Data una matrice quadrata A di tipo 
, i vettori
tali che 
sono gli autovettori di A; i numeri 
sono gli autovalori . Poiché la stessa matrice
definisce anche una trasformazione lineare di 
in sé,
A può anche avere autovalori ed autovettori complessi.
Gli autovalori sono le radici del
polinomio caratteristico 
, che ha grado
n, ed i cui coefficienti sono invarianti della matrice
A, come la traccia ed il determinante.
La molteplicità dell'autovalore 
è la dimensione del
sottospazio vettoriale (di 
, oppure di ) degli
autovettori con quell'autovalore.
La molteplicità algebrica
del numero come radice del polinomio caratteristico
è maggiore o uguale della molteplicità dell'autovalore.
Teorema fondamentale dell'algebra : Il numero di radici di un'equazione algebrica in una variabile, con polinomio di grado n, contando ogni radice con la sua molteplicità algebrica, è n.
Teorema di Hamilton-Cayley :
Se 
è il polinomio
caratteristico della matrice A, allora P(A) è la matrice nulla.
Teorema della decomposizione S + N :
Ogni matrice A di tipo si può scrivere in uno ed un
solo modo come somma di una matrice semisemplice e di una
matrice nilpotente : A= S + N che commutano tra
loro: SN=NS.
Si noti che questo teorema vale sia per A a coefficienti
complessi (con S,N pure a coefficienti in 
), sia per A a
coefficienti reali, nel qual caso anche S,N sono a coefficienti
reali.
Teorema della forma canonica dei nilpotenti :
Per ogni matrice quadrata N che sia nilpotente , cioè tale
che 
è la matrice nulla (per qualche intero k), esiste una
matrice invertibile B tale che 
ha tutti i coefficienti
nulli salvo quelli immediatamente sotto la diagonale principale, che
valgono o 0 o 1.
Teorema di Jordan :
Per ogni matrice quadrata A a coefficienti complessi, esiste una
matrice invertibile B (pure a coefficienti complessi) tale che
è nella forma canonica di Jordan , cioè una
matrice a blocchi 
, con
ogni 
un blocco di Jordan della forma 
, dove 
è un autovalore di A (reale o complesso) ed 
è un nilpotente in forma canonica con tutti i coefficienti
immediatamente sotto la diagonale principale uguali ad 1, e gli altri
nulli.
Per ogni matrice A a coefficienti reali, esiste una
matrice invertibile B (pure a coefficienti reali) tale che
è nella forma canonica di Jordan reale
dove ciascun blocco di Jordan reale è della forma
, dove è un autovalore reale di
A, oppure
dove 
è la matrice 
che rappresenta il numero
complesso 
, con 
una coppia di autovalori
complessi coniugati di A, ed 
è un nilpotente con tutti i
coefficienti due diagonali sotto la diagonale principale uguali ad 1, e
gli altri nulli.
Teorema di diagonalizzazione delle forme quadratiche :
Ogni matrice quadrata e simmetrica 
ammette una matrice
R ortogonale (con 
) tale che 
è una
matrice diagonale, con sulla diagonale gli autovalori, tutti
reali, di A.
Teorema di diagonalizzazione simultanea :
Ogni coppia di matrici quadrate e simmetriche 
, tale
che almeno una delle due sia definita positiva, ammette una matrice
R invertibile che le diagonalizza simultaneamente, ossia tale che
sia che 
sono matrici diagonali.
Bibliografia :