Sommario Il teorema di esistenza assicura la soluzione di un problema con condizione iniziale data solo per un piccolo intervallo sull'asse dei tempi. La soluzione può essere prolungata rispetto al tempo fino ad un intervallo massimale; se questo ha un estremo finito, allora la soluzione esce da ogni compatto contenuto nell'insieme di definizione.
Teorema di continuazione delle soluzioni :
Siano 
un aperto, 
un intervallo,
e
un
campo vettoriale uniformemente lipschitziano nella prima
variabile. Allora se due soluzioni continue 
(j=1,2) del
problema
sono definite sullo stesso intervallo 
contenente 
,
esse coincidono su 
. Perciò
contenente
, sul quale è definita la soluzione X(t) del problema (nel
senso che gli intervalli nei quali sono definite le soluzioni locali
del problema sono contenuti in J);
(se la
soluzione è limitata allora tende alla frontiera di ).
Dimostrazione:
e 
risolvono il problema per 
,
l'unicità locale garantisce che esse coincidono almeno in
un intorno 
di , anzi esiste l'intervallo 
più
grande sul quale 
e 
coincidono: è l'unione di tutti
i 
, ovvero
Inoltre deve coincidere con : altrimenti esisterebbe un
estremo 
di , appartenente a ,
tale che e potrebbero essere prolungate dapprima fino a
(per continuità 
), poi oltre (applicando il teorema di esistenza ed
unicità locale al problema con punto iniziale ); sarebbe così\
definito un intervallo più grande di sul quale e
coincidono, contraddicendo la definizione di .
Una soluzione locale X(t) passante per 
al tempo può
dunque essere prolungata in un intervallo
massimale , ottenuto dall'unione tutti gli intervalli
contenenti nei quali esistono soluzioni locali del
problema.
Per studiare il caso in cui J ha un estremo finito, supponiamo
, con 
. Se la soluzione continua X(t) del
problema fosse limitata e non tendesse alla frontiera di per
, esisterebbe un compatto 
tale che
per ogni 
, ma allora si potrebbero
prolungare X(t) e la sua derivata oltre 
, contraddicendo la
massimalità di
J. Infatti
, X(t) e la sua derivata, definite su
, potrebbero essere prolungate fino a per
continuità: F è continua, perciò ha massimo M sul compatto
; per 
si ha
perciò X(t), uniformemente continua su , potrebbe
essere prolungata fino a ; allora si potrebbe passare al limite
per nell'uguaglianza
che varrebbe, per la continuità dell'integrale, anche per 
.
, sarebbero definite
anche fino a 
per un opportuno 
, in
contraddizione con la massimalità dell'intervallo 
,
Se il sistema dinamico è autonomo, cioè 
,
per ogni condizione iniziale l'ampiezza dell'intervallo
massimale 
della soluzione 
non dipende
dall'istante iniziale. Il flusso è infatti un
gruppo continuo locale ad un parametro di operatori su
. Precisamente, traslando in 
per condurre
nell'origine dei tempi, la famiglia ad un indice di operatori
gode, per 
, delle proprietà di gruppo rispetto alla
composizione: per 
si ha 
(se
Y(s)=X(r+s), per l'indipendenza di F da t risulta
e per il teorema di
continuazione delle soluzioni Y(s)=X(r+s)); inoltre 
e se
, allora 
. In particolare,
.