segue 
da cui
(A ed I commutano); poiché 
, 
converge uniformemente a I. Inoltre 
è totalmente convergente (converge la serie 
, con ||A||<1), quindi converge uniformemente ad una S; per la continuità del prodotto fra matrici rispetto alla convergenza uniforme, anche
Allora I-A è invertibile e 
.
, 
ossia
e a=b, c=d, 
; la matrice del cambiamento di base è del tipo 
con a e d non nulli. In questo caso, il passaggio di coordinate cercato può essere dedotto anche geometricamente. L'applicazione lineare rappresentata dalla matrice 
scambia i vettori 
e 
della vecchia base: ùna simmetria rispetto alla loro bisettrice, i cui vettori 
sono lasciati fissi. Rispetto ad una nuova base con primo vettore 
sull'asse di simmetria e secondo vettore 
ad esso ortogonale, l'applicazione si rappresenta con la matrice 
, e la matrice B del cambiamento di base ha per colonne le coordinate di e rispetto alla vecchia base. Per esempio,
ovvero
come ottenuto algebricamente.
con
, con 
Nel riferimento 
, relativo alla base della forma canonica, le traiettorie hanno equazione
da cui, eliminando t, si ottiene
L'equazione nel piano 
si ottiene per sostituzione, tramite il cambiamento di base
è proporzionale ad un vettore ottenuto ruotando OP dell'angolo orientato 
, la curva 
è soluzione del sistema dinamico 
Gli autovalori di A ( 
) sono complessi: 
, ed A è già in forma canonica. Quindi per ogni punto 
del piano passa una curva
Le traiettorie sono, in genere, spirali intorno al fuoco (0,0): l'unico caso in cui sono limitate è quello in cui 
, allorché
ed i supporti sono circonferenze centrate nell'origine. Per 
le spirali si allargano in senso antiorario, per 
in senso orario (secondo il segno di 
); infine per 
risulta 
, con traiettorie rettilinee uscenti dall'origine.
e 
, dato che 
. Se 
, anche 
, 
e 
se 
, le ulteriori possibilità sono
: se è vero che A ha un solo autovalore, 
, e 
(i calcoli confermano ...). La forma canonica D di A ha n 2-blocchi di Jordan, dove n è la dimensione del 
. Dallo studio della caratteristica di 
risulta n=2 (la seconda riga è multipla della terza, la prima è somma della terza e della quarta, linearmente indipendenti). Poiché 
, entrambi i blocchi hanno ordine 2: in tal caso è facile determinare esplicitamente una base per i blocchi nilpotenti. Se infatti 
, 
è indipendente da 
e 
, e se (analogamente) si sceglie un 
indipendente da 
anche 
è tale che 
; per esempio, se
la forma canonica D di A rispetto a 
e la matrice B del cambiamento di base sono
Calcolando 
e 
si ottiene il flusso integrale:
Le traiettorie tendono all'infinito per 
per qualunque punto iniziale .
l'allungamento iniziale. Fissando l'origine nell'estremo libero della molla a riposo, l'equazione del moto è quella di un oscillatore lineare con le condizioni iniziali 
Qui 
; affinché il punto oscilli, le radici 
del polinomio devono avere parte immaginaria non nulla ( 
), ovvero
In tal caso, la soluzione
(per un opportuno 
) ha ampiezza
che risulta maggiore di L/3 al tempo T se
si determinano per sostituzione ottenendo
Se 
(ovvero se non si impongono condizioni negli istanti 
in cui la soluzione ha un massimo locale ...) si può calcolare d ed ottenere un'unica soluzione; se invece le condizioni ai limiti ``risuonano'' con la soluzione, ovvero se 
, le soluzioni possono non esistere (se il secondo membro dell'uguaglianza è diverso da zero) oppure essere infinite (se il secondo membro è nullo).
; quindi le soluzioni sono del tipo 
per opportuni 
.
, l'operatore D è nilpotente, con matrice 
rispetto alla base 
; per passare alla forma canonica nilpotente, è sufficiente riscalare la base e cambiarne l'ordine:
