3.1 STABILITÀ

 

Sommario Un sistema dinamico continuo  ha una soluzione  passante per ogni condizione iniziale ; se tale soluzione, almeno per ogni t>0, resta sempre in un intorno di un punto di equilibrio, allora sarà definita per ogni t>0, ed avrà senso chiedersi quale ne sia il limite per . Se tale limite non dipende, almeno localmente, dalla condizione iniziale scelta, si parla di stabilità forte; in questo caso la predizione dello stato a cui il sistema tende per non è sensibile alle piccole variazioni delle condizioni iniziali, ed è quindi affidabile anche in presenza di piccoli errori di misura dello stato iniziale.

Punti di equilibrio

Un sistema dinamico continuo , con F una funzione regolare (di classe almeno ) su un aperto , ammette sempre una ed una sola soluzione che passa per la condizione iniziale ; questo è semplicemente conseguenza del teorema di esistenza e unicità . Un caso particolarmente semplice si verifica quando :

Definizione:

Se il punto si dice punto di equilibrio   del sistema dinamico. Ovviamente il sistema dinamico ha la soluzione costante , che, essendo sempre definita, è l'orbita  del sistema dinamico con condizione iniziale .

Il teorema di esistenza e unicità garantisce anche che tale soluzione è unica, quindi un'altra soluzione non può entrare (o uscire) dal punto di equilibrio. In molti esempi, come nei punti di tipo nodo  oppure fuoco , esistono soluzioni che si avvicinano sempre di più ad un punto di equilibrio, o per o per , ma non arrivano a coincidere con l'equilibrio per nessun t finito.

Il teorema di esistenza e unicità in generale non garantisce l'esistenza di un'orbita, ma solo una soluzione definita per valori di t in un intorno dello zero. Le soluzioni possono essere espresse collettivamente mediante il flusso integrale , che però in generale non è definito per ogni , e neppure per ogni condizione iniziale per un fissato: infatti l'intervallo su cui ogni soluzione è definita dipende dalla condizione iniziale:

Il flusso integrale rappresenta collettivamente tutte le soluzioni del sistema dinamico continuo, nel senso che per fisso e t variabile è la soluzione con condizioni iniziali :

Per il teorema di continuità del flusso  la funzione , per t fisso, è una funzione continua in tutti i punti X in W in cui è definita. In effetti tale funzione è addirittura differenziabile, come risulta dal teorema di differenziabilità del flusso .

Però il teorema di continuazione delle soluzioni  assicura che la soluzione non cessa di essere definita ad un tempo finito , a meno che per la soluzione stessa non tenda verso il bordo di W (in un senso che viene precisato nella sezione A.2). Perciò se una soluzione resta ``per sempre'' (diciamo per ogni t>0) in un intorno di un certo punto , ha senso chiedersi quale ne sia il limite per .

Teorema del punto limite :  Se una soluzione X(t) ammette limite per :

e questo punto limite   appartiene all'aperto W su cui il campo vettoriale F(X) è definito e regolare, allora è un punto di equilibrio. Lo stesso vale nel caso del limite per .

Dimostrazione:

Se è il punto limite, consideriamo la soluzione Y(t) passante per al tempo t=0; per il teorema di esistenza e unicità  Y(t) esisterà per un h>0 abbastanza piccolo. Poiché il flusso integrale è, per ogni t fisso, una funzione continua delle condizioni iniziali, facendo passare il tempo h su entrambi i membri della formula del limite:



Perciò il punto sta fermo, quindi la sua velocità è zero, cioè è un punto di equilibrio.

 C.D.D.

Stabilità

La stabilità è un concetto base nella teoria dei sistemi dinamici, e forse proprio per questo esistono molte diverse definizioni che formalizzano questa nozione. Qui presentiamo solo i due tipi principali di stabilità per un punto di equilibrio in un sistema dinamico continuo.

Definizione:

Il punto S in W si dice attrattivo   se esiste un intorno U di S (contenuto in W) tale che per ogni condizione iniziale in U, la soluzione X(t) ad essa corrispondente ha S come limite:



Per il teorema precedente, il punto attrattivo S deve essere un punto di equilibrio.

Esempio:

Prendiamo un punto di equilibrio di tipo fuoco . Nel sistema dinamico lineare



con a<0, il punto di equilibrio nell'origine è asintoticamente stabile. Infatti, in coordinate polari  



il sistema dinamico diventa:



ed il comportamento di tutte le soluzioni diverse dall'equilibrio è espresso da



per cui l'origine è comunque punto limite, le soluzioni si avvolgono a spirale attorno all'equilibrio (in verso antiorario se b>0).

In realtà non è definita in ogni caso dalla funzione arcotangente, che assume solo valori tra e . In effetti è una variabile angolo , cioè è definita solo a meno di multipli di ; però la derivata totale di è ben definita per ogni punto diverso dall'origine (i calcoli eseguiti qui sopra sono quindi corretti).

Definizione:

Se S è un punto di equilibrio, si dice bacino   (o anche bacino di attrazione  ) di S l'insieme U delle condizioni iniziali tali che le corrispondenti soluzioni hanno S come punto limite.

S stesso appartiene sempre al suo bacino. S è attrattivo se e solo se è un punto interno al suo bacino di attrazione. Però anche un punto che non è attrattivo può avere un bacino di attrazione, come si vede nel caso della sella instabile .

Esempio:

Nell'esempio precedente di un punto di equilibrio tipo fuoco in un sistema lineare, il bacino di attrazione è tutto .

Definizione:

Un punto S in W si dice stabile   se per ogni intorno U di S esiste un intorno V di S (si intende che ) tale che ogni soluzione con condizione iniziale in V sta in U per ogni .

Si noti che l'intorno V dipende dalla scelta di U, cioè tutte le soluzioni che partono vicino a S restano in un suo intorno arbitrariamente piccolo, ma a condizione di avere condizione iniziale adeguatamente vicina.

Un punto di equilibrio stabile e attrattivo si dice asintoticamente stabile  .

Anche un punto stabile deve necessariamente essere di equilibrio: se così non fosse, prendiamo un punto sulla stessa soluzione, cioè con . Allora esiste un intorno U di S che non contiene Y; qualunque sia l'intorno V di S, esso contiene S, e ogni soluzione passante per S non può stare definitivamente in U perché se per t=k passa per S, per t=k+h passa per Y che non è in U.

Esempio:

Prendiamo un punto di equilibrio di tipo centro . Nel sistema dinamico lineare:



con , il punto di equilibrio nell'origine è stabile, ma non attrattivo. Infatti in coordinate polari:



quindi le soluzioni sono della forma



ed il limite per non esiste; però gli insiemi del tipo sono un sistema fondamentale di intorni , ciascuno dei quali è invariante  per il flusso integrale. Quindi l'origine è stabile ma non asintoticamente stabile.

Instabilità

Definizione:

Un punto di equilibrio S si dice instabile   se esiste un intorno U di S tale che per ogni intorno V di S esiste una condizione iniziale in V la cui soluzione non sta in U per ogni .

Una volta trovato l'intorno U, l'intorno V è scelto arbitrariamente piccolo, e ciononostante alcune soluzioni che partono da V finiscono con l'uscire da U.

Un punto è instabile se e solo se non è stabile.

Esempio:

Prendiamo un punto di equilibrio di tipo sella . Nel sistema dinamico lineare:



con a>0>b, tutte le soluzioni con condizione iniziale con tendono all'infinito per , anche per un arbitrariamente piccolo, perciò l'origine è un punto di equilibrio instabile.

Il bacino  del punto di equilibrio è costituito dai punti con .

Gli esempi qui sopra sono sistemi dinamici lineari, dei quali è possibile scrivere esplicitamente le soluzioni; perciò lo studio del comportamento qualitativo delle soluzioni, come per esempio la stabilità, è banale. Al contrario, le definizioni qualitative come la stabilità diventano uno strumento essenziale quando si ha a che fare con un sistema dinamico nonlineare, specialmente se si tratta di un sistema dinamico non integrabile .