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Soluzioni del capitolo 2


ESERCIZIO 2.1  
  1. Da tex2html_wrap_inline51746 segue

    displaymath51682

    eqnarray28648

  2. Poiché la matrice è diagonale:,

    displaymath51748

  3. Calcolando le potenze successive di A si ottiene

    displaymath51683

    da cui

    eqnarray28671


PROBLEMA 2.2   Si possono mostrare le sei proprietà nell'ordine seguente:

tabular28680


PROBLEMA 2.3  Come per la serie reale, definiamo le successioni

eqnarray28688

(A ed I commutano); poiché tex2html_wrap_inline51772 , tex2html_wrap_inline51774 converge uniformemente a I. Inoltre tex2html_wrap_inline51778 è totalmente convergente (converge la serie tex2html_wrap_inline51780 , con ||A||<1), quindi converge uniformemente ad una S; per la continuità del prodotto fra matrici rispetto alla convergenza uniforme, anche

displaymath51684

Allora I-A è invertibile e tex2html_wrap_inline51788 .


PROBLEMA 2.4  Ricordando che tex2html_wrap_inline51790 ,

eqnarray28700


ESERCIZIO 2.5  Dal punto di vista algebrico, si possono facilmente calcolare coefficienti a,b,c,d tali che

displaymath51685

ossia

displaymath51686

e a=b, c=d, tex2html_wrap_inline51798 ; la matrice del cambiamento di base è del tipo tex2html_wrap_inline51800 con a e d non nulli. In questo caso, il passaggio di coordinate cercato può essere dedotto anche geometricamente. L'applicazione lineare rappresentata dalla matrice tex2html_wrap_inline51806 scambia i vettori tex2html_wrap_inline51808 e tex2html_wrap_inline51810 della vecchia base: ùna simmetria rispetto alla loro bisettrice, i cui vettori tex2html_wrap_inline51812 sono lasciati fissi. Rispetto ad una nuova base con primo vettore tex2html_wrap_inline51814 sull'asse di simmetria e secondo vettore tex2html_wrap_inline51816 ad esso ortogonale, l'applicazione si rappresenta con la matrice tex2html_wrap_inline51818 , e la matrice B del cambiamento di base ha per colonne le coordinate di tex2html_wrap_inline51814 e tex2html_wrap_inline51816 rispetto alla vecchia base. Per esempio,

displaymath51687

ovvero

displaymath51688

come ottenuto algebricamente.


ESERCIZIO 2.6  

displaymath51826

displaymath51828

displaymath51830

con

displaymath51832


ESERCIZIO 2.7   Risulta tex2html_wrap_inline51834 , con

displaymath51689

Nel riferimento tex2html_wrap_inline51836 , relativo alla base della forma canonica, le traiettorie hanno equazione

displaymath51690

da cui, eliminando t, si ottiene

displaymath51691

eqnarray28779

L'equazione nel piano tex2html_wrap_inline35350 si ottiene per sostituzione, tramite il cambiamento di base

displaymath51692


PROBLEMA 2.8   Se in un punto P=OX(t) la tangente alla curva tex2html_wrap_inline51844 è proporzionale ad un vettore ottenuto ruotando OP dell'angolo orientato tex2html_wrap_inline35724 , la curva tex2html_wrap_inline51850 è soluzione del sistema dinamico

displaymath51693

Gli autovalori di A ( tex2html_wrap_inline51854 ) sono complessi: tex2html_wrap_inline51856 , ed A è già in forma canonica. Quindi per ogni punto tex2html_wrap_inline34452 del piano passa una curva

displaymath51694

Le traiettorie sono, in genere, spirali intorno al fuoco (0,0): l'unico caso in cui sono limitate è quello in cui tex2html_wrap_inline51864 , allorché

displaymath51695

ed i supporti sono circonferenze centrate nell'origine. Per tex2html_wrap_inline51866 le spirali si allargano in senso antiorario, per tex2html_wrap_inline51868 in senso orario (secondo il segno di tex2html_wrap_inline51870 ); infine per tex2html_wrap_inline51872 risulta tex2html_wrap_inline51874 , con traiettorie rettilinee uscenti dall'origine.


ESERCIZIO 2.9   Sommario dei calcoli:

displaymath51696

displaymath51697


ESERCIZIO 2.11   Resta da vedere che valori possono assumere tex2html_wrap_inline51876 e tex2html_wrap_inline51878 , dato che tex2html_wrap_inline51880 . Se tex2html_wrap_inline51882 , anche tex2html_wrap_inline51884 , tex2html_wrap_inline51886 e

displaymath51698

se tex2html_wrap_inline51888 , le ulteriori possibilità sono

displaymath51699


ESERCIZIO 2.12   Polinomio caratteristico tex2html_wrap_inline36608 : se è vero che A ha un solo autovalore, tex2html_wrap_inline51894 , e tex2html_wrap_inline51896 (i calcoli confermano ...). La forma canonica D di A ha n 2-blocchi di Jordan, dove n è la dimensione del tex2html_wrap_inline51906 . Dallo studio della caratteristica di

displaymath51700

risulta n=2 (la seconda riga è multipla della terza, la prima è somma della terza e della quarta, linearmente indipendenti). Poiché tex2html_wrap_inline51910 , entrambi i blocchi hanno ordine 2: in tal caso è facile determinare esplicitamente una base per i blocchi nilpotenti. Se infatti tex2html_wrap_inline51914 , tex2html_wrap_inline51916 è indipendente da tex2html_wrap_inline35204 e tex2html_wrap_inline51920 , e se (analogamente) si sceglie un tex2html_wrap_inline51922 indipendente da tex2html_wrap_inline35206 anche tex2html_wrap_inline51926 è tale che tex2html_wrap_inline51928 ; per esempio, se

displaymath51701

la forma canonica D di A rispetto a tex2html_wrap_inline51934 e la matrice B del cambiamento di base sono

displaymath51702

Calcolando tex2html_wrap_inline51938 e tex2html_wrap_inline35108 si ottiene il flusso integrale:

displaymath51703

Le traiettorie tendono all'infinito per tex2html_wrap_inline36340 per qualunque punto iniziale tex2html_wrap_inline34452 .


ESERCIZIO 2.13  Sia tex2html_wrap_inline36562 l'allungamento iniziale. Fissando l'origine nell'estremo libero della molla a riposo, l'equazione del moto è quella di un oscillatore lineare  con le condizioni iniziali

displaymath51704

Qui tex2html_wrap_inline51948 ; affinché il punto oscilli, le radici tex2html_wrap_inline51950 del polinomio devono avere parte immaginaria non nulla ( tex2html_wrap_inline35208 ), ovvero

displaymath51705

In tal caso, la soluzione

displaymath51706

(per un opportuno tex2html_wrap_inline37584 ) ha ampiezza

displaymath51707

che risulta maggiore di L/3 al tempo T se

displaymath51708


ESERCIZIO 2.14  Le costanti c ed della soluzione

displaymath51709

si determinano per sostituzione ottenendo

eqnarray28881

displaymath51710

Se tex2html_wrap_inline51964 (ovvero se non si impongono condizioni negli istanti tex2html_wrap_inline51966 in cui la soluzione ha un massimo locale ...) si può calcolare d ed ottenere un'unica soluzione; se invece le condizioni ai limiti ``risuonano'' con la soluzione, ovvero se tex2html_wrap_inline51970 , le soluzioni possono non esistere (se il secondo membro dell'uguaglianza è diverso da zero) oppure essere infinite (se il secondo membro è nullo).


ESERCIZIO 2.16   tex2html_wrap_inline51972 ; quindi le soluzioni sono del tipo

displaymath51711

per opportuni tex2html_wrap_inline51974 .


PROBLEMA 2.17   Poiché per ogni tex2html_wrap_inline51976 tex2html_wrap_inline51978 , l'operatore D è nilpotente, con matrice

displaymath51712

rispetto alla base tex2html_wrap_inline51982 ; per passare alla forma canonica nilpotente, è sufficiente riscalare la base e cambiarne l'ordine:

displaymath51713


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997