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A.1 ESISTENZA E UNICITÀ

 

Sommario Purché siano soddisfatte opportune ipotesi di regolarità del secondo membro, che sono certamente soddisfatte dai sistemi dinamici continui, i sistemi di equazioni differenziali ordinarie hanno soluzione per ogni data condizione iniziale.

Definizione:

Definizione:

Queste definizioni valgono sia per gli spazi a dimensione finita, come tex2html_wrap_inline34458 , sia per gli spazi di funzioni che hanno dimensione infinita  , nel senso che sono spazi vettoriali ma non hanno un numero finito di generatori.

Esempio:

Teorema del punto unito :  Se G una contrazione di uno spazio metrico completo E, G ha un punto unito unico, cioè esiste uno ed un solo tex2html_wrap_inline50248 tale che G(X)=X.

Dimostrazione:

 C.D.D.

Definizione:

Una contrazione  è una funzione lipschitziana di uno spazio in se stesso, con L<1.

Una funzione lipschitziana è anche continua, anzi uniformemente continua  , in quanto per ogni tex2html_wrap_inline37374 esiste un tex2html_wrap_inline50288 tale che tex2html_wrap_inline50290 per ogni coppia (X,Y) con tex2html_wrap_inline50294 . Se tex2html_wrap_inline50296 , la lipschizianità nel punto Y equivale alla limitatezza del rapporto incrementale nel punto Y in direzione X-Y; si può mostrare che implica la differenziabilità in quasi tutti i punti di E (cioè a meno di insiemi di misura nulla). Viceversa, ogni funzione F differenziabile di classe tex2html_wrap_inline34382 su di un aperto tex2html_wrap_inline50270 è localmente lipschitziana  , nel senso che la diseguaglianza di Lipschitz è soddisfatta in ogni aperto limitato tex2html_wrap_inline50312 con chiusura contenuta in tex2html_wrap_inline45768 : come costante di Lipschitz si può prendere la somma dei massimi moduli di tutte le derivate parziali di F sulla chiusura di tex2html_wrap_inline50312 .

Teorema di esistenza e unicità :  Siano tex2html_wrap_inline50270 un aperto, tex2html_wrap_inline39216 un intervallo e tex2html_wrap_inline50324 un campo vettoriale uniformemente lipschitziano   nella prima variabile, ovvero tale che, per una costante tex2html_wrap_inline50326 ,

displaymath50184

Allora se tex2html_wrap_inline50328 e tex2html_wrap_inline50330 , esistono un intorno tex2html_wrap_inline50332 di tex2html_wrap_inline34452 ed un intorno tex2html_wrap_inline50336 di tex2html_wrap_inline38944 tali che il problema alle condizioni iniziali

displaymath50185

ha soluzione unica, ovvero esiste localmente il flusso integrale  tex2html_wrap_inline50340 dell'equazione. Inoltre la soluzione dipende con continuità dalla condizione iniziale tex2html_wrap_inline34452 .

Dimostrazione:

 C.D.D.

La dimostrazione del teorema precedente è costruttiva (un'applicazione pratica è il ragionamento che conduce alla definizione dell'esponenziale di matrice ). Il teorema delle contrazioni, infatti, mostra l'esistenza di un punto fisso dell'operatore tex2html_wrap_inline50450 sullo spazio metrico completo E per mezzo della successione definita per ricorrenza da

displaymath50194

nel caso precedente, alla soluzione del problema alle condizioni iniziali converge la successione di funzioni

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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997