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2.4 AUTOVALORI COMPLESSI

 

Sommario Se la matrice di un sistema dinamico lineare ha autovalori complessi, non è diagonalizzabile. Però può essere diagonalizzabile in campo complesso. Ad ogni coppia di autovalori complessi coniugati corrisponde un blocco tex2html_wrap_inline34726 che si può mettere in una forma canonica. Queste forme canoniche costituiscono un modello del campo complesso.

Forma matriciale dei numeri complessi

Tra le matrici a coefficienti reali di tipo tex2html_wrap_inline34726 consideriamo il sottospazio tex2html_wrap_inline35360 di dimensione 2 delle matrici della forma

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Il sottospazio tex2html_wrap_inline35360 è generato da I,J, dove I è la matrice identità e J la matrice antisimmetrica definita sopra. In questa rappresentazione matriciale del numero complesso  , la scelta di J, che determina la struttura complessa  , deve rispettare il requisito tex2html_wrap_inline35374 . Ogni matrice di tex2html_wrap_inline35360 è quindi presentabile in tre forme: come matrice, come combinazione lineare della base tex2html_wrap_inline35378 e come coppia di coordinate rispetto alla base:

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La forma tex2html_wrap_inline35382 dà la rappresentazione algebrica del numero complesso  ; la forma (a,b) dà la rappresentazione cartesiana del numero complesso   (nel cosiddetto piano di Argand-Gauss  ).

L'insieme tex2html_wrap_inline35360 di matrici non solo è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione per uno scalare, ma anche rispetto al prodotto di matrici. Infatti

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Il fatto più notevole a proposito del prodotto in tex2html_wrap_inline35360 è che essa gode della proprietà commutativa:

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che non vale in generale per le matrici quadrate qualsiasi.

Il generatore I è l'unità reale ed il generatore J l'unità immaginaria: se tex2html_wrap_inline35398 , allora tex2html_wrap_inline35400 . Il sottospazio di tex2html_wrap_inline35360 generato da I contiene i numeri complessi che possono essere identificati con i numeri reali, tramite la corrispondenza biunivoca tra tex2html_wrap_inline35406 e tex2html_wrap_inline35408 ; si usa perciò dire che tex2html_wrap_inline35410 è un numero reale. Questa identificazione consente anche di scrivere semplicemente tex2html_wrap_inline35412 , dove si sottintende l'unità reale.

L'uso anche contemporaneo delle diverse rappresentazioni dei numeri complessi è possibile senza contraddizioni. Si possono per esempio mescolare due modelli di numeri complessi ottenendo una definizione consistente di prodotto; se infatti z=x+Jy, w=u+Jv, possiamo eseguire il prodotto tex2html_wrap_inline35418 usando per w la rappresentazione come matrice, e la rappresentazione cartesiana tex2html_wrap_inline35422 , pur di considerare z come vettore colonna, ed usando il prodotto di matrici riga per colonna:

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Poiché per ogni matrice di tex2html_wrap_inline35360 :

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definiamo, per ogni tex2html_wrap_inline35432 , il modulo di z come tex2html_wrap_inline35436 . Il modulo così definito ha le stesse proprietà della lunghezza di un vettore:

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In effetti, se consideriamo la forma cartesiana del numero complesso, cioè z=(x,y), allora tex2html_wrap_inline35442 , ossia il modulo del numero complesso è la lunghezza del vettore che lo rappresenta nel piano di Argand-Gauss. D'altro canto se z=(a,0) è un numero complesso che è anche reale, |z|=|a|, cioè i due usi dello stesso simbolo (e della stessa parola ``modulo") non portano ad alcuna contraddizione.

Poiché il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine nel piano di Argand-Gauss, ossia il raggio delle coordinate polari, vogliamo definire la variabile angolo che assieme ad essa forma le coordinate polari. Se |z|=r>0, esiste una ed una sola matrice di rotazione tale che

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Infatti

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e usando la parametrizzazione della circonferenza tex2html_wrap_inline35454 mediante seno e coseno si ottiene la matrice di rotazione. Allora ciascuno degli angoli tex2html_wrap_inline35456 di rotazione della matrice z/r si chiama argomento del numero complesso z, e si indica con arg(z).

Il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli; gli argomenti del prodotto sono la somma degli argomenti. Infatti dati tex2html_wrap_inline35464

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per il teorema del determinante del prodotto. Se poi

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con tex2html_wrap_inline35470 , allora, eseguendo il prodotto

displaymath35472

displaymath35474

L'ultimo passaggio si può giustificare in due modi: o con le formule di addizione della trigonometria, o perché tex2html_wrap_inline35476 è la matrice associata ad una rotazione dell'angolo tex2html_wrap_inline35456 (in verso antiorario), tex2html_wrap_inline35480 è la matrice associata alla rotazione di tex2html_wrap_inline35482 , e la composizione di due rotazioni è la rotazione dell'angolo somma. In altre parole, non occorre ricordare le formule di addizione se ci si ricordano le regole per moltiplicare i numeri complessi (che poi discendono semplicemente dalle regole IJ=JI=J, JJ=-I).

Data tex2html_wrap_inline35432 , chiamiamo complesso coniugato di z, e indichiamo con tex2html_wrap_inline35490 , la matrice trasposta di z (che è pure in tex2html_wrap_inline35360 ):

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Il complesso coniugato ha la stessa parte reale Re(z), e parte immaginaria opposta -Im(z). Ha quindi anche lo stesso modulo |z|, ed argomenti opposti -arg(z). Vale la proprietà: tex2html_wrap_inline35508 . Anche per il prodotto:

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L'inverso di tex2html_wrap_inline35432 , tex2html_wrap_inline35514 , si può calcolare come

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Infatti

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Seguono dalla formula dell'inverso le proprietà:

displaymath35520

La potenza n-esima di un numero complesso z è definita per induzione nello stesso modo della potenza di un numero reale: tex2html_wrap_inline35526 . Usando la formula del modulo del prodotto e dell'argomento del prodotto si mostra che

displaymath35528

Si noti che le formule del modulo e dell'argomento della potenza valgono per ogni n intero, anche negativo, purché naturalmente si intenda tex2html_wrap_inline35532 .

Sia tex2html_wrap_inline35398 una matrice di tex2html_wrap_inline35360 . Allora le radici dell'equazione caratteristica , cioè i valori di tex2html_wrap_inline35538 tali che

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sono i numeri complessi z e tex2html_wrap_inline35490 . Infatti sia Re(z)=a, Im(z)=b:

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ha soluzione tex2html_wrap_inline35550 . Questo è un caso particolare del teorema di Hamilton-Cayley .

Sistemi dinamici lineari complessi

Consideriamo ora un sistema dinamico lineare con matrice non diagonalizzabile (in campo reale) di questo tipo:

displaymath35552

e costruiamo una variabile complessa tex2html_wrap_inline35554 ; poiché come già osservato si possono mescolare le due rappresentazioni matriciali e vettoriali, ponendo tex2html_wrap_inline35556 il secondo membro dell'equazione differenziale si può esprimere come prodotto in tex2html_wrap_inline35360 :

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dove tex2html_wrap_inline35562 è la stessa cosa di A considerata come numero complesso; allora la soluzione si ottiene mediante la funzione esponenziale di argomento complesso, che è definita dalla serie:

displaymath35566

la cui convergenza è garantita dal teorema di convergenza in norma , usando il modulo del numero complesso come norma. Se la condizione iniziale è tex2html_wrap_inline35568 :

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da cui la soluzione nel senso reale:

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L'ambiguità nell'espressione tex2html_wrap_inline35574 , tra la funzione esponenziale di una variabile complessa e l'esponenziale di matrice, non crea alcun problema. In effetti le due serie coincidono, e la loro convergenza può essere dimostrata indifferentemente usando il modulo |wt| o la norma di matrice ||wt|| nel teorema di convergenza in norma .

Esempio:

Esempio:

Centri e fuochi

Per trattare il caso generale dell'equazione tex2html_wrap_inline35608 con tex2html_wrap_inline35562 occorre utilizzare il teorema della somma degli esponenti : poiché le due matrici I,J commutano tra loro (IJ=JI=J):

displaymath35616

e quindi usando i calcoli eseguiti nei due esempi precedenti:

displaymath35618

Allora le soluzioni di tex2html_wrap_inline35608 dove tex2html_wrap_inline35622 sono le seguenti:

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e per ottenere le soluzioni in forma reale basta moltiplicare ed separare parte reale e parte immaginaria:

displaymath35626

Il flusso integrale al tempo t si può descrivere come una rotazione di un angolo tex2html_wrap_inline35630 seguita da un'omotetia di un fattore tex2html_wrap_inline35632 .

Vorremmo generalizzare questa soluzione al caso di una arbitraria matrice A di tipo tex2html_wrap_inline34726 con autovalori complessi coniugati tex2html_wrap_inline35638 . Consideriamo A come operatore lineare su tex2html_wrap_inline34798 ; allora esistono in tex2html_wrap_inline34798 due autovettori:

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Gli autovettori relativi ai due autovalori coniugati   possono essere scelti in modo da essere coniugati tra loro: tex2html_wrap_inline35648 ; infatti, poiché A è reale, tex2html_wrap_inline35652 e quindi:

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Consideriamo in tex2html_wrap_inline34636 i due vettori

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Il simbolo tex2html_wrap_inline35660 è stato usato al posto di J per evitare confusione tra le operazioni matriciali e le operazioni algebriche in tex2html_wrap_inline35360 . Allora riscriviamo le equazioni degli autovalori in termini di X,Y:

displaymath35668

Ora basta eseguire la moltiplicazione e separare parte reale e parte immaginaria:

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Supponiamo di usare un sistema di riferimento definito dalla base tex2html_wrap_inline35672 . Sarebbe necessario verificare che i due vettori X,Y sono linearmente indipendenti. La stessa applicazione associata ad A con la base canonica diventa associata nella nuova base a Q:

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Perciò se si vuole calcolare l'esponenziale di matrice di A, si può calcolare tex2html_wrap_inline35684 che è data dalla formula del caso precedente, e poi usare:

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dove tex2html_wrap_inline35688 è ottenuta per accostamento di colonne che sono i vettori della nuova base.

In conclusione, se una matrice tex2html_wrap_inline34726 ha autovalori complessi coniugati, è sempre possibile riportarla con un cambiamento di riferimento ad una matrice che appartiene a tex2html_wrap_inline35360 , e che corrisponde ad uno degli autovalori.

  figure2522
Figure 2.3:  Un punto di equilibrio di tipo fuoco; a sinistra in forma canonica.

  figure2527
Figure 2.4:  Un punto di equilibrio di tipo centro; a sinistra in forma canonica.

Possiamo quindi studiare il comportamento qualitativo nel caso in forma canonica

displaymath35694

Il comportamento qualitativo delle soluzioni dipende solo dal segno di a:

Problema Nel piano tex2html_wrap_inline35350 determinare tutte le curve tex2html_wrap_inline35720 , la cui tangente nel punto P forma un angolo costante tex2html_wrap_inline35724 con OP. Per quali tex2html_wrap_inline35724 le curve sono limitate ? (Soluzione)

Sistema semisemplice

Definizione:

Una matrice con tutti gli autovalori, reali o complessi, semplici (nel senso di molteplicità algebrica  1) è certamente semisemplice, perché gli autovettori corrispondenti ad autovalori diversi sono sempre linearmente indipendenti, e per il teorema fondamentale dell'algebra  gli autovalori sono esattamente n. Però una matrice può essere semisemplice anche con degli autovalori multipli.

Teorema del sistema semisemplice :  Se la matrice A è semisemplice, allora tutte le orbite del sistema dinamico:

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si possono esprimere mediante combinazioni lineari di funzioni esponenziali tex2html_wrap_inline35752 (dove gli tex2html_wrap_inline35754 sono le parti reali degli autovalori di A) moltiplicate per funzioni trigonometriche tex2html_wrap_inline35758 e tex2html_wrap_inline35760 (dove i tex2html_wrap_inline35762 sono le parti immaginarie degli autovalori di A).

Dimostrazione:

 C.D.D.

Esercizio Determinare il flusso integrale del sistema dinamico

displaymath35734

(Soluzione)


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997