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8.2 EQUAZIONI LINEARI NON OMOGENEE

 

Sommario L'operatore di derivazione, e le combinazioni lineari di derivazioni che appaiono nei primi membri delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti , sono applicazioni lineari tra spazi di funzioni, che sono spazi vettoriali di dimensione infinita. Quando le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti non sono omogenee , si può dimostrare l'esistenza delle soluzioni ma di solito non è agevole calcolarle esplicitamente. Se si riesce a considerare la restrizione di un operatore differenziale ad un sottospazio di dimensione finita, il problema è ricondotto ad un sistema di equazioni lineari nelle coordinate rispetto ad una base di questo spazio. La scelta del sottospazio di dimensione finita non è però arbitraria: esso deve contenere non solo il secondo membro, ma anche il nucleo dell'operatore; siamo perciò condotti a studiare gli spazi di quasipolinomi.

Quasipolinomi

Definizione:

L' insieme dei quasipolinomi con esponente dato e grado limitato è un sottospazio vettoriale dello spazio a dimensione infinita  delle funzioni tex2html_wrap_inline48222 (con k abbastanza grande). Il teorema delle soluzioni dell'equazione a coefficienti costanti  assicura che ogni equazione di questo tipo, omogenea, ha soluzioni che sono combinazioni lineari di quasipolinomi, purché le radici del polinomio caratteristico siano reali.

Niente impedisce di considerare quasipolinomi con un esponente tex2html_wrap_inline36040 complesso, e con coefficienti dei polinomi pure complessi, come si vedrà nel metodo delle ampiezze complesse . Il teorema delle soluzioni dell'equazione a coefficienti costanti  ci assicura che tutte le soluzioni delle equazioni omogenee sono in ogni caso combinazioni lineari di quasipolinomi, pur di considerare coefficienti complessi coniugati per i quasipolinomi complessi in tex2html_wrap_inline48228 e tex2html_wrap_inline48230 dove tex2html_wrap_inline48232 siano radici del polinomio caratteristico.

È immediato verificare che l'operatore di derivazione D trasforma tex2html_wrap_inline48236 in se stesso:

displaymath48205

Poiché la restrizione dell'operatore di derivazione a tex2html_wrap_inline48236 è un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita, basta scegliere una base per trovare una matrice associata:

Teorema della derivazione sui quasipolinomi :  L'operatore lineare

displaymath48206

è invertibile per tex2html_wrap_inline48240 , nilpotente (di rango n+1-1=n) per tex2html_wrap_inline48244 .

Dimostrazione:

 C.D.D.

Equazioni differenziali di ordine superiore

Il teorema della derivazione sui quasipolinomi ha immediata applicazione alla risoluzione di un'equazione differenziale lineare di ordine n a coefficienti costanti  che sia non omogenea  , cioè con secondo membro una funzione assegnata. Per ogni funzione tex2html_wrap_inline35740 x(t), sia P(D) l'operatore differenziale lineare definito dal polinomio tex2html_wrap_inline48290 come

displaymath48262

Teorema dell' isomorfismo tra quasipolinomi :  Se tex2html_wrap_inline48292 , l'operatore

displaymath48263

è un isomorfismo lineare per ogni tex2html_wrap_inline48214 .

Dimostrazione:

 C.D.D.

Teorema dell' abbassamento di grado dei quasipolinomi :  Se tex2html_wrap_inline36040 è una radice di tex2html_wrap_inline48316 di molteplicità r, cioè se

displaymath48266

essendo Z un polinomio con tex2html_wrap_inline48322 , allora

displaymath48267

Dimostrazione:

 C.D.D.

I due teoremi suggeriscono la forma delle soluzioni di un'equazione del tipo tex2html_wrap_inline48334 in cui il termine ``forzante'' g(t) è del tipo tex2html_wrap_inline48338 , con tex2html_wrap_inline48340 polinomio di grado n.

Infatti, come si verifica facilmente, applicando l'operatore P(D) alla funzione tex2html_wrap_inline48346 , dove tex2html_wrap_inline48348 è un polinomio di grado k, si ottiene

eqnarray23604

per un certo polinomio tex2html_wrap_inline48352 di grado h. Quindi P(D) trasforma un quasipolinomio di grado k in un quasipolinomio con lo stesso esponente, ma con grado h che dipende dall'ordine della prima derivata di P che non si annulla in tex2html_wrap_inline36040 . Sia r è la molteplicità di tex2html_wrap_inline36040 come radice di P, allora tex2html_wrap_inline48372 .

Quindi se, dato tex2html_wrap_inline48374 , si vuole ricostruire tex2html_wrap_inline48348 :

La soluzione generale dell'equazione non omogenea si può esprimere come somma di una soluzione particolare dell'equazione non omogenea e della soluzione generale dell'equazione omogenea; quest'ultima contiene le costanti arbitrarie che possono essere determinate in modo da soddisfare alle condizioni iniziali .

La regola precedente non ha niente di diverso da quella che si usa per risolvere un sistema lineare non omogeneo in uno spazio a dimensione finita; ed in effetti a questo ci siamo ricondotti. Il sistema lineare che lega le costanti arbitrarie alle condizioni iniziali ha matrice dei coefficienti uguale a quella del caso omogeneo, e differisce solo per il secondo membro; quindi anche in questo caso la soluzione è sempre unica.

Esercizio Risolvere l'equazione del quarto ordine

displaymath48271

nei casi in cui tex2html_wrap_inline48404 e tex2html_wrap_inline48406 .

(Soluzione)

Ampiezze complesse

Estendiamo la definizione di quasipolinomio  al caso con esponente complesso

displaymath48408

con tex2html_wrap_inline48444 : ciò consente di risolvere anche i sistemi dinamici lineari non omogenei in cui le componenti del termine ``forzante'' contengono seni e coseni.

Si noti che in questo capitolo usiamo la notazione in cui ``i'' è l'unità immaginaria, per evitare confusione tra operazioni matriciali e il prodotto di uno scalare complesso per un vettore o matrice.

Supponiamo che il problema da risolvere sia un'equazione di ordine n non omogenea della forma

displaymath48409

dove g(t) può essere considerata, senza perdita di generalità, del tipo

displaymath48410

dove

eqnarray23657

per R(t) polinomio reale e S(t) polinomio complesso di grado k; allora si ottiene tex2html_wrap_inline48458 , dove z(t) è la soluzione complessa dell'equazione

displaymath48411

Nel caso particolare in cui tex2html_wrap_inline48462 è costante e tex2html_wrap_inline48292 , per il teorema dell'isomorfismo tra quasipolinomi  esiste una costante H per cui tex2html_wrap_inline48468 (metodo delle ampiezze complesse  ).

Infatti tex2html_wrap_inline48470 ; il valore di tex2html_wrap_inline48472 che risolve l'equazione con tex2html_wrap_inline48474 si ricava da un'equazione algebrica:

displaymath48412

ossia:

displaymath48413

Passando alla rappresentazione esponenziale del numero complesso H, cioè scrivendo tex2html_wrap_inline48478 ,

displaymath48414

prendendo la parte reale si ottiene la soluzione particolare dell'equazione a coefficienti reali

eqnarray23670

che permette di osservare lo sfasamento di un angolo tex2html_wrap_inline35456 fra il termine ``forzante'' g(t) e la risposta ``forzata'' x(t), la cui intensità è proporzionale a quella di g(t).

Il nome ``ampiezze complesse'' si spiega se si considera prima il caso in cui il secondo membro sia soltanto un coseno, ed il primo membro un oscillatore armonico; allora il coefficiente da determinare è l'ampiezza (reale) dell'oscillazione forzata.

Nel caso in cui tex2html_wrap_inline48488 , invece, l'operatore differenziale genera, nella soluzione dell'equazione omogenea, termini con lo stessa frequenza tex2html_wrap_inline35724 di g(t): si può verificare così una risonanza  fra l'operatore differenziale e il termine forzante, e per determinare la soluzione z(t) si applica il teorema dell'abbassamento di grado dei quasipolinomi .

Esercizio Risolvere l'equazione del quarto ordine

displaymath48415

nei casi in cui tex2html_wrap_inline48496 . (Soluzione)

Esempio:

  figure23713
Figure 8.1:  Risposta di un oscillatore armonico forzato: a sinistra l'ampiezza dell'oscillazione forzata, a destra il ritardo di fase, in funzione della frequenza forzante. In questo caso alla frequenza 1 si ha risonanza.

Esempio:

Esempio:

Risonanza

Nel caso in cui il termine forzante risuona con le soluzioni dell'equazione omogenea, cioè, in forma complessa,

displaymath48580

dalla teoria dei quasipolinomi si ricava la forma della soluzione particolare dell'equazione non omogenea

displaymath48581

con una costante H da determinare.

Esempio:


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997