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2.2 NORME E CONVERGENZA

 

Sommario Vogliamo dimostrare la convergenza della serie esponenziale di matrici, usando risultati noti sulle serie assolutamente convergenti. Le proprietà della funzione esponenziale sono conservate dall'esponenziale di matrici purché non dipendano dalla proprietà commutativa della moltiplicazione: in particolare l'esponenziale della somma è uguale al prodotto delle esponenziali solo se il prodotto commuta.

Norme di matrici

Definizione:

Esempio:

Esempio:

Esempio:

Per il teorema di equivalenza delle norme , tutte le norme su spazi vettoriali di dimensione finita sono equivalenti, quindi anche la norma uniforme delle matrici ||A|| è equivalente alla norma euclidea di tex2html_wrap_inline34922 , e anche alla norma del massimo di tex2html_wrap_inline34922 . Quindi la convergenza in norma uniforme e la convergenza di ogni coefficiente delle matrici sono equivalenti (vedi Sezione B.4).

Problema Dimostrare le 6 proprietà (2.1)-(2.6) per la norma uniforme ||A||. (Soluzione)

Convergenza dell'esponenziale

La convergenza dell'esponenziale di matrice  può essere dimostrata come conseguenza della convergenza in norma della serie.

Teorema di convergenza dell'esponenziale di matrici :  Sia A una qualsiasi matrice quadrata tex2html_wrap_inline34586 . Allora la serie esponenziale:

displaymath34956

Dimostrazione:

 C.D.D.

Questo teorema basta a dimostrare l'esistenza del flusso integrale di un qualsiasi sistema dinamico continuo lineare tex2html_wrap_inline34858 , che è la somma della serie convergente tex2html_wrap_inline34994 . Però calcolare esplicitamente tale soluzione non è immediato. Il procedimento di calcolo sarà spiegato nelle Sezioni 2.3, 2.4, 2.5.

Problema Dimostrare che se A è una matrice quadrata con ||A||<1 allora la serie

displaymath35000

converge a tex2html_wrap_inline35002 . (Soluzione)

Serie prodotto

Consideriamo due serie di matrici convergenti, della forma:

displaymath35004

Vogliamo sapere sotto quali condizioni si potrà ricavare dalle due serie con somme A(t) e B(t) una serie con per somma il prodotto di matrici tex2html_wrap_inline35010 .

La dipendenza dalla variabile t non è veramente essenziale in questo ragionamento, che può essere svolto sostituendo t=1; ma come vedremo questa semplificazione renderebbe meno comprensibile il procedimento.

Definizione:

Questa definizione si ottiene riordinando le somme parziali del prodotto delle due serie secondo il grado in t.

Le condizioni di convergenza della serie, ad una funzione continua C(t), sono descritte dal teorema del prodotto secondo Cauchy .

Per l'applicazione che ci interessa, basta sapere che se le due serie per A(t), B(t) convergono in norma per ogni tex2html_wrap_inline34368 , allora la serie prodotto converge in norma, quindi anche converge per ogni tex2html_wrap_inline34368 , e la sua somma tex2html_wrap_inline35032 .

Teorema della somma degli esponenti :  Se due matrici quadrate tex2html_wrap_inline34586 , A e B, commutano   tra loro, cioè tex2html_wrap_inline35040 , allora l'esponenziale della somma è il prodotto delle esponenziali:

displaymath35042

Dimostrazione:

 C.D.D.

Teorema di derivazione dell'esponenziale :  La funzione a valori matriciali tex2html_wrap_inline34966 è derivabile, e la sua derivata è:

displaymath35054

Dimostrazione:

 C.D.D.

Problema   Si dimostri l'eguaglianza:

displaymath35072

che costituisce una definizione alternativa dell'esponenziale di matrici.

Suggerimento: scrivere la differenza

displaymath35074

che è corretta se si considera che i coefficienti binomiali sono nulli quando k>m; la serie a secondo membro ha coefficienti non negativi, e se si passa alle norme ci si riconduce alla dimostrazione che

displaymath35078

(Soluzione)


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997