Sommario Purché siano soddisfatte opportune ipotesi di regolarità del secondo membro, che sono certamente soddisfatte dai sistemi dinamici continui, i sistemi di equazioni differenziali ordinarie hanno soluzione per ogni data condizione iniziale.
Definizione:
, e sia 
un'applicazione dello spazio in se stesso.
Si dice che F è una contrazione se esiste una costante L, con 0<L<1, tale che
Definizione:
. Una successione 
in E si dice
successione di Cauchy se
Si dice che E è uno spazio metrico completo se ogni successione di Cauchy è convergente.
Queste definizioni valgono sia per gli spazi a dimensione
finita, come 
, sia per gli spazi di funzioni che hanno
dimensione infinita , nel senso che sono spazi vettoriali ma non
hanno un numero finito di generatori.
Esempio:
, lo spazio delle funzioni
continue su 
è completo rispetto
alla metrica della convergenza uniforme
Teorema del punto unito :
Se G una contrazione di uno spazio metrico completo E, G ha un
punto unito unico, cioè esiste uno ed un solo 
tale
che G(X)=X.
Dimostrazione:
con L<1 segue
|X-Y|=0.
Il punto fisso è costruito per approssimazioni successive , come limite della successione
che, comunque sia scelto il punto iniziale 
, converge nello
spazio metrico completo E in quanto successione di Cauchy:
dove l'ultimo passaggio è legittimo perché L<1.
Definizione:
si dice
lipschitziana su 
se esiste una costante
L>0 tale che, per ogni coppia X,Y di punti di 
:
Ogni numero L che soddisfa a questa condizione si chiama costante di Lipschitz per la funzione F.
Una contrazione è una funzione lipschitziana di uno spazio in se stesso, con L<1.
Una funzione lipschitziana è anche continua, anzi
uniformemente continua , in quanto per ogni 
esiste
un 
tale che 
per ogni
coppia (X,Y) con 
. Se 
, la
lipschizianità nel punto Y equivale alla limitatezza del rapporto
incrementale nel punto Y in direzione X-Y; si può mostrare che
implica la differenziabilità in quasi tutti i punti di E (cioè
a meno di insiemi di misura nulla). Viceversa, ogni funzione F
differenziabile di classe 
su di un aperto
è localmente lipschitziana , nel senso che la diseguaglianza
di Lipschitz è soddisfatta in ogni aperto limitato 
con
chiusura contenuta in : come costante di Lipschitz si può
prendere la somma dei massimi moduli di tutte le derivate parziali di F
sulla chiusura di .
Teorema di esistenza e unicità :
Siano un aperto, 
un
intervallo e 
un campo vettoriale
uniformemente lipschitziano nella prima variabile, ovvero tale
che, per una costante 
,
Allora se 
e 
, esistono un intorno
di ed un intorno 
di 
tali che il problema alle condizioni iniziali
ha soluzione unica, ovvero esiste localmente il
flusso integrale 
dell'equazione. Inoltre la soluzione dipende
con continuità dalla condizione iniziale .
Dimostrazione:
di funzioni continue come
infatti, se esiste una funzione H continua su 
tale che
A(H)=H, allora la curva 
è di classe
per ogni , e la funzione X(t) definita da
risolve il problema dato poiché 
e
perciò 
, ed in particolare la
continuità di H rispetto alla prima variabile implica quella del
flusso rispetto alla condizione iniziale. Applicando la
diseguaglianza di Gronwall si può mostrare che il flusso
è addirittura lipschitziano in (ma la costante di Lipschitz
diverge con il tempo).
Per dimostrare che H ha un punto fisso, cioè che esistono
e per i quali
completo
rispetto alla metrica della convergenza uniforme
in se stesso; .
Poniamo 
per 
sono contenuti in 
per 
. Posto
sia l'insieme delle funzioni a crescita sublineare in t
intorno a
(se 
, risulta 
).
L'insieme è chiuso rispetto alla metrica della convergenza
uniforme, poiché la convergenza rispetto ad essa implica la
convergenza puntuale, e se 
anche 
verifica
la diseguaglianza 
, quindi . Perciò
, in quanto sottoinsieme chiuso dello spazio metrico completo
, è completo.
, allora
per 
e
; in tal caso ha senso F(H(x,s),s) e l'operatore A
è ben definito. Inoltre
implica che 
.
(quindi
l'altezza del cilindro 
) sufficientemente piccola
da rendere A una contrazione su : poiché infatti
per la lipschizianità di F si ha
basta che sia 
.
La dimostrazione del teorema precedente è costruttiva
(un'applicazione pratica è il ragionamento che conduce alla
definizione dell'esponenziale di matrice ). Il teorema delle
contrazioni, infatti, mostra l'esistenza di un punto fisso
dell'operatore 
sullo spazio metrico completo E per
mezzo della successione definita per ricorrenza da
nel caso precedente, alla soluzione del problema alle condizioni iniziali converge la successione di funzioni
