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B.3 TOPOLOGIA, VARIETÀ

 

Topologia in tex2html_wrap_inline34458

Le nozioni di topologia utilizzate in questo corso si riferiscono soltanto agli insiemi tex2html_wrap_inline34458 ed ai loro sottoinsiemi. In questo ambito, basta sapere che le palle di raggio tex2html_wrap_inline37584

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formano un sistema fondamentale di intorni   del punto tex2html_wrap_inline51428 che definisce la topologia, cioè gli insiemi aperti di tex2html_wrap_inline34458 , che sono tutte e sole le unioni degli intorni di tutti i punti.

Teorema di equivalenza delle norme :  Se tex2html_wrap_inline51432 è un'altra norma  per i vettori tex2html_wrap_inline34582 , le palle tex2html_wrap_inline51436 definiscono la stessa topologia, cioè gli stessi aperti.

Le nozioni di limite e di continuità di una funzione dipendono solo dalla topologia, quindi sono indipendenti dalla scelta di una norma negli spazi tex2html_wrap_inline34458 .

Il complementare di un aperto è un chiuso  ; un insieme C tale che ogni successione di suoi punti, e che ammette limite, ha limite pure appartenente a C, è un chiuso. Un insieme K tale che ogni successione di suoi punti ammette un valore limite pure appartenente a K (cioè ha una sottosuccessione convergente ad un punto di K) è un compatto  ; esiste un'altra definizione di compatto (basata sui ricoprimenti), ma nel contesto che ci interessa le due definizioni sono equivalenti. Un insieme è compatto se e solo se è limitato e chiuso. Ogni intervallo limitato e chiuso è un compatto di tex2html_wrap_inline34960 ; quindi ogni successione limitata di numeri reali ha un minimo limite  , che è il più piccolo dei valori tali che esistono sottosuccessioni con quel limite.

Un omeomorfismo   è un'applicazione biunivoca, continua, e con inverso continuo; due insiemi omeomorfi hanno a comune tutte le proprietà che dipendono solo dalla topologia (ma non necessariamente proprietà metriche, come il volume).

La frontiera   di un insieme C è l'insieme dei i punti tali che tutti i loro intorni contengono sia punti di C che punti non in C. Un chiuso contiene tutti i suoi punti di frontiera, un aperto non ne contiene nessuno.

Benché il punto all'infinito non appartenga ad tex2html_wrap_inline34458 , è sempre legittimo parlare di limite infinito   di una successione o funzione a valori in tex2html_wrap_inline34458 , pur di considerare che gli insiemi

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siano un sistema fondamentale di intorni del punto all'infinito.

Un insieme C è connesso   se non si può scomporre in due insiemi non vuoti tex2html_wrap_inline51466 e tex2html_wrap_inline51468 con tex2html_wrap_inline51470 vuoto, A, B aperti. Se al contrario una tale scomposizione è possibile, i più grandi insiemi connessi contenuti in C si dicono le sue componenti connesse  .

Teorema della curva di Jordan :  Se C è l'immagine di una curva continua, semplice e chiusa, in tex2html_wrap_inline34636 , allora il complementare di C in tex2html_wrap_inline34636 ha esattamente due componenti connesse, una (l'interno ) limitata, una (l'esterno ) illimitata, tali che C fa da frontiera ad entrambe.

Varietà differenziabili

Una varietà topologica   di dimensione   n è un insieme V dotato di una topologia, cioè di sottoinsiemi aperti, tali che per ogni punto tex2html_wrap_inline51490 esiste un aperto W con tex2html_wrap_inline51494 , ed una carta coordinata  , che è un omeomorfismo  tra un aperto U di tex2html_wrap_inline34458 e W. Inoltre due carte coordinate, dove le loro immagini in V si sovrappongono, differiscono per un omeomorfismo.

In realtà, per evitare esempi patologici, occorre che sia soddisfatta una condizione sulla topologia di V, l'assioma di separazione di Haussdorf.

Si parla di varietà differenziabile   di classe tex2html_wrap_inline51088 quando due carte coordinate, dove le immagini in V si sovrappongono, differiscono per un diffeomorfismo di classe tex2html_wrap_inline51088 .

Per esempio, in dimensione 1 esistono solo due varietà (sia topologiche che differenziabili) ``diverse'' (non ottenibili l'una dall'altra con un omeomorfismo): la retta tex2html_wrap_inline34960 e la circonferenza tex2html_wrap_inline41652 . Al contrario in dimensione 2 vi sono molte varietà diverse: quelle che sono anche compatte  sono classificate mediante una proprietà topologica, la caratteristica di Eulero-Poincaré  : la sfera ha caratteristica 2, il toro ha caratteristica zero, eccetera.

In pratica in questo corso non abbiamo bisogno di considerare le varietà in astratto, ma solo le sottovarietà   di tex2html_wrap_inline34458 . Per il teorema delle funzioni implicite , si possono descrivere le sottovarietà di tex2html_wrap_inline34458 come luogo di punti definiti da equazioni F(X)=C con tex2html_wrap_inline51522 , dove F è di classe tex2html_wrap_inline51088 e con jacobiana di rango massimo ovunque (o almeno nell'intorno dei punti che soddisfano alle equazioni).

Una varietà differenziabile V di dimensione n è dotata di un fibrato tangente  , composto da una copia dello spazio tex2html_wrap_inline34458 per ogni punto P di V; i vettori tangenti che vi appartengono possono essere rappresentati, in una carta coordinata, dalla coppia tex2html_wrap_inline51538 , ma il vettore Y cambia in modo controvariante  al cambiare della carta coordinata.

Nel caso di una sottovarietà di tex2html_wrap_inline34458 , lo spazio vettoriale immagine del differenziale della carta coordinata è lo spazio tangente   in ogni punto. Lo spazio tangente in un punto è formato dalle velocità delle curve che giacciono sulla sottovarietà e passano per il punto.

Per le superfici, un campo vettoriale tangente ha un numero di punti in cui si annulla non inferiore alla caratteristica di Eulero-Poincaré. Una sottovarietà di tex2html_wrap_inline34458 , per esempio una curva, oppure una superficie in tex2html_wrap_inline40050 , è dotata anche di proprietà ``metriche''. Per esempio esiste una prima forma fondamentale  , che è una forma quadratica definita su ciascuno spazio tangente, che assegna la lunghezza dei vettori velocità in quel punto, quando i vettori velocità siano espressi come derivate delle coordinate di una carta.

La seconda forma fondamentale   esprime invece la curvatura della superficie, e quindi delle curve che giacciono su di essa.

L'energia cinetica di un moto vincolato  è proporzionale alla prima forma fondamentale. invece la conoscenza della seconda forma fondamentale non è necessaria per scrivere le equazioni di moto, ma solo per calcolare l'intensità delle reazioni vincolari .

Bibliografia :


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997