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3.8 TEOREMA DI POINCARÉ-BENDIXON

 

Sommario Nel piano tex2html_wrap_inline34636 si possono caratterizzare tutti gli insiemi tex2html_wrap_inline35724 -limite ed tex2html_wrap_inline38808 -limite, che o contengono punti di equilibrio o sono cicli limite. Questo teorema non vale né su altre varietà di dimensione 2 né in tex2html_wrap_inline34458 per n>2, dove la situazione può essere molto più complicata.

Ci limitiamo in questa sezione a considerare sistemi dinamici in tex2html_wrap_inline34636 . Sia F(X) il campo vettoriale su un aperto tex2html_wrap_inline39196 che definisce il sistema dinamico, e prendiamo un qualunque punto tex2html_wrap_inline34452 di W che non sia un equilibrio, cioè tale che tex2html_wrap_inline39202 . Allora per tex2html_wrap_inline34452 passa una soluzione X(t) (con tex2html_wrap_inline34454 ).

Definizione:

In particolare una sezione locale non può passare per un punto di equilibrio.

Proprietà:

La teoria qualitativa dei sistemi dinamici continui nel piano è resa relativamente facile dal fatto che ci sono forti restrizioni, dovuti alle proprietà topologiche del piano, alla maniera in cui una stessa orbita può incontrare ripetutamente una sezione locale. Supponiamo infatti che g sia una sezione locale in tex2html_wrap_inline34452 , con tex2html_wrap_inline39250 , e che X(t) sia una soluzione tale che tex2html_wrap_inline34454 ; per tex2html_wrap_inline39256 (per fissare le idee supponiamo tex2html_wrap_inline37350 ) sia inoltre tex2html_wrap_inline39260 un punto che incontra la stessa sezione locale g, cioè esista un altro valore tex2html_wrap_inline39264 del parametro tex2html_wrap_inline39266 tale che tex2html_wrap_inline39268 ; supponiamo infine tex2html_wrap_inline39270 . Consideriamo allora la figura formata dalla curva soluzione X(t) per tex2html_wrap_inline37352 e dalla sezione locale per tex2html_wrap_inline39276 : si tratta di una curva chiusa C, differenziabile a tratti (vedi Figura 3.14).

  figure6855
Figure 3.14:  I successivi incontri di una soluzione con una sezione locale. La curva C che va da X0 a X1 lungo la soluzione X(t), e poi da X1 ad X0 lungo una sezione locale, è una curva continua chiusa e quindi la stessa soluzione X(t) resta intrappolata all'interno o all'esterno, a seconda della posizione relativa di X0 ed X1 sulla sezione locale, ma in entrambe una terza intersezione X2 deve essere tale che X1 sta tra X0 ed X2.

Si applica quindi il teorema della curva di Jordan , per cui tex2html_wrap_inline39280 è diviso in due componenti connesse : una limitata D, che si indica con il nome di interno   di C, ed una illimitata (l'esterno   E di C). Una qualsiasi curva continua non può uscire da D senza passare per C. In particolare una curva soluzione, come la curva X(t) stessa, una volta che si trovi dentro D non può uscirne che dal tratto tex2html_wrap_inline39298 della sezione locale. Però, la sezione essendo trasversale, le soluzioni che passano da questo segmento o entrano tutte o escono tutte da D; se la soluzione X(t) entra dentro D, non può più uscirne per valori maggiori di t; se esce, non può rientrare. Se ne deduce il lemma della sequenza monotona:

Lemma:

C.D.D. lemma

Il lemma precedente, ed il teorema di invarianza degli insiemi limite , consentono di dimostrare il risultato principale della teoria qualitativa dei sistemi dinamici nel piano.

Teorema di Poincaré-Bendixon :  Nel piano tex2html_wrap_inline34636 gli insiemi tex2html_wrap_inline38808 -limite ed tex2html_wrap_inline35724 -limite

non vuoti e compatti , che non contengono punti di equilibrio, sono orbite periodiche.

Dimostrazione:

 C.D.D.

Teorema del punto fisso :  Sia C una curva chiusa che corrisponde ad una traiettoria di un sistema dinamico in tex2html_wrap_inline34636 , tale che l'insieme di definizione W del sistema dinamico contiene l'intera regione che sta all'interno di C. Allora all'interno di C esiste o almeno un punto di equilibrio o almeno un'altra orbita periodica (distinta da C).

Dimostrazione:

 C.D.D.

Se però dentro D esistesse un ciclo limite tex2html_wrap_inline39622 , questo racchiuderebbe un insieme invariante tex2html_wrap_inline39624 , a cui si può applicare lo stesso ragionamento. A partire da questo argomento si potrebbe dimostrare che D contiene in ogni caso un punto di equilibrio; per la dimostrazione si veda [Hirsch-Smale 74].

Problema Sia dato un sistema dinamico tex2html_wrap_inline36750 sulla corona circolare tex2html_wrap_inline39630 , con il campo vettoriale F sul bordo di W che punta verso l'interno di W. Allora c'è almeno un'orbita periodica.

Insiemi limite più complessi

Il teorema di Poincaré-Bendixon non ha un analogo in dimensione n>2. Anche in dimensione 2, ma su superfici diverse dal piano, possono esistere insiemi limite che non contengono equilibri ma sono molto diversi da orbite periodiche.

Esempio:

  figure6923
Figure 3.15:  Un sistema dinamico sul toro, definito dal passaggio al quoziente di un campo vettoriale costante sul piano.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997