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2.3 AUTOVALORI REALI

 

Sommario Il calcolo dell'esponenziale di matrice può essere eseguito in un diverso sistema di riferimento. Se il nuovo riferimento è costruito mediante gli autovettori della matrice data, il calcolo è più semplice; per una matrice diagonalizzabile (in campo reale) ci si riduce a calcolare l'esponenziale di una matrice diagonale.

Cambiamenti di coordinate

Supponiamo di sottoporre il sistema dinamico lineare  tex2html_wrap_inline35080 ad un cambiamento di coordinate lineare  :

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Si suppone che la matrice B sia invertibile, tex2html_wrap_inline35086 . Allora l'equazione differenziale si trasforma in questo modo:

displaymath35088

cioè è ancora un sistema dinamico lineare, la cui matrice tex2html_wrap_inline35090 è ottenuta per coniugio   da A. Perciò la soluzione del sistema trasformato, in funzione della condizione iniziale  tex2html_wrap_inline35094 sarà espressa mediante l'esponenziale di matrice :

displaymath35096

la relazione tra le soluzioni delle due equazioni per X e per Y è data da:

displaymath35102

Per convincersi che la soluzione è la stessa, basta considerare che

displaymath35104

e quindi

displaymath35106

L'ultimo passaggio è lecito perché la moltiplicazione di matrici è un'operazione continua e la serie esponenziale è convergente. Si noti che le matrici che esprimono i flussi integrali sono pure coniugate, ma il coniugio è eseguito con la matrice tex2html_wrap_inline35108 , cioè con la matrice inversa di quella usata per la matrice del sistema.

Esercizio Trovare il cambiamento di coordinate lineare che cambia

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(Soluzione)

Si può quindi sempre studiare il sistema dinamico lineare tex2html_wrap_inline35080 in un qualunque sistema di riferimento; la matrice A si trasforma come la matrice di una trasformazione dello spazio ambiente tex2html_wrap_inline34458 in sé, cioè per coniugio con la matrice che esprime il cambiamento di coordinate. Perciò ha senso cercare un sistema di coordinate in cui la trasformazione definita da A abbia una forma semplice, risolvere il sistema dinamico lineare in quel sistema di coordinate, e poi ritornare al sistema originale usando la trasformazione inversa.

Diagonalizzazione

Poiché le proprietà geometriche (a meno di trasformazioni lineari di coordinate) dei sistemi dinamici lineari dipendono solo dalla classe di equivalenza della matrice A a meno di coniugio, è logico cercare di utilizzare le quantità che sono invarianti  per coniugio, come gli autovalori ; si utilizzeranno quindi le nozioni di base della sezione B.1.

Definizione:

In questo caso la matrice A è equivalente per coniugio ad una matrice diagonale:

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con sulla diagonale principale gli autovalori  tex2html_wrap_inline35134 . Infatti:

displaymath35136

per definizione di autovalore tex2html_wrap_inline35138 ed autovettore tex2html_wrap_inline35140 ; mettendo insieme le equazioni precedenti in forma matriciale, se V è la matrice quadrata con colonne tex2html_wrap_inline35140 :

displaymath35146

quindi l'applicazione, che nella base canonica è espressa dalla matrice A, nella base tex2html_wrap_inline35150 è espressa dalla matrice diagonale D.

Se gli autovalori sono tutti reali e distinti allora la matrice è diagonalizzabile: gli autovettori di autovalori diversi sono linearmente indipendenti, e quindi costituiscono una base.

Teorema del sistema diagonalizzabile :  Se la matrice A è diagonalizzabile, allora tutte le orbite del sistema dinamico lineare tex2html_wrap_inline35080 si possono esprimere mediante combinazioni lineari di funzioni esponenziali tex2html_wrap_inline35158 , dove i coefficienti del tempo negli esponenti sono gli autovalori tex2html_wrap_inline35138 della matrice A.

Dimostrazione:

 C.D.D.

Dimensione 2

 

Esempio:

Esercizio

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Scrivere esplicitamente il flusso integrale  come combinazione di funzioni esponenziali. (Soluzione)

Esempio:

Nel caso n>2 decidere se una matrice è diagonalizzabile, e diagonalizzarla esplicitamente, può essere tutt'altro che semplice. Per il teorema fondamentale dell'algebra  ogni matrice tex2html_wrap_inline34586 ha n autovalori, reali o complessi, contati con la loro molteplicità algebrica . Però se tex2html_wrap_inline35232 non esiste alcun algoritmo esplicito per risolvere l'equazione caratteristica. Le matrici simmetriche sono sempre diagonalizzabili (vedi Sezione B.1).

Nodi e selle

 

Consideriamo il caso di dimensione n=2 ed una matrice A con autovalori reali distinti: esistono due autovettori tex2html_wrap_inline34736 tali che:

displaymath35242

e quindi nella base tex2html_wrap_inline35244 la matrice si trasforma per coniugio con tex2html_wrap_inline35246 :

displaymath35248

Il comportamento qualitativo delle orbite si può quindi studiare nel caso del sistema in forma canonica, a cui ci si può ricondurre a meno di trasformazioni lineari:

displaymath34534

Il flusso integrale è dato, in funzione delle due condizioni iniziali tex2html_wrap_inline34488 e tex2html_wrap_inline35254 , dalle due funzioni esponenziali, visto che le due equazioni differenziali sono disaccoppiate:

displaymath35256

La traiettoria , cioè la curva descritta in tex2html_wrap_inline34636 dalle soluzioni (senza la legge oraria , cioè senza la parametrizzazione in funzione di t), si può ricavare elevando la soluzione per x(t) alla potenza b, e quella per y(t) alla potenza a, e facendo il quoziente (per tex2html_wrap_inline35270 ):

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Il comportamento qualitativo dipende solo dal segno di a e b:

  figure2313
Figure 2.1:  Due esempi di punti di equilibrio del tipo nodo; quello a sinistra aveva un'equazione in forma canonica.

Esercizio Determinare le traiettorie del sistema dinamico

displaymath35234

e descriverne l'equazione (implicita) nel piano delle fasi tex2html_wrap_inline35350 . (Soluzione)


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997