Sommario I sistemi hamiltoniani ad un grado di libertà sono integrabili nel senso che la soluzione si può esprimere mediante un algoritmo che include quadrature e funzioni implicite. Tutte le curve di livello regolari, semplici e chiuse della funzione hamiltoniana corrispondono ad orbite periodiche.
Consideriamo una hamiltoniana del tipo che si può ottenere da un sistema newtoniano, e le corrispondenti equazioni di Hamilton:
Poiché la funzione di Hamilton è un integrale primo, se si fissa il suo valore E l'equazione della curva di livello H(p,q)=E definisce implicitamente una relazione tra p e q: per esempio si può ricavare p in funzione di q:
Figure 5.1: Il tempo necessario per passare da
valore q1 al valore q2 della coordinata q si
calcola mediante una quadratura, ma questa quadratura va
calcolata in due pezzi se la velocità cambia
segno.
La funzione p=p(q) così ricavata è ben definita e regolare (di
classe 
) per 
, scegliendo opportunamente il segno
davanti alla radice secondo il segno di p. D'altro canto il
momento p, per la seconda equazione di
Hamilton, è dato da 
; perciò si può ricavare
che è un sistema dinamico in 
, cioè
un'equazione differenziale a variabili separabili ,
la cui soluzione si può ottenere mediante una quadratura
dove 
sono i valori della coordinata q ai tempi 
.
La soluzione del sistema dinamico però richiede la
legge oraria del moto,
cioè la relazione q=q(t), che è espressa dalla
funzione inversa. L'esistenza della funzione inversa richiede che la
funzione t=t(q) sia monotona, cioè che 
non cambi di
segno. Perciò, se una curva di livello H(p,q)=E passa per un punto
, il tempo necessario perché la soluzione vada da
con 
a 
con 
passando per
sarà dato dalla somma di due integrali:
Il caso più importante dell'applicazione di questo procedimento di
calcolo della legge oraria ``a tratti'' è quello del calcolo dei
periodi. Un punto di equilibrio di un sistema hamiltoniano
è un punto in cui si annullano i due secondi membri delle equazioni
di Hamilton, cioè un punto in cui 
; quindi
è anche un punto stazionario della funzione hamiltoniana. Nel caso
delle hamiltoniane 
questo può verificarsi solo
per p=0, nei punti tali che 
.
Figure 5.2: Due curve di livello della funzione
hamiltoniana: quella che non contiene punti di
equilibrio e quindi è l'immagine di un'orbita periodica, mentre
quella che contiene un punto di sella per H(p,q),
si decompone in immagini di orbite con il punto di sella come punto
limite.
Supponiamo che la curva di livello H(p,q)=E non contenga alcun punto
di equilibrio; allora nei punti in cui la curva attraversa la retta
p=0 si ha 
, ma 
, cioè la retta p=0 viene
attraversata trasversalmente . Siano 
due valori di
q tali che 
, e tali che nell'intervallo 
vale sempre 
. Allora esistono due curve
definite per , e l'insieme dei punti di queste due curve
è la traiettoria , cioè
l'insieme dei punti percorsi
dall'orbita con condizione iniziale 
(si veda la
Figura 5.2). Infatti la soluzione con questa condizione
iniziale è contenuta in H(p,q)=E, e non può avere come
-limite un punto di equilibrio perché in H(p,q)=E non ce ne
sono. Quindi ogni soluzione passante per , non potendo
``fermarsi'' prima di ripassare per il punto di partenza, è
un'orbita periodica . Il periodo è il tempo
necessario per ritornare in partendo dallo stesso punto,
quindi è espresso dalla somma
dove i due integrali, per ragioni di simmetria, danno lo stesso
contributo: ossia il tempo per andare da a 
passando da valori positivi di p, ed il tempo per ritornare a
passando per valori negativi di p, sono uguali, e
si può scrivere:
L'integrale che fornisce il periodo è un integrale
improprio in tutti e due gli estremi, poiché
. Se però 
,
espandendo in 
la funzione integranda è
e quindi è integrabile perché di ordine di infinito
minore di uno rispetto a 
; analogamente
nell'intorno di 
. Se invece fosse V'(q)=0 in uno dei
due estremi, il periodo sarebbe ``infinito'', cioè si
avrebbe una traiettoria con insieme limite un punto di
equilibrio instabile.
Se invece l'insieme di livello contiene un punto di equilibrio, come
nella Figura 5.2 accade per 
, allora questo
potrà essere punto limite per 
, oppure per 
(o anche in entrambi i casi), delle orbite contenute nell'insieme
di livello; l'immagine di ogni orbita sarà una componente connessa
dell'insieme di livello privato dei punti di equilibrio.
Esempio:
e la massa m=1. Allora la funzione hamiltoniana 
ha in 
un minimo non degenere; se non ci fosse il termine
si avrebbe un oscillatore armonico, con periodo di tutte le
orbite pari a 
. Se si prende la condizione iniziale 
, si ottiene per 
abbastanza piccolo un'orbita periodica
con periodo 
. Vogliamo far vedere che
La formula del periodo data mediante quadrature è
dove l'energia dipende dalla condizione iniziale
sostituendo nella formula del periodo
Ora eseguiamo la sostituzione di variabile 
:
e separando la parte di ordine zero rispetto a dell'integrale:
ossia il periodo delle piccole oscillazioni tende al periodo del sistema linearizzato, per l'ampiezza delle oscillazioni che tende a zero.
In effetti il limite per 
andrebbe discusso
con qualche precauzione, visto che si tratta di un
integrale improprio con parametro; il passaggio al limite
è legittimo perché l'integrale improprio resta sempre convergente.
Questa discussione si generalizza ad una funzione hamiltoniana H(p,q) qualsiasi, anche se non deriva da un sistema newtoniano:
Teorema delle curve di livello della hamiltoniana :
Sia H(p,q) una funzione hamiltoniana di classe 
su di un aperto
. Se una componente connessa C dell'insieme di
livello H(p,q)=E è non vuota, compatta, e non contiene punti
stazionari di H(p,q), allora coincide con la traiettoria di
un'orbita periodica . Se invece C contiene dei punti
stazionari isolati, allora ogni componente connessa di C privata dei punti
stazionari è una traiettoria; la soluzione corrispondente o esce
da ogni compatto in W oppure ha come punto limite uno dei punti
stazionari (questo vale sia per , sia per ).
Dimostrazione:
, allora
per il teorema delle funzioni implicite C è
l'immagine di una curva regolare. Se C è compatto, la soluzione
con condizione iniziale in un qualunque punto 
è
definita per ogni 
(per il teorema di
continuazione delle soluzioni ); quindi deve avere un
insieme -limite , che per
il teorema di Poincaré-Bendixon
è un'orbita periodica. Ma una curva regolare che contiene
l'immagine di un'orbita periodica non può contenere altri punti
(per ragioni del tutto analoghe a quelle impiegate nella
dimostrazione del teorema di Poincaré-Bendixon).
Se invece C contiene dei punti stazionari, sia B l'insieme formato da C privato dei punti stazionari. B è localmente una curva regolare, e quindi ogni sua componente connessa per archi contiene solo punti appartenenti ad una sola traiettoria (si usa ancora lo stesso ragionamento basato sulla sezione locale ).
Di conseguenza anche il procedimento per calcolare la legge oraria si
generalizza ad una funzione hamiltoniana qualsiasi. Sia H(p,q) una
funzione hamiltoniana di classe su di un aperto . Se
allora la soluzione con condizione iniziale 
può essere
calcolata per t in un intorno di 0, utilizzando la funzione p=p(q)
implicitamente definita da H(p(q),q)=E (con 
) e la
quadratura
che fornisce l'inversa della legge oraria q=q(t), da cui si può dedurre p(t)=p(q(t)).
Quando la curva H(p,q)=E passa per un punto in cui 
, allora , e la quadratura che serve a
calcolare la legge oraria viene spezzata in due integrali; in
particolare questo è sempre necessario per calcolare il periodo di
un'orbita periodica, visto che q(t) avrà sempre sull'orbita stessa
almeno un punto di massimo ed un punto di minimo (in cui ).
Oltre a descrivere le soluzioni mediante quadrature e funzioni inverse, possiamo studiarne le proprietà qualitative.
Per studio delle proprietà qualitative si intende: trovare i punti di equilibrio,
determinare eventuali orbite periodiche, individuare le orbite aperte
ma definite per ogni 
, disegnare approssimativamente le
separatrici, le curve eccezionali, e alcune soluzioni rappresentative
descrivendone gli insiemi limite .
Il punto critico di questo studio è quello in cui si decide quali insiemi di livello H(p,q)=E sono compatti: in tal caso se non ci sono punti stazionari l'insieme di livello è unione di componenti connesse che corrispondono ad orbite periodiche, se ci sono punti di equilibrio essi costituiranno gli insiemi limite. Se invece l'insieme di livello è illimitato, o comunque esce da ogni compatto contenuto nell'insieme di definizione di H(p,q), almeno una delle componenti connesse è una curva aperta , cioè parametrizzata in modo iniettivo da un intervallo aperto (per esempio usando il tempo come parametro).
Esempio:
, con V(q) definita e di classe
sull'intervallo (a,b) (non si esclude che 
, e/o
), se
allora tutti gli insiemi di livello H(p,q)=E sono compatti, e quindi sono composti da orbite periodiche oppure orbite con punti stazionari di H(p,q) come insiemi limite.
Figure 5.3: Curve di livello sicuramente
compatte si ottengono quando il livello H(p,q)=E
corrisponde ad un valore inferiore al limite di V(q)
per q che tende agli estremi dell'insieme di
definizione.
Se invece
allora ogni insieme di livello H(p,q)=E con 
è certamente
compatto (se non è vuoto).
Esercizio Dati i sistemi dinamici le cui equazioni di Newton sono della forma:
studiare le proprietà qualitative di tutte le soluzioni, in funzione dei parametri reali a,b,c.
Suggerimento: Studiare solo per q>0; il
resto si ottiene per simmetria, cioè con la sostituzione 
.
per 
; scegliamo la cost=0. Studiamo
sistematicamente i limiti dell'energia potenziale per q che tende al
bordo dell'insieme di definizione: se 
Inoltre troviamo quanti zeri ha la funzione V'(q) per q>0, il che
dipenderà anche dal segno di b e dal segno di 
.
Ne risultano in totale otto casi distinti per le proprietà
qualitative delle soluzioni.