline38444 che servono nella dimostrazione relativa a tex2html_wrap_inline38502 sono: tex2html_wrap_inline36154 e tex2html_wrap_inline38668 ; non serve che tex2html_wrap_inline38670 . Ne segue che l'esistenza di curve eccezionali, e dell'insieme tex2html_wrap_inline38502 , vale anche nel caso di un punto di equilibrio degenere   con un esponente di Lyapounov nullo ed uno positivo. Simmetricamente, l'esistenza di curve eccezionali e dell'insieme tex2html_wrap_inline38658 vale nel caso di un punto di equilibrio degenere con un esponente di Lyapounov nullo ed uno negativo.

Nel caso di due autovalori positivi ma distinti tex2html_wrap_inline38676 si ha una sorgente , ed il sistema linearizzato è del tipo nodo . Usando ancora la stessa definizione, visto che tex2html_wrap_inline38668 e che tex2html_wrap_inline38524 in un settore opportunamente scelto, si mostra l'esistenza di curve eccezionali che sono diverse dalle altre non per il limite per tex2html_wrap_inline35280 , che in questo caso è la sorgente per tutte le soluzioni vicine, ma per la tangente con cui si avvicinano al limite; si veda la Figura 2.1.

Separatrici

Definizione:

Esempio:

Esempio:

Mentre nel caso lineare si può accertare l'esistenza di separatrici approfittando dell'espressione esplicita di tutte le soluzioni, nel caso nonlineare l'esistenza di curve separatrici non è in generale ovvia. Perciò è importante poter decidere dell'esistenza di separatrici sulla base delle sole proprietà del linearizzato, per esempio sulla base dei soli esponenti di Lyapounov.

Teorema di esistenza e unicità delle separatrici :  Una sella nonlineare ha sempre esattamente due separatrici, che sono l'insieme delle condizioni iniziali che hanno quel punto di equilibrio come limite, rispettivamente, per tex2html_wrap_inline35282 e per tex2html_wrap_inline35280

Usando la Figura 3.9, questo teorema afferma che i due punti D ed E coincidono, e la soluzione per D=E fa parte della separatrice, che contiene anche il punto di equilibrio O e la curva eccezionale dall'altra parte.

Dimostrazione:

Dimostrazione da completare.

Esempio:

  figure6719
Figure 3.10:  In 20 iterazioni la curva y=h(x)=0 è stata trasformata in modo da avvicinarsi molto alla curva invariante, cioè alla separatrice.

Un teorema analogo afferma l'unicità delle curve eccezionali dei nodi; la dimostrazione è molto simile, ma il Passo 3 è sostituito dalla maggiorazione con una serie di potenze convergente in un intorno di x=0.

Le due soluzioni appartenenti alla separatrice, che hanno il punto di sella come limite per tex2html_wrap_inline35280 , si allontanano dall'equilibrio al crescere di t ; se consideriamo tali soluzioni sull'intervallo massimo di definizione (nel senso del teorema di continuazione delle soluzioni ), ciascuna di esse ha per immagine una curva in tex2html_wrap_inline34636 . Tuttavia non è detto che l'immagine di questa curva sia chiusa, cioè che essa sia una sottovarietà  di tex2html_wrap_inline34636 . È proprio il riavvolgersi delle separatrici e il loro intersecarsi in modo complicato uno dei fenomeni alla base della non integrabilità, nel senso discusso nel Capitolo 9. Anche nei casi più semplici, le separatrici si ``avvolgono'' tra loro, e con questo determinano le proprietà qualitative di un sistema dinamico nel piano, come nei due esempi seguenti.

Esempio:

  figure6740
Figure 3.12:  Le separatrici del sistema dissipativo di dimensione 1 con potenziale tex2html_wrap_inline34294 . Il bacino indicato con la lettera A è quello del punto stabile R, quello indicato con B appartiene ad S. Le due curve sono state tracciate usando un integratore numerico, scegliendo condizioni iniziali vicine alla sella, ed integrando in avanti o in indietro.

Esempio:

Al contrario, in un intorno abbastanza piccolo del punto di equilibrio, il comportamento qualitativo della sella nonlineare può essere descritto da quello della sella lineare; in questo caso la natura `qualitativa' del risultato si manifesta con una perdita di differenziabilità nella corrispondenza tra i due sistemi, come nel teorema seguente:

Teorema di linearizzazione delle selle :  Ogni sella nonlineare ha un intorno U tale che esiste un omeomorfismo  k tra U ed un intorno V di una sella lineare, tale che le soluzioni dei due sistemi dinamici si corrispondono tra loro: se tex2html_wrap_inline36798 è il flusso integrale del sistema nonlineare, e tex2html_wrap_inline38896 quello del sistema lineare, allora

displaymath38898

Dimostrazione omessa.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997