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A.2 CONTINUAZIONE DELLE SOLUZIONI

 

Sommario Il teorema di esistenza assicura la soluzione di un problema con condizione iniziale data solo per un piccolo intervallo sull'asse dei tempi. La soluzione può essere prolungata rispetto al tempo fino ad un intervallo massimale; se questo ha un estremo finito, allora la soluzione esce da ogni compatto contenuto nell'insieme di definizione.

Teorema di continuazione delle soluzioni :  Siano tex2html_wrap_inline50270 un aperto, tex2html_wrap_inline39216 un intervallo, tex2html_wrap_inline50328 e tex2html_wrap_inline50324 un campo vettoriale uniformemente lipschitziano  nella prima variabile. Allora se due soluzioni continue tex2html_wrap_inline50474 (j=1,2) del problema

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sono definite sullo stesso intervallo tex2html_wrap_inline50478 contenente tex2html_wrap_inline38944 , esse coincidono su tex2html_wrap_inline45938 . Perciò

Dimostrazione:

 C.D.D.

Se il sistema dinamico è autonomo, cioè tex2html_wrap_inline50616 , per ogni condizione iniziale tex2html_wrap_inline34452 l'ampiezza dell'intervallo massimale tex2html_wrap_inline49794 della soluzione tex2html_wrap_inline49024 non dipende dall'istante iniziale. Il flusso è infatti un gruppo continuo locale ad un parametro   di operatori su tex2html_wrap_inline45768 . Precisamente, traslando tex2html_wrap_inline49794 in tex2html_wrap_inline49894 per condurre tex2html_wrap_inline38944 nell'origine dei tempi, la famiglia ad un indice di operatori

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gode, per tex2html_wrap_inline50632 , delle proprietà di gruppo rispetto alla composizione: per tex2html_wrap_inline50634 si ha tex2html_wrap_inline50636 (se Y(s)=X(r+s), per l'indipendenza di F da t risulta

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e per il teorema di continuazione delle soluzioni Y(s)=X(r+s)); inoltre tex2html_wrap_inline50646 e se tex2html_wrap_inline50648 , allora tex2html_wrap_inline50650 . In particolare, tex2html_wrap_inline50652 .


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997