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6.5 SISTEMI HAMILTONIANI

 

Sommario I sistemi hamiltoniani trattano sullo stesso piano le coordinate ed i momenti; perciò è possibile utilizzare dei cambiamenti di coordinate che mescolano le une e gli altri. Se il cambiamento di carta nello spazio delle fasi soddisfa opportune condizioni sulla matrice jacobiana, allora è canonico, cioè conserva la forma delle equazioni di Hamilton. Trasformazioni canoniche possono essere costruite a partire da funzioni generatrici in variabili miste; questo permette di cercare trasformazioni che semplificano le equazioni di moto.

Definizione:

Più in generale le Q potrebbero essere le coordinate di una carta locale di uno spazio delle configurazioni  definito da vincoli olonomi; in tal caso le P cambiano, nel passaggio da una carta all'altra, in modo covariante , cioè come i gradienti e come le equazioni di Lagrange: se le coordinate nella nuova carta sono Z ed i momenti W

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Trasformazioni canoniche

Vogliamo determinare quali cambiamenti di coordinate

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mandano le equazioni di Hamilton con hamiltoniana H(P,Q) nelle equazioni di Hamilton con hamiltoniana K(W,Z) che è ottenuta per composizione, cioè che corrisponde per valore :

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in tal caso il cambiamento di coordinate tex2html_wrap_inline42044 si dice una trasformazione canonica  .

Teorema delle trasformazioni canoniche :  Sia tex2html_wrap_inline42044 un cambiamento di coordinate che sia un diffeomorfismo ( tex2html_wrap_inline34382 e con inversa tex2html_wrap_inline34382 ); se A è la matrice jacobiana di tex2html_wrap_inline42044 :

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la trasformazione tex2html_wrap_inline42044 è canonica se e solo se identicamente in ogni punto:

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dove la matrice J è la matrice tex2html_wrap_inline44048

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ottenuta accostando matrici zero e tex2html_wrap_inline44052 matrici indentità di tipo tex2html_wrap_inline34586 .

Si dice in tal caso che la matrice jacobiana A è una matrice simplettica  . La matrice J che definisce la struttura simplettica   dello spazio delle fasi di dimensione 2n è evidentemente una generalizzazione della matrice che definisce la struttura complessa  del piano (p,q) nel caso ad un solo grado di libertà; infatti è sempre vero che tex2html_wrap_inline35374 . Se si tiene a mente questa analogia, sia l'enunciato che la dimostrazione di questo teorema sono formalmente identici a quello del teorema delle trasformazioni che conservano l'area .

Dimostrazione:

 C.D.D.

Esercizio Verificare che sono trasformazioni canoniche le seguenti:

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Teorema di Liouville :  Se A è una matrice simplettica, cioè tex2html_wrap_inline44118 , allora valgono le seguenti proprietà:

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se tex2html_wrap_inline36040 è un autovalore di A, anche tex2html_wrap_inline44126 lo è; sono gli stessi sia la molteplicità dell'autovalore , sia il numero di blocchi di Jordan ).

Poiché il determinante jacobiano appare nella formula di cambiamento di variabile negli integrali multipli , se un diffeomorfismo ha per matrice jacobiana una matrice simplettica allora conserva il volume. Quindi le trasformazioni canoniche conservano il volume dello spazio delle fasi.

Dimostrazione:

 C.D.D.

Funzione generatrice

Abbiamo visto come verificare che una data trasformazione è canonica, mediante la matrice jacobiana. Cerchiamo un metodo per costruire trasformazioni canoniche. Il procedimento è del tutto analogo a quello della funzione generatrice  ad un grado di libertà.

Teorema della funzione generatrice :  Sia B un insieme aperto dello spazio delle fasi con carta (P,Q), e sia

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un diffeomorfismo di classe tex2html_wrap_inline34798 tra i due insiemi B e C, che sia anche una trasformazione canonica.

Sia tex2html_wrap_inline44184 un punto di B tale che tex2html_wrap_inline44188 è una matrice invertibile. Allora esiste un intorno U di tex2html_wrap_inline44184 su cui la tex2html_wrap_inline42044 può essere descritta come segue: esiste una funzione F, di classe tex2html_wrap_inline34798 , delle variabili (Q,W), detta funzione generatrice  , il cui differenziale è:

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ossia, in termini di derivate parziali

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inoltre la funzione F(Q,W) ha la proprietà che

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L'insieme di definizione di S(Q,W) è grande ``quanto è necessario'' per definire la trasformazione tra tutti i punti di U e tutti i punti di tex2html_wrap_inline42282 .

La dimostrazione che segue è simile a quella del teorema della funzione generatrice . La sola difficoltà aggiuntiva sta nel maneggiare la nozione di forma differenziale lineare  a 2n variabili:

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In particolare va utilizzata la nozione di forma chiusa , ed il teorema di Poincaré .

Dimostrazione:

 C.D.D.

Esempio:

Esempio:

La funzione generatrice è una funzione di variabili ``miste'', cioè metà ``vecchie'' e metà ``nuove''. Però la scelta di Q nella coppia di vettori (P,Q) e di W nella coppia di vettori (W,Z) è arbitraria. Questo si può eseguire componendo una trasformazione definita da F(Q,W) con una trasformazione canonica che scambia ogni coordinata con il suo momento coniugato, con un opportuno cambio di segno, in uno dei due sistemi di coordinate (o in entrambi).

Con una funzione generatrice

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si ottiene la trasformazione:

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Con la funzione generatrice in variabili miste

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si definisce la trasformazione

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La quarta formula usa la funzione generatrice

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e la fornisce la regola di trasformazione con due segni meno:

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L'unica difficoltà nell'impiego di una qualunque di queste quattro formule della trasformazione definita dalle funzione generatrice è quella di ricordarsi la regola dei segni. Per questo conviene, se possibile, attenersi al caso F(Q,W) che ha tutti i segni positivi.

In effetti si potrebbero anche usare, come variabili della funzione generatrice, alcuni vecchi momenti e coordinate, ed i corrispondenti coniugati tra le nuove variabili.

Metodo di Hamilton-Jacobi

Il metodo della funzione generatrice per descrivere le trasformazioni canoniche consente anche di descrivere le soluzioni di un sistema hamiltoniano in termini di una sola funzione generatrice. Supponiamo infatti di cercare una trasformazione canonica che trasformi una hamiltoniana data H(P,Q) in una banalmente integrabile, per esempio K(W,Z)=K(W).

Se questo fosse possibile, renderebbe il sistema integrabile. Infatti, le soluzioni nello spazio delle (W,Z) sarebbero semplicemente, in funzione della condizione iniziale tex2html_wrap_inline44366 :

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e sostituendo nella trasformazione inversa tex2html_wrap_inline44370 si avrebbero le soluzioni esplicite nello spazio delle (P,Q). La funzione generatrice  cercata S(Q,W) dovrebbe definire una trasformazione canonica tale che

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Per rendersi conto delle condizioni che questo impone alla funzione generatrice S(Q,W) occorre esprimere la relazione tra le due hamiltoniane in variabili miste (Q,W): sostituendo

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oltre che l'ovvia Q(Q,W)=Q, si trova un'equazione alle derivate parziali (in generale nonlineare) detta equazione di Hamilton-Jacobi   nella funzione incognita S(Q,W):

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Si noti che la funzione K(W) può essere qualsiasi. La funzione S deve essere tale da funzionare correttamente da funzione generatrice di una trasformazione canonica, almeno locale, quindi deve soddisfare a

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in tal caso si dice che S(Q,W) è una funzione caratteristica di Hamilton-Jacobi   per il sistema hamiltoniano dato.

In generale, un'equazione differenziale a derivate parziali è più difficile da risolvere di un'equazione differenziale a derivate ordinarie. La formulazione mediante equazione di Hamilton-Jacobi è vantaggiosa quando si possono sfruttare alcune proprietà di simmetria della funzione hamiltoniana che rendono l'equazione a derivate parziali integrabile mediante quadrature .

Esempio:

Separazione di variabili

Il caso più notevole in cui l'equazione di Hamilton-Jacobi può essere risolta esplicitamente (mediante quadrature) è quello in cui è possibile la separazione delle variabili  , ossia si può trovare una soluzione dell'equazione di Hamilton-Jacobi della forma

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In tal caso l'equazione di Hamilton-Jacobi si riduce a tante equazioni differenziali ordinarie, a variabili separabili, quanti sono i gradi di libertà, ottenute separando le parti dell'equazione che dipendono dalle singole tex2html_wrap_inline44004 . La funzione S si trova allora per quadrature. Questo sarà reso più chiaro da un esempio.

Esempio:

Esempio:


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997