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5.2 INTEGRABILITÀ

 

Sommario I sistemi hamiltoniani ad un grado di libertà sono integrabili  nel senso che la soluzione si può esprimere mediante un algoritmo che include quadrature e funzioni implicite. Tutte le curve di livello regolari, semplici e chiuse della funzione hamiltoniana corrispondono ad orbite periodiche.

Legge oraria

Consideriamo una hamiltoniana del tipo che si può ottenere da un sistema newtoniano, e le corrispondenti equazioni di Hamilton:

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Poiché la funzione di Hamilton è un integrale primo, se si fissa il suo valore E l'equazione della curva di livello H(p,q)=E definisce implicitamente una relazione tra p e q: per esempio si può ricavare p in funzione di q:

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  figure11568
Figure 5.1:  Il tempo necessario per passare da valore q1 al valore q2 della coordinata q si calcola mediante una quadratura, ma questa quadratura va calcolata in due pezzi se la velocità cambia segno.

La funzione p=p(q) così ricavata è ben definita e regolare (di classe tex2html_wrap_inline34382 ) per tex2html_wrap_inline41030 , scegliendo opportunamente il segno davanti alla radice secondo il segno di p. D'altro canto il momento  p, per la seconda equazione di Hamilton, è dato da tex2html_wrap_inline41036 ; perciò si può ricavare

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che è un sistema dinamico in tex2html_wrap_inline34960 , cioè un'equazione differenziale a variabili separabili , la cui soluzione si può ottenere mediante una quadratura 

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dove tex2html_wrap_inline41044 sono i valori della coordinata q ai tempi tex2html_wrap_inline41048 .

La soluzione del sistema dinamico però richiede la legge oraria   del moto, cioè la relazione q=q(t), che è espressa dalla funzione inversa. L'esistenza della funzione inversa richiede che la funzione t=t(q) sia monotona, cioè che tex2html_wrap_inline41054 non cambi di segno. Perciò, se una curva di livello H(p,q)=E passa per un punto tex2html_wrap_inline41058 , il tempo necessario perché la soluzione vada da tex2html_wrap_inline41060 con tex2html_wrap_inline41062 a tex2html_wrap_inline41064 con tex2html_wrap_inline41066 passando per tex2html_wrap_inline41068 sarà dato dalla somma di due integrali:

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Orbite periodiche

Il caso più importante dell'applicazione di questo procedimento di calcolo della legge oraria ``a tratti'' è quello del calcolo dei periodi. Un punto di equilibrio  di un sistema hamiltoniano è un punto in cui si annullano i due secondi membri delle equazioni di Hamilton, cioè un punto in cui tex2html_wrap_inline41074 ; quindi è anche un punto stazionario della funzione hamiltoniana. Nel caso delle hamiltoniane tex2html_wrap_inline41076 questo può verificarsi solo per p=0, nei punti tex2html_wrap_inline41068 tali che tex2html_wrap_inline41082 .

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Figure 5.2:  Due curve di livello della funzione hamiltoniana: quella che non contiene punti di equilibrio e quindi è l'immagine di un'orbita periodica, mentre quella che contiene un punto di sella per H(p,q), si decompone in immagini di orbite con il punto di sella come punto limite.

Supponiamo che la curva di livello H(p,q)=E non contenga alcun punto di equilibrio; allora nei punti in cui la curva attraversa la retta p=0 si ha tex2html_wrap_inline41090 , ma tex2html_wrap_inline41092 , cioè la retta p=0 viene attraversata trasversalmente . Siano tex2html_wrap_inline41096 due valori di q tali che tex2html_wrap_inline41100 , e tali che nell'intervallo tex2html_wrap_inline41102 vale sempre tex2html_wrap_inline41104 . Allora esistono due curve

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definite per tex2html_wrap_inline41102 , e l'insieme dei punti di queste due curve è la traiettoria  , cioè

l'insieme dei punti percorsi dall'orbita con condizione iniziale tex2html_wrap_inline41110 (si veda la Figura 5.2). Infatti la soluzione con questa condizione iniziale è contenuta in H(p,q)=E, e non può avere come tex2html_wrap_inline35724 -limite un punto di equilibrio perché in H(p,q)=E non ce ne sono. Quindi ogni soluzione passante per tex2html_wrap_inline41110 , non potendo ``fermarsi'' prima di ripassare per il punto di partenza, è un'orbita periodica . Il periodo  è il tempo necessario per ritornare in tex2html_wrap_inline41110 partendo dallo stesso punto, quindi è espresso dalla somma

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dove i due integrali, per ragioni di simmetria, danno lo stesso contributo: ossia il tempo per andare da tex2html_wrap_inline41110 a tex2html_wrap_inline41126 passando da valori positivi di p, ed il tempo per ritornare a tex2html_wrap_inline41110 passando per valori negativi di p, sono uguali, e si può scrivere:

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L'integrale che fornisce il periodo è un integrale improprio in tutti e due gli estremi, poiché tex2html_wrap_inline41136 . Se però tex2html_wrap_inline41138 , espandendo in tex2html_wrap_inline41140 la funzione integranda è

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e quindi è integrabile perché di ordine di infinito minore di uno rispetto a tex2html_wrap_inline41144 ; analogamente nell'intorno di tex2html_wrap_inline41146 . Se invece fosse V'(q)=0 in uno dei due estremi, il periodo sarebbe ``infinito'', cioè si avrebbe una traiettoria con insieme limite un punto di equilibrio instabile.

Se invece l'insieme di livello contiene un punto di equilibrio, come nella Figura 5.2 accade per tex2html_wrap_inline41150 , allora questo potrà essere punto limite per tex2html_wrap_inline35282 , oppure per tex2html_wrap_inline35280 (o anche in entrambi i casi), delle orbite contenute nell'insieme di livello; l'immagine di ogni orbita sarà una componente connessa dell'insieme di livello privato dei punti di equilibrio.

Esempio:

Caso non newtoniano

Questa discussione si generalizza ad una funzione hamiltoniana H(p,q) qualsiasi, anche se non deriva da un sistema newtoniano:

Teorema delle curve di livello della hamiltoniana :  Sia H(p,q) una funzione hamiltoniana di classe tex2html_wrap_inline34798 su di un aperto tex2html_wrap_inline39196 . Se una componente connessa C dell'insieme di livello H(p,q)=E è non vuota, compatta, e non contiene punti stazionari di H(p,q), allora coincide con la traiettoria di un'orbita periodica . Se invece C contiene dei punti stazionari isolati, allora ogni componente connessa di C privata dei punti stazionari è una traiettoria; la soluzione corrispondente o esce da ogni compatto in W oppure ha come punto limite uno dei punti stazionari (questo vale sia per tex2html_wrap_inline35282 , sia per tex2html_wrap_inline35280 ).

Dimostrazione:

 C.D.D.

Di conseguenza anche il procedimento per calcolare la legge oraria si generalizza ad una funzione hamiltoniana qualsiasi. Sia H(p,q) una funzione hamiltoniana di classe tex2html_wrap_inline34798 su di un aperto tex2html_wrap_inline39196 . Se

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allora la soluzione con condizione iniziale tex2html_wrap_inline40872 può essere calcolata per t in un intorno di 0, utilizzando la funzione p=p(q) implicitamente definita da H(p(q),q)=E (con tex2html_wrap_inline41260 ) e la quadratura

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che fornisce l'inversa della legge oraria q=q(t), da cui si può dedurre p(t)=p(q(t)).

Quando la curva H(p,q)=E passa per un punto in cui tex2html_wrap_inline41270 , allora tex2html_wrap_inline41090 , e la quadratura che serve a calcolare la legge oraria viene spezzata in due integrali; in particolare questo è sempre necessario per calcolare il periodo di un'orbita periodica, visto che q(t) avrà sempre sull'orbita stessa almeno un punto di massimo ed un punto di minimo (in cui tex2html_wrap_inline41090 ).

Studio qualitativo

Oltre a descrivere le soluzioni mediante quadrature e funzioni inverse, possiamo studiarne le proprietà qualitative.

Per studio delle proprietà qualitative   si intende: trovare i punti di equilibrio, determinare eventuali orbite periodiche, individuare le orbite aperte ma definite per ogni tex2html_wrap_inline34970 , disegnare approssimativamente le separatrici, le curve eccezionali, e alcune soluzioni rappresentative descrivendone gli insiemi limite .

Il punto critico di questo studio è quello in cui si decide quali insiemi di livello H(p,q)=E sono compatti: in tal caso se non ci sono punti stazionari l'insieme di livello è unione di componenti connesse che corrispondono ad orbite periodiche, se ci sono punti di equilibrio essi costituiranno gli insiemi limite. Se invece l'insieme di livello è illimitato, o comunque esce da ogni compatto contenuto nell'insieme di definizione di H(p,q), almeno una delle componenti connesse è una curva aperta  , cioè parametrizzata in modo iniettivo da un intervallo aperto (per esempio usando il tempo come parametro).

Esempio:

Esercizio Dati i sistemi dinamici le cui equazioni di Newton sono della forma:

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studiare le proprietà qualitative di tutte le soluzioni, in funzione dei parametri reali a,b,c.

Suggerimento: Studiare solo per q>0; il resto si ottiene per simmetria, cioè con la sostituzione tex2html_wrap_inline41320 .

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per tex2html_wrap_inline41324 ; scegliamo la cost=0. Studiamo sistematicamente i limiti dell'energia potenziale per q che tende al bordo dell'insieme di definizione: se tex2html_wrap_inline41330

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Inoltre troviamo quanti zeri ha la funzione V'(q) per q>0, il che dipenderà anche dal segno di b e dal segno di tex2html_wrap_inline41340 . Ne risultano in totale otto casi distinti per le proprietà qualitative delle soluzioni.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997