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6.2 TRASFORMATA DI LEGENDRE

 

Sommario Un sistema lagrangiano può essere trasformato in un sistema hamiltoniano, purché sia soddisfatta una condizione di non degenerazione. Questo consente per esempio di mettere in evidenza l'integrale dell'energia in un sistema lagrangiano derivato da un sistema newtoniano. La trasformazione di Legendre consente anche di mettere in evidenza le simmetrie del sistema mediante variabili cicliche. Sistemi lagrangiani - o hamiltoniani - con un numero sufficiente di variabili cicliche possono essere ridotti ad un grado di libertà, quindi sono integrabili, come nel caso della forza centrale.

Trasformazione di Legendre

Come nel caso ad un grado di libertà, per un sistema descritto in un o spazio delle fasi  tex2html_wrap_inline43054 da una lagrangiana tex2html_wrap_inline43056 è interessante uno speciale cambiamento di coordinate, ottenuto sostituendo alla velocità generalizzata  tex2html_wrap_inline42962 il vettore dei momenti coniugati  , che formano il vettore riga

displaymath43060

Supponiamo che questa relazione sia definita ed invertibile tra l'aperto W delle tex2html_wrap_inline42922 ed un aperto tex2html_wrap_inline43066 delle (P,Q), cioè che sia definita tex2html_wrap_inline43070 : allora possiamo definire la trasformata di Legendre  

displaymath43072

che fornisce una funzione di Hamilton H(P,Q), definita e di classe tex2html_wrap_inline34798 su Y, quando sia nota la funzione di Lagrange tex2html_wrap_inline42920 , definita e di classe tex2html_wrap_inline34798 su Z. viceversa, data H si ottiene L trasformandola in modo identico e con identiche condizioni di invertibilità:

displaymath43052

La condizione perché la trasformazione di Legendre inversa  

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sia almeno localmente invertibile (con inversa differenziabile) è che la sua matrice jacobiana sia invertibile: deve valere la condizione di non degenerazione  

displaymath43092

in ogni punto di Z.

A differenza del caso con un solo grado di libertà, la condizione di non degenerazione non è sufficiente ad assicurare l'invertibilità globale della trasformazione di Legendre, perché il teorema della funzione inversa  in più variabili è soltanto locale. L'invertibilità globale va quindi verificata caso per caso, oppure bisogna limitarsi a conclusioni valide solo su di un intorno delle condizioni iniziali nello spazio delle fasi.

Teorema della trasformata di Legendre :  Sia data una lagrangiana tex2html_wrap_inline42920 di classe tex2html_wrap_inline34798 e non degenere sull'aperto tex2html_wrap_inline43054 , tale che la trasformazione tex2html_wrap_inline43102 definita da

displaymath43104

sia invertibile (per ogni Q) (perciò tale che la trasformazione inversa di Legendre definisca un diffeomorfismo di classe tex2html_wrap_inline34382 tra W e tex2html_wrap_inline43066 ).

Allora la funzione di Hamilton H(P,Q), di classe tex2html_wrap_inline34798 su Y, definita dalla trasformata di Legendre, è tale che le equazioni di Hamilton 

displaymath43120

e le equazioni di Lagrange

displaymath43122

hanno soluzioni che si corrispondono per la trasformazione di Legendre inversa.

Viceversa, sia data una funzione di Hamilton H(P,Q), di classe tex2html_wrap_inline34798 e non degenere sull'aperto tex2html_wrap_inline43066 , cioè tale che

displaymath43130

Se la trasformazione di Legendre   tex2html_wrap_inline43132 definita dalla seconda delle equazioni di Hamilton

displaymath43134

è invertibile (per ogni Q) (quindi se definisce un diffeomorfismo di classe tex2html_wrap_inline34382 tra Y e tex2html_wrap_inline43054 ), allora la funzione di Lagrange, di classe tex2html_wrap_inline34798 su W, definita dalla trasformata di Legendre, è tale che le corrispondenti equazioni di Lagrange hanno soluzioni che corrispondono, per la trasformazione di Legendre, a quelle delle equazioni di Hamilton.

Dimostrazione:

 C.D.D.

I due sistemi lagrangiano e hamiltoniano, che si ottengono l'uno dall'altro usando la trasformata di Legendre nel caso non degenere, esprimono dinamiche equivalenti , ma il sistema hamiltoniano ha il vantaggio di avere automaticamente un integrale primo:

Proprietà:

Una lagrangiana degenere è perfettamente adatta a definire un sistema dinamico, che però potrebbe non avere un integrale dell'energia. Una hamiltoniana degenere definisce un sistema hamiltoniano che non può essere convertito in uno lagrangiano, ma che ha ugualmente un integrale primo H(P,Q)=cost; non bisogna però presumere che l'integrale definito dalla hamiltoniana possa sempre essere interpretato come energia. Invece non sono necessarie né la condizione di convessità, né altre condizioni sui segni degli autovalori delle matrici delle derivate seconde. Questo perché, a differenza di quanto accade con un solo grado di libertà, gli autovalori possono cambiare di segno senza che la matrice diventi degenere.

Sistemi hamiltoniani provenienti da sistemi newtoniani

Se la funzione di Lagrange è quella dei sistemi newtoniani

displaymath43198

allora la trasformazione di Legendre è una relazione lineare tra velocità tex2html_wrap_inline37508 e momenti Y:

displaymath43204

che è sempre invertibile, poiché M è definita positiva; si noti che Y è un vettore riga. La trasformata di Legendre fornisce una hamiltoniana che è ancora quadratica nelle Y:

eqnarray15155

La formula qui sopra si semplifica perché il prodotto scalare tex2html_wrap_inline43212 coincide con 2T.

Il risultato si estende al caso generico di una lagrangiana che deriva da un sistema newtoniano per effetto di un cambiamento di coordinate; ciò che conta è che tex2html_wrap_inline42920 sia una forma quadratica nelle tex2html_wrap_inline42962 priva di termini lineari:

displaymath43220

La trasformazione di Legendre inversa è lineare (nelle tex2html_wrap_inline42962 ), invertibile se supponiamo B(Q) definita positiva per ogni Q:

displaymath43228

Grazie alla relazione

displaymath43230

si semplifica la funzione di Hamilton, che coincide con l'energia totale 

displaymath43232

ed è ancora una forma quadratica nelle P, senza termini lineari, la cui matrice è l'inversa della matrice che appare nella lagrangiana:

displaymath43236

In questo caso l'integrale primo definito dalla hamiltoniana e l'integrale dell'energia ottenuto dal sistema newtoniano coincidono, nel senso che sono la stessa funzione nei due diversi sistemi di coordinate.

Variabili cicliche

I cambiamenti di coordinate nelle equazioni di Lagrange vengono utilizzati per vari scopi: per esempio, rendere più semplice la forma delle equazioni e delle soluzioni. Una semplificazione notevole si ottiene quando esiste una variabile ciclica  , cioè una coordinata che non compare nella funzione di Lagrange: se per esempio supponiamo che sia la prima coordinata, cioè che

displaymath43238

allora la prima delle equazioni di Lagrange avrà la forma più semplice

displaymath43240

allora il momento coniugato  alla variabile ciclica (quello con lo stesso indice) risulterà un integrale primo.

La definizione di variabile ciclica si applica anche ad una funzione di Hamilton: se

displaymath43242

allora una delle corrispondenti equazioni di Hamilton è

displaymath43244

Si può verificare, derivando rispetto a tex2html_wrap_inline41140 la trasformazione di Legendre, che la variabile tex2html_wrap_inline41140 è ciclica per la tex2html_wrap_inline42920 se e solo se lo è per la H(P,Q), dove si intende che le due funzioni siano legate dalla trasformata di Legendre.

Per sfruttare pienamente il vantaggio della presenza di una variabile ciclica, bisogna separare completamente la dinamica della variabile ciclica da quella delle altre variabili: il modo più semplice è quello di utilizzare le equazioni di Hamilton per la variabile ciclica ed il suo momento coniugato:

displaymath43254

dove la seconda è risolta ricavando l'inversa della legge oraria per quadratura ; si noti che nella funzione integranda compaiono le coordinate tex2html_wrap_inline43256 ed i momenti tex2html_wrap_inline43258 come funzioni del tempo, e la costante tex2html_wrap_inline43260 . Le soluzioni per le tex2html_wrap_inline43262 dovranno essere ottenute dalle altre equazioni (di Lagrange o di Hamilton) a k-1 gradi di libertà, con il parametro tex2html_wrap_inline43266 .

Coordinate polari e forze centrali

Le coordinate polari possono essere impiegate efficacemente per semplificare le equazioni di Lagrange, in particolare se semplificano l'energia potenziale.

Prendiamo tex2html_wrap_inline43268 , ed eseguiamo il cambiamento di coordinate che passa alle coordinate polari  Q:

displaymath43272

con matrice jacobiana

displaymath43274

che è non singolare per r>0, e che descrive la trasformazione controvariante  delle velocità generalizzate:

displaymath43278

allora l'energia cinetica del corpo puntiforme di massa m

displaymath43282

si trasforma in coordinate polari in

displaymath43284

Questo cambiamento di coordinate si dimostra particolarmente utile quando il campo di forze è del tipo della forza centrale  , ossia orientato radialmente verso l'origine, con intensità che dipende solo del raggio

displaymath43286

supponiamo che g(r) sia una funzione tex2html_wrap_inline34382 almeno per r>0. I campi di forza centrale sono sempre conservativi:

displaymath43294

Quindi il sistema newtoniano con forza centrale si può sempre descrivere in forma lagrangiana con

displaymath43296

che in coordinate polari diventa

displaymath43298

ma allora tex2html_wrap_inline35456 è una variabile ciclica , e le equazioni di Lagrange risultano particolarmente semplici. L'equazione di Lagrange relativa a tex2html_wrap_inline35456 si riduce a

displaymath43304

la cui soluzione è tex2html_wrap_inline43306 con c costante (da determinare in base alle condizioni iniziali), mentre quella per la coordinata r contiene il momento coniugato

displaymath43312

displaymath43314

e si semplifica sostituendo la trasformazione di Legendre, cioè l'espressione di tex2html_wrap_inline38526 in funzione della costante c:

displaymath43320

In conclusione il problema del corpo puntiforme nel piano con forza centrale si riduce ad un sistema ad un grado di libertà, che si può anche considerare come un sistema newtoniano, pur di considerare un'energia potenziale effettiva   K(r) che contiene un termine supplementare rispetto all'energia potenziale del campo di forze:

displaymath43324

La trasformata di Legendre fornisce la hamiltoniana

eqnarray15233

Le equazioni di Hamilton per la variabile ciclica tex2html_wrap_inline35456 sono

displaymath43328

e per la variabile r

displaymath43332

Se si sostituisce al momento tex2html_wrap_inline43334 il suo valore costante c, anche il sistema hamiltoniano appare come un sistema ad un grado di libertà con parametro c:

displaymath43340

in cui compare l'energia potenziale effettiva K(r) al posto dell'energia potenziale V(r). Lo studio qualitativo di questo sistema dinamico risulterà semplicemente dallo studio dalle proprietà della funzione K(r), con i metodi visti nella Sezione 5.2.

Il termine supplementare tex2html_wrap_inline43348 può essere interpretato come energia potenziale associato alla forza apparente centrifuga ; in questo caso la riduzione all'unico grado di libertà r consiste nel rendere il riferimento dell'osservatore solidale con il punto materiale.

Coordinate polari sferiche

Consideriamo le coordinate polari sferiche   nello spazio tex2html_wrap_inline40050 :

displaymath43354

con la trasformazione X=X(Q) definita da:

displaymath43358

dove r=|(x,y,z)| è la distanza dall'origine, tex2html_wrap_inline35456 è la latitudine e tex2html_wrap_inline36040 la longitudine (rispetto ad un piano equatoriale e ad un asse polare arbitrari).

Le derivate parziali della trasformazione formano una matrice jacobiana tex2html_wrap_inline35990

displaymath43368

displaymath43370

Supponiamo di avere ancora un corpo puntiforme di massa m ed un campo di forza centrale  con energia potenziale V(r): come nel caso bidimensionale,

displaymath43376

è la lagrangiana in coordinate cartesiane, mentre in funzione delle coordinate polari è

displaymath43378

  figure15308
Figure 6.1:  Nelle coordinate polari sferiche, i tre vettori delle derivate parziali rispetto alle tre coordinate sono sempre tra loro ortogonali.

Questa espressione si semplifica notevolmente perché i tre vettori colonna della matrice jacobiana sono tra loro ortogonali:

displaymath43380

Quindi la matrice della forma quadratica, che esprime l'energia cinetica in coordinate polari, resta diagonale:

eqnarray15317

ed anche in questo caso c'è una variabile ciclica, cioè tex2html_wrap_inline43382 .

La trasformata di Legendre si può calcolare con la formula della matrice inversa: se la matrice che esprime 2T in funzione di tex2html_wrap_inline42962 è

displaymath43388

(si noti che dipende effettivamente da tex2html_wrap_inline43390 ma non da tex2html_wrap_inline36040 ), allora la matrice che esprime 2T in funzione di P è

displaymath43398

Quindi la hamiltoniana è

eqnarray15340

che, utilizzando l'integrale primo che deriva dalla variabile ciclica tex2html_wrap_inline36040 , può essere interpretata come una hamiltoniana a due gradi di libertà: posto tex2html_wrap_inline43402 , si ha

displaymath43404

con solo quattro variabili dinamiche ed un parametro (dipendente dalle condizioni iniziali, ma indipendente dal tempo) tex2html_wrap_inline43406 .

Anche nel caso tridimensionale il problema con forza centrale è integrabile, ma questo richiede l'eliminazione di una seconda variabile che non è ciclica; il metodo da impiegare sarà spiegato nella Sezione 6.5.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997