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8.1 OMOGENEIZZAZIONE

Sommario Tutti sistemi di equazioni differenziali possono essere rese autonome, cioè indipendenti dal tempo, pur di considerare il tempo una variabile dinamica addizionale. Quando però la dipendenza dalle variabili dinamiche è lineare, mentre quella dal tempo e nonlineare, la linearità è una proprietà troppo utile nello studio delle soluzioni per rinunciarvi.

La teoria qualitativa esposta fino a questo punto consente di studiare sistemi dinamici invariabili nel tempo. In teoria, un sistema non autonomo  , cioè con secondi membri dipendenti anche dal tempo:

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con tex2html_wrap_inline48092 può essere ridotto, per omogeneizzazione   delle variabili, ad un sistema autonomo di dimensione superiore, ponendo

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Questo procedimento consente di ricondursi al caso già noto dei sistemi dinamici, e quindi di applicare a questo caso risultati importanti come il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni. Tuttavia, dal punto di vista del calcolo e dello studio delle soluzioni, la omogeneizzazione non porta ad alcun vantaggio, visto che la complessità di un sistema dinamico dipende dalla dimensione. Inoltre trattare il tempo t come le altre variabili può far perdere proprietà importanti. Per esempio, se un sistema è lineare rispetto alle variabili tex2html_wrap_inline48096 , ma nonlineare rispetto alla variabile tempo, ridursi ad un sistema indipendente dal tempo fa perdere la proprietà di linearità.

Definizione:

La definizione può essere estesa al caso di sistemi qualunque (non necessariamente lineari): in genere non è però assicurata l'esistenza di un unico I per ogni tex2html_wrap_inline34452 ; per il teorema di esistenza e unicità , tex2html_wrap_inline48102 potrà essere definito per tex2html_wrap_inline48120 in un aperto di tex2html_wrap_inline34636 come applicazione tra sottoinsiemi aperti dello spazio delle fasi tex2html_wrap_inline34458 .

Per l'unicità della soluzione passante per un punto ad un tempo dato, se la soluzione con condizione iniziale tex2html_wrap_inline34452 è definita anche per tex2html_wrap_inline48128 e tex2html_wrap_inline48130 , la soluzione tex2html_wrap_inline48132 che passa per tex2html_wrap_inline39330 al tempo tex2html_wrap_inline36806 coincide con quella che passa per tex2html_wrap_inline34452 al tempo tex2html_wrap_inline38944 , cioè tex2html_wrap_inline48142 . In altri termini vale la proprietà:

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In particolare, tex2html_wrap_inline48102 è invertibile e tex2html_wrap_inline48146 .

Caso lineare

Se valgono anche delle proprietà di linearità del secondo membro delle equazioni differenziali, l'omogeneizzazione non aiuta nello studio delle soluzioni. Conviene invece sfruttare al massimo le proprietà di linearità del flusso integrale, che conseguono dalla linearità del secondo membro rispetto alle variabili spaziali.

Proprietà:

Nel seguito tex2html_wrap_inline48102 potrà anche indicare - secondo il contesto - una matrice tex2html_wrap_inline34586 che rappresenta l'operatore lineare stesso, ovvero potranno coesistere le notazioni

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L'insieme di tutte le soluzioni di un sistema lineare omogeneo è quindi uno spazio vettoriale isomorfo allo spazio delle condizioni iniziali, quindi di dimensione n.

Ha quindi senso la definizione di un sistema fondamentale di soluzioni  

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Le soluzioni del sistema sono combinazioni lineari degli elementi di un sistema fondamentale di soluzioni.

Proprietà:

L'insieme di tutte le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo è quindi uno spazio affine  , somma di un sottospazio vettoriale di funzioni (di dimensione n) con una funzione non appartenente ad esso.

Queste due proprietà elementari delle soluzioni di sistemi ed equazioni lineari non autonome sono alla base di tutta la discussione di questo capitolo.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997