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Soluzioni del capitolo 3


ESERCIZIO 3.3   I punti di equilibrio si individuano risolvendo

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e si studiano linearizzando F nei punti determinati. Si ottengono così i sistemi tex2html_wrap_inline52000 per le coppie

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Solamente tex2html_wrap_inline52002 è una sorgente, mentre gli altri tre punti sono selle nonlineari : gli autovalori corrispondenti sono infatti

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Si noti che il sistema è conservativo , anzi hamiltoniano  con tex2html_wrap_inline52004 .


ESERCIZIO 3.4   Il sistema linearizzato nell'origine è

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gli autovalori sono immaginari puri, ed è necessario cercare una funzione di Lyapounov V(x,y) per l'origine. Ha successo il tentativo tex2html_wrap_inline52008 , con tex2html_wrap_inline52010 : affinché tex2html_wrap_inline52012 basta che a=b.


ESERCIZIO 3.6   In ciascun caso, l'andamento delle soluzioni è determinato da quello del potenziale del sistema newtoniano associato:


ESERCIZIO 3.9   Poiché tex2html_wrap_inline52022 e tex2html_wrap_inline52024 , su ogni componente semplicemente connessa D del dominio di F (in tal caso tutto tex2html_wrap_inline34636 )è possibile determinare V(x) in modo che F=grad -V(x): integrando su una curva tex2html_wrap_inline38878 che congiunge tex2html_wrap_inline34888 e (x,y) in D, (per esempio tex2html_wrap_inline34560 e tex2html_wrap_inline52046 ) si ottiene

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quindi, per s=1, tex2html_wrap_inline52050 . In questo caso, il sistema è gradiente con tex2html_wrap_inline52052 ; i punti critici sono

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(tre selle ed una sorgente).


Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997