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3.2 POZZI E SORGENTI

 

Sommario La stabilità o instabilità di un punto di equilibrio può essere determinata esaminando la sola parte lineare del campo vettoriale, purché questa non abbia autovalori con parte reale zero. Infatti la parte lineare dell'equazione differenziale determina il carattere esponenziale del flusso integrale, e questo determina il comportamento qualitativo se l'esponente è diverso da zero.

Esponenti di Lyapounov

Definizione:

Caso lineare

Nel caso di un sistema dinamico continuo lineare , la stabilità delle soluzioni può essere dedotto dalla loro forma esplicita in termini di funzioni elementari. Se ne possono ricavare informazioni molto precise sull'andamento delle soluzioni per tex2html_wrap_inline36340 .

Teorema del pozzo lineare :  Data la matrice A a coefficienti reali di tipo tex2html_wrap_inline34586 , le due seguenti proprietà sono equivalenti:

(a)
l'origine è un pozzo per il sistema dinamico lineare tex2html_wrap_inline37054 (cioè tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa).
(b)
Esistono costanti k e b positive tali che

displaymath37062

per ogni condizione iniziale tex2html_wrap_inline37064 e per ogni t positivo.

Dimostrazione:

 C.D.D.

Segue dal teorema, e dagli argomenti usati nella sua dimostrazione, che l'origine è asintoticamente stabile  se e solo se è un pozzo per il sistema lineare. Invece, se esiste anche un solo esponente di Lyapounov positivo l'origine è instabile . Il caso in cui gli esponenti di Lyapounov siano solamente tex2html_wrap_inline37096 (ma non tutti <0), non può essere deciso dal punto di vista della stabilità sulla base della sola conoscenza degli esponenti di Lyapounov: si possono trovare degli esempi sia stabili  che instabili (si veda l'esempio di risonanza nella Sezione 2.5).

Esempio:

Un teorema del tutto analogo riguarda il caso in cui tutti gli esponenti di Lyapounov sono positivi; la dimostrazione è in sostanza la stessa del caso precedente.

Teorema della sorgente lineare :  Data la matrice A a coefficienti reali di tipo tex2html_wrap_inline34586 , le due seguenti proprietà sono equivalenti:

(a)
l'origine è una sorgente per il sistema dinamico lineare tex2html_wrap_inline37054 (cioè tutti gli autovalori di A hanno parte reale positiva).
(b)
Esistono costanti k e b positive tali che

displaymath37140

per ogni condizione iniziale tex2html_wrap_inline37064 e per ogni t positivo.

Se si studia il comportamento per t negativo, ed i limiti per tex2html_wrap_inline35280 si scambia il comportamento di un pozzo con quella di una sorgente. Infatti se si scambia t con -t, il sistema dinamico tex2html_wrap_inline37054 diventa tex2html_wrap_inline37156 e gli autovalori di -A sono gli opposti degli autovalori di A.

Per estendere la teoria delle sorgenti e dei pozzi al caso nonlineare, abbiamo bisogno di una diseguaglianza che deriva dalla teoria della forma canonica di Jordan :

Teorema della norma adattata :  Data una matrice A a coefficienti reali di tipo tex2html_wrap_inline34586 , esiste una base tex2html_wrap_inline37166 di tex2html_wrap_inline34458 tale che, se

displaymath37170

sono due vettori espressi mediante le coordinate in questa base, ed il prodotto scalare definito da queste coordinate è:

displaymath37172

vale la diseguaglianza

displaymath37174

per ogni coppia di numeri reali tex2html_wrap_inline37176 tale che

displaymath37178

Si può usare il prodotto scalare associato alla base V per definire una norma  tex2html_wrap_inline37182 `adattata' alla matrice A ed ai suoi autospazi, e quindi riscrivere la diseguaglianza come:

displaymath37186

Dimostrazione:

 C.D.D.

Caso nonlineare

Nel caso nonlineare non si sanno, in generale, esprimere le soluzioni nell'intorno di un punto di equilibrio in forma analitica; in alcuni casi però si possono dedurre le proprietà di stabilità dallo studio del sistema linearizzato.

Teorema del pozzo nonlineare :  Sia tex2html_wrap_inline36814 un pozzo  per il sistema dinamico tex2html_wrap_inline36750 , definito e tex2html_wrap_inline34382 su tex2html_wrap_inline34372 , e sia A la matrice del sistema linearizzato  in tex2html_wrap_inline36814 . Se c è un numero reale positivo tale che ogni autovalore tex2html_wrap_inline36040 di A ha parte reale tex2html_wrap_inline37278 , esiste un intorno U di tex2html_wrap_inline36814 , ( tex2html_wrap_inline37284 ) tale che:

(a)
il flusso integrale tex2html_wrap_inline37286 è definito per ogni X in U e per ogni t>0;
(b)
esiste una costante B>0 tale che, per ogni X in U e per ogni tex2html_wrap_inline36932 :

displaymath37302

La tesi implica che tex2html_wrap_inline37286 tende ad tex2html_wrap_inline36814 per tex2html_wrap_inline35282 per ogni condizione iniziale X in U, in particolare tex2html_wrap_inline36814 è asintoticamente stabile .

Dimostrazione:

 C.D.D.

Ne segue che gli esponenti di Lyapounov  determinano l'andamento delle soluzioni per tex2html_wrap_inline35282 non solo nel caso lineare. Per un pozzo nonlineare, le soluzioni non sono direttamente esprimibili mediante funzioni esponenziali ed altre funzioni analitiche elementari, ma hanno l'andamento asintotico delle esponenziali, nel senso del prossimo problema.

Problema Dimostrare che se tex2html_wrap_inline36814 è un pozzo (sia lineare che nonlineare), ed X(t) una soluzione con condizione iniziale abbastanza vicina ad tex2html_wrap_inline36814 , allora

displaymath37394

esiste finito, ed è pari ad uno degli esponenti di Lyapounov.

Esempio:

Esercizio Consideriamo l'equazione di Van der Pol  :

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Provare che l'origine è asintoticamente stabile.

Esercizio Individuare eventuali pozzi e sorgenti del sistema

displaymath37258

(Soluzione)

Un teorema del tutto analogo riguarda il caso della sorgente, cioè quello in cui gli esponenti di Lyapounov sono tutti positivi:

Teorema della sorgente nonlineare :  Sia tex2html_wrap_inline36814 una sorgente  per il sistema dinamico tex2html_wrap_inline36750 , definito e tex2html_wrap_inline34382 su tex2html_wrap_inline34372 , e sia A la matrice del sistema linearizzato  in tex2html_wrap_inline36814 . Se c è un numero reale positivo tale che ogni autovalore tex2html_wrap_inline36040 di A ha parte reale tex2html_wrap_inline37438 , esiste un intorno U di tex2html_wrap_inline36814 , ( tex2html_wrap_inline37284 ) tale che:

(a)
il flusso integrale tex2html_wrap_inline37286 è definito per ogni X in U e per ogni tex2html_wrap_inline37452 .
(b)
esiste una costante B>0 tale che, per ogni X in U e per ogni t<0:

displaymath37462

Dimostrazione:

 C.D.D.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997