next up previous contents index
Next: C COMMENTO Up: B REQUISITI DI ALGEBRA Previous: B.3 TOPOLOGIAVARIETÀ

B.4 SERIE DI FUNZIONI

 

Definizione:

Una serie di potenze   è una serie di funzioni ciascuna rappresentata da un monomio: per esempio in una sola variabile x

displaymath51566

ogni serie di potenze ha un raggio di convergenza r tale che per |x|<r la serie converge ad una funzione f(x), e converge uniformemente su ogni insieme della forma tex2html_wrap_inline51574 ; non è escluso il caso in cui tex2html_wrap_inline51576 (come per la serie esponenziale). Questo si ottiene applicando il teorema seguente:

Teorema di convergenza in norma :  Se una serie

displaymath51578

dove i termini tex2html_wrap_inline51580 sono vettori di tex2html_wrap_inline34458 (anche tex2html_wrap_inline35740 , o matrici) converge in norma, cioè esiste una norma  tex2html_wrap_inline51586 per cui la serie numerica

displaymath51588

è convergente, allora anche la serie è convergente.

Questo teorema in sostanza equivale all'affermazione che lo spazio tex2html_wrap_inline34458 (o tex2html_wrap_inline35740 ) è uno spazio metrico completo .

Teorema di derivazione per serie :  All'interno del raggio di convergenza, la serie converge ad una funzione f(x) derivabile, e la derivata è la somma della serie ottenuta derivando termine a termine

displaymath51596

che ha lo stesso raggio di convergenza.

Teorema del prodotto secondo Cauchy :  Date due serie di potenze, se esse sono convergenti e convergenti in norma:

displaymath51598

displaymath51600

allora la loro serie prodotto secondo Cauchy  è convergente in norma, e converge alla funzione prodotto tex2html_wrap_inline35010 .

Teorema di completezza delle funzioni continue :  Una serie di funzioni continue su di un compatto , che sia di Cauchy (nel senso della metrica della convergenza uniforme ) converge uniformemente sul compatto stesso. Una serie uniformemente convergente di funzioni continue ha per limite una funzione continua.

Un altro tipo notevole di serie di funzioni è una serie di Fourier  : per esempio in una variabile x

displaymath51606

con coefficienti di Fourier complessi tex2html_wrap_inline49722 , oppure

displaymath51610

con coefficienti di Fourier reali tex2html_wrap_inline51612 . Ogni funzione tex2html_wrap_inline34382 e periodica di periodo tex2html_wrap_inline36896 nella variabile x è somma di una serie di Fourier uniformemente convergente. L'analogo multidimensionale riguarda le funzioni tex2html_wrap_inline51620 di n variabili angolo, quindi con tex2html_wrap_inline49816 , che sono pure ottenibili come somma di una serie di Fourier uniformemente convergente

displaymath51626

dove la somma è estesa a tutti i multiindici  tex2html_wrap_inline51628 .

Bibliografia :


next up previous contents index
Next: C COMMENTO Up: B REQUISITI DI ALGEBRA Previous: B.3 TOPOLOGIAVARIETÀ

Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997