Sommario Il flusso integrale, come applicazione tra le condizioni iniziali ed i valori assunti dalle soluzioni ad un tempo fisso, è un diffeomorfismo, che si può calcolare risolvendo l'equazione alle variazioni.
Teorema di differenziabilità del flusso :
Siano 
un aperto, 
e
un campo vettoriale (anche dipendente
dal tempo) di classe 
. Allora esiste un intorno di
in 
su cui il flusso integrale 
dell'equazione differenziale
è una funzione di tutte le variabili; inoltre esistono e sono
continue le derivate miste del tipo
Dimostrazione:
è continua rispetto a t e
Y; inoltre la continuità della derivata temporale segue da quella
del campo F, in quanto
Sia ora 
un compatto contenente sul quale sono definiti 
e le sue derivate. Dimostreremo che la derivata spaziale 
del flusso
(ovvero la sua matrice jacobiana) è continua in un intorno di
perché è un sistema fondamentale di soluzioni
dell'equazione alle variazioni
in altri termini, la soluzione Z(t) dell'equazione alle variazioni con
condizione iniziale 
è la derivata spaziale del flusso in direzione . Allora la continuità in t e la
dipendenza continua da Y di conseguono dalle proprietà
delle soluzioni 
del problema
Si noti inoltre che le componenti di 
sono le derivate
miste del flusso integrale, e la loro continuità segue
dall'equazione.
Infatti, il problema
ammette soluzione in un intorno 
di 
per l'uniforme
lipschitzianità di 
(che ha componenti uniformemente lipschitziane).
Mostriamo dunque che Z(t) coincide con , ovvero che
uniformemente in un intorno di 
: il risultato si ottiene
maggiorando il numeratore del rapporto incrementale ed applicando il
lemma di Gronwall. Scriviamo le funzioni che compaiono
nell'espressione precedente come
dove 
è un infinitesimo di ordine
superiore a 
uniformemente rispetto a t nel compatto 
; in particolare, per una opportuna costante K>0, in si
ha, applicando il teorema di
continuità del flusso ,
per sufficientemente piccolo.
Allora
dove
e 
dipende
dall'ampiezza di 
. Per il lemma di Gronwall, infine, si ottiene
da cui, per l'arbitrarietà di 
, discende
