next up previous contents index
Next: A.4 DIFFERENZIABILITÀ Up: A TEOREMI DI ESISTENZA Previous: A.2 CONTINUAZIONE DELLE SOLUZIONI

A.3 MAGGIORAZIONE DELLE SOLUZIONI

 

Sommario La dipendenza delle soluzioni dalle condizioni iniziali è non solo continua, ma ha una costante di Lipschitz che può essere calcolata a partire dalla costante di Lipschitz del secondo membro, e che cresce esponenzialmente al crescere dell'intervallo di tempo. Questo consente in molti casi, tra cui quello lineare, di dimostrare che le soluzioni non vanno all'infinito in un tempo finito.

Teorema della diseguaglianza di Gronwall :  Sia tex2html_wrap_inline50682 una funzione reale non negativa, definita su un aperto tex2html_wrap_inline39216 . Se la f è dominata dal suo integrale, nel senso che per due costanti tex2html_wrap_inline50688 , tex2html_wrap_inline50690 ,

displaymath50654

allora è dominata, per ogni tex2html_wrap_inline48106 , da una funzione esponenziale:

displaymath50655

Dimostrazione:

 C.D.D.

Il teorema che segue applica la diseguaglianza di Gronwall per fornire dettagli precisi sulla dipendenza dai dati iniziali del flusso tex2html_wrap_inline50720 di un sistema dinamico.

Teorema di continuità del flusso :  Siano tex2html_wrap_inline50270 un aperto, tex2html_wrap_inline39216 un intervallo e tex2html_wrap_inline50324 un campo vettoriale uniformemente lipschitziano  nella prima variabile, con costante di Lipschitz L. Se Y(t) e Z(t) sono soluzioni dell'equazione

displaymath50660

passanti, rispettivamente, per tex2html_wrap_inline37064 e tex2html_wrap_inline39388 al tempo tex2html_wrap_inline38944 , allora

displaymath50661

Dimostrazione:

 C.D.D.

La diseguaglianza di Gronwall consente di mostrare che, nel caso particolare di un sistema lineare, la soluzione - indipendentemente dalla condizione iniziale - è definita in tutto l'intervallo in cui sono definiti i coefficienti:

Teorema di esistenza (caso lineare) :  Se tex2html_wrap_inline50742 è una matrice a coefficienti continui sull'intervallo aperto tex2html_wrap_inline50744 , il sistema

displaymath50663

per ogni tex2html_wrap_inline49010 ha soluzione unica tex2html_wrap_inline50748 definita su tutto I.

Dimostrazione:

 C.D.D.


next up previous contents index
Next: A.4 DIFFERENZIABILITÀ Up: A TEOREMI DI ESISTENZA Previous: A.2 CONTINUAZIONE DELLE SOLUZIONI

Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997