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6.6 INTEGRABILITÀ

 

Sommario Un sistema hamiltoniano a due gradi di libertà, con un altro integrale primo indipendente dalla hamiltoniana, è sempre integrabile mediante quadrature ed inversioni. Questo può essere dimostrato sotto ipotesi molto generali; in casi abbastanza semplici, come quello delle geodetiche sulle superfici di rivoluzione, le formule risolutive sono di facile scrittura. Perché un sistema ad n gradi di libertà sia integrabile occorrono non solo n integrali primi indipendenti, ma anche ipotesi più restrittive, come quella che le parentesi di Poisson degli integrali siano nulle.

Due gradi di libertà

Consideriamo una hamiltoniana a due gradi di libertà. In generale non è detto che sia possibile esprimerne le soluzioni in modo analitico, cioè con manipolazioni algebriche, quadrature ed inversioni; in effetti la maggior parte delle hamiltoniane sono non integrabili . Sono integrabili, come abbiamo visto in molti esempi, le hamiltoniane che hanno una variabile ciclica, del tipo tex2html_wrap_inline44586 , per le quali

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e, sostituendo a tex2html_wrap_inline44590 il suo valore costante, si ottiene una hamiltoniana ad un grado di libertà con parametro. Se però si conosce una hamiltoniana tex2html_wrap_inline44592 che dipende effettivamente da quattro variabili, come si può scoprire se esiste un cambiamento di variabili canonico che fa apparire una variabile ciclica? Questo problema di integrabilità può essere ridotto in un altra forma assai più espressiva.

Supponiamo che il sistema ammetta un integrale primo  G(P,Q). Il calcolo della derivata totale tex2html_wrap_inline44596 può essere eseguito mediante la parentesi di Poisson  

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poiché tex2html_wrap_inline44596 è la derivata di G lungo il flusso del sistema definito da H:

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Le parentesi di Poisson hanno molte proprietà importanti, ma la più semplice è

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Allora tex2html_wrap_inline44610 implica tex2html_wrap_inline44612 (e viceversa), e se esiste un integrale primo G(P,Q), anche H((P,Q)) è costante lungo il flusso di G, il quale è perciò un gruppo ad un parametro  che lascia invariata la hamiltoniana. Questo è praticamente l'inverso del teorema di Noether .

Se il sistema di hamiltoniana H(P,Q) ammette un integrale primo G((P,Q)), esiste un gruppo ad un parametro di simmetrie; se allora si potessero parametrizzare le orbite del sistema dinamico definito da G(P,Q) con una coordinata, questa sarebbe una coordinata ciclica per H. Per esempio, se G è un integrale del tipo del momento angolare, esiste una variabile angolo tex2html_wrap_inline35456 tale che tex2html_wrap_inline44632 . In altri casi, non è affatto ovvio quale possa essere la variabile ciclica. È inoltre chiaro che la relazione tra G ed H non deve essere banale: per esempio, se G=f(H) (con f una qualsiasi funzione tex2html_wrap_inline34382 ), sarà sempre vero che tex2html_wrap_inline44644 , ma la conoscenza di G non fornisce alcuna informazione supplementare alla conoscenza di H.

Teorema di Arnold-Jost :  Sia tex2html_wrap_inline44650 una hamiltoniana a due gradi di libertà, di classe tex2html_wrap_inline34798 su di un aperto W. Sia tex2html_wrap_inline44656 un integrale primo pure di classe tex2html_wrap_inline34798 :

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funzionalmente indipendente  da H, cioè tex2html_wrap_inline44664 è linearmente indipendente da tex2html_wrap_inline42086 in ogni punto di W. Siano tex2html_wrap_inline44670 due numeri reali tali che l'insieme di livello tex2html_wrap_inline44672 di equazioni

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è compatto in W. Allora:

(a)
tex2html_wrap_inline44672 è invariante  per il flusso di H, e le sue componenti connesse  sono tori  bidimensionali tex2html_wrap_inline39644 .
(b)
Esistono due variabili angolo tex2html_wrap_inline39652 che forniscono una carta del toro tex2html_wrap_inline44672 , tali che il flusso integrale di H ristretto a tex2html_wrap_inline44672 è un flusso di Kronecker :

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(c)
Esiste un intorno U di tex2html_wrap_inline44672 su cui è definita una trasformazione canonica

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in cui le variabili azione   tex2html_wrap_inline44700 sono funzioni soltanto dei valori di G ed H, e tex2html_wrap_inline39652 sono variabili angolo.

(d)
Anche gli insiemi di livello V(h,g) contenuti in U sono tori invarianti, e su ciascuno di essi il flusso integrale di H è descritto da

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cioè è ancora un flusso di Kronecker in cui ciascuna frequenza propria   tex2html_wrap_inline44716 è funzione delle sole variabili azione.

L'aperto W può essere contenuto in tex2html_wrap_inline36342 , oppure, in presenza di variabili angolo tra le tex2html_wrap_inline44722 , si può anche avere tex2html_wrap_inline44724 oppure tex2html_wrap_inline44726 .

Dimostrazione:

Dimostrazione da completare.

L'integrale tex2html_wrap_inline44796 appare anche nel metodo di Hamilton-Jacobi; infatti una funzione definita da tex2html_wrap_inline44798 dove l'integrale deve essere eseguito sulla superficie I=cost è una funzione caratteristica di Hamilton-Jacobi . La dimostrazione del teorema di Arnold-Jost chiarisce che questo integrale non è una semplice quadratura  nello spazio delle Q, ma l'integrale di linea  della forma differenziale lineare  tex2html_wrap_inline44804 . Le scelte di segni nel metodo della separazione delle variabili  possono essere spiegate in termini di due lembi del toro invariante che si proiettano sullo stesso insieme nello spazio delle Q.

Superfici di rivoluzione

Una classe importante di problemi a due gradi di libertà, ma che sono risolubili per quadratura, perché hanno un integrale primo funzionalmente indipendente dalla hamiltoniana, si ottiene considerando dei moti vincolati a superfici, senza forze esterne.

Consideriamo una superficie di rivoluzione  : se l'asse di simmetria è assunto come asse z, allora in coordinate polari cilindriche ( tex2html_wrap_inline44810 ) l'equazione della superficie è della forma f(r,z)=0. Se tex2html_wrap_inline44814 , allora si potrà localmente ricavare r=r(z), per cui tex2html_wrap_inline44818 sarà un sistema di coordinate lagrangiane  per la superficie:

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  figure16072
Figure 6.3:  Superficie di rivoluzione ottenuta facendo ruotare la curva r=r(z) attorno all'asse z. I vettori indicati sono le derivate rispetto a z, mentre quelle rispetto all'angolo di rotazione sono tangenti ai paralleli (tratteggiati).

Lo spazio tangente sarà generato dai vettori

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le cui proprietà metriche sono:

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La superficie è regolare, se f è di classe tex2html_wrap_inline34382 , nei punti in cui r> 0.

In assenza di forze esterne, il moto di un corpo puntiforme  di massa m vincolato alla superficie sarà quindi deducibile dalla lagrangiana ridotta alla sola energia cinetica

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i cui momenti sono

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Il momento coniugato alla longitudine tex2html_wrap_inline36040 è un integrale primo, che coincide con la componente z del momento angolare (sulla quale le reazioni vincolari non influiscono). Eseguendo la trasformata di Legendre si trova la hamiltoniana

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che definisce un sistema hamiltoniano ad un grado di libertà con parametro tex2html_wrap_inline43406 . La soluzione può quindi essere espressa mediante quadrature ed inversioni a partire dalla formula

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che può anche essere impiegata per lo studio qualitativo delle soluzioni. Se è limitato l'insieme U dei valori di z, per i quali il secondo membro dell'equazione qui sopra è tex2html_wrap_inline44852 , allora a ciascun intervallo di U corrisponde un toro invariante nello spazio delle fasi. Per esempio, supponiamo che

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allora ad ogni valore di tex2html_wrap_inline44858 corrispondono due valori di tex2html_wrap_inline44860 , uno positivo ed uno negativo, sempre con lo stesso valore degli integrali primi tex2html_wrap_inline44862 ; invece a tex2html_wrap_inline44864 ed a tex2html_wrap_inline44866 corrisponde solo tex2html_wrap_inline44868 . Questo definisce un insieme equivalente ad una circonferenza tex2html_wrap_inline41652 , che è la traiettoria di un'orbita periodica del sistema hamiltoniano ad un grado di libertà definito da tex2html_wrap_inline44872 . Usando una coppia tex2html_wrap_inline44874 di variabili azione-angolo  per parametrizzare una corona circolare di simili orbite periodiche (sempre con tex2html_wrap_inline43406 costante ma con tex2html_wrap_inline44878 variabile), si trova che tex2html_wrap_inline44880 , cioè ogni tex2html_wrap_inline41652 è percorso con frequenza costante.

Però nello spazio delle fasi del problema originale c'è anche la variabile tex2html_wrap_inline36040 , che è ciclica, e può essere quindi espressa per quadratura a partire dalla soluzione per l'altra variabile z:

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Il toro di livello definito da tex2html_wrap_inline44890 è quindi parametrizzato dalle due variabili angolo tex2html_wrap_inline44892 . Il teorema di Arnold-Jost  assicura che esiste il modo di definire un'altra coppia di variabili canoniche tex2html_wrap_inline44894 , in modo tale che tex2html_wrap_inline44896 e tex2html_wrap_inline44898 . Sfruttando il fatto che tex2html_wrap_inline36040 è ciclica, si può supporre che tex2html_wrap_inline44902 ; però tex2html_wrap_inline44904 , anche se le due variabili hanno la stessa frequenza media, cioè compiono un giro in tex2html_wrap_inline44906 .

Gli esercizi e problemi che seguono sono casi particolari di questo problema integrabile, detto delle geodetiche   sulle superfici di rivoluzione.

Il nome di geodetiche fa riferimento ad una proprietà delle curve che risolvono questo problema, e più in generale delle soluzioni di un problema di moto vincolato con L=T. Le soluzioni sono anche punti stazionari del funzionale

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Questo principio variazionale   può essere ricondotto, con alcuni passaggi, alla stazionarietà dell'integrale che esprime la lunghezza della curva soluzione. Perciò le geodetiche sono curve di lunghezza stazionaria, tra quelle vincolate a restare sulla varietà delle configurazioni; per intervalli di tempo abbastanza corti si può dimostrare che la lunghezza è in effetti minima. Per una trattazione delle equazioni di Lagrange dedotto dal principio variazionale si può consultare [Arnold 86], capitoli 3 e 4.

Esercizio Il cilindro  è dato da r=R costante, r'=0. Determinare le geodetiche. (Soluzione)

Problema Un iperboloide ad una falda   di rivoluzione è dato da

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Un iperboloide a due falde   di rivoluzione è dato da

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Trovare le geodetiche nei due casi; dire se formino tori invarianti nello spazio delle fasi. (Soluzione)

Problema Data la superficie di rivoluzione

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dimostrare che tutte le geodetiche sono limitate, quindi appartengono a tori invarianti, ad eccezione del caso in cui tex2html_wrap_inline44922 (allorché i tori invarianti degenerano in una circonferenza).

Non è sempre vero che il sistema di coordinate lagrangiano tex2html_wrap_inline44818 sia il più conveniente. Poiché l'esplicitazione r=r(z) della relazione implicita f(r,z)=0 vale solo localmente, ci sono casi in cui una diversa parametrizzazione della curva f(r,z)=0 è più conveniente, per esempio perché può fornire una unica carta per tutta la superficie.

Esempio:

  figure16151
Figure 6.4:  Un toro considerato come superficie di rivoluzione: una circonferenza di raggio b ruota attorno ad un asse posto ad una distanza a dal suo centro.

Problema Dato il toro  di equazioni

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con a>b>0, descriverne le geodetiche.

Suggerimento: Usare la parametrizzazione

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che descrive con una sola carta tutto il toro ed è ovunque regolare per a>b>0.

(Soluzione)

N gradi di libertà

La generalizzazione del teorema di Arnold-Jost ad un numero qualsiasi di gradi di libertà richiede di tenere conto di un problema aggiuntivo, quello della commutazione tra gli integrali.

Sia data una hamiltoniana H(P,Q) ad n gradi di libertà, ossia con (P,Q) in un aperto W che appartiene ad tex2html_wrap_inline34458 (o magari a tex2html_wrap_inline44968 ), e supponiamo di avere tanti integrali primi tex2html_wrap_inline44970 quanti sono i gradi di libertà (possiamo supporre che tex2html_wrap_inline44972 , visto che la hamiltoniana è un integrale primo). Valgono allora le relazioni contenenti le parentesi di Poisson :

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Tuttavia, non necessariamente valgono anche le

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quando ciò accade, cioè se si annullano tutte le parentesi di Poisson tra gli integrali due a due, allora diciamo che gli integrali sono in commutazione  .

Esempio:

Il secondo problema è costituito dall'elevata dimensione dello spazio delle fasi, che potrebbe far temere una grande complicazione nella struttura delle varietà di livello: con n integrali primi in uno spazio delle fasi di dimensione 2n, ci aspettiamo che gli insiemi di livello siano varietà di dimensione 2n-n=n. In realtà l'unico tipo di varietà di dimensione n che occorre considerare è il toro   tex2html_wrap_inline34752 , che è il prodotto cartesiano di n copie della circonferenza tex2html_wrap_inline41652 (la varietà parametrizzata da una sola carta con n variabili angolo).

Teorema di Arnold-Jost :  Sia H(P,Q) una hamiltoniana, di classe tex2html_wrap_inline34798 su un aperto W dello spazio delle fasi, e siano tex2html_wrap_inline44970 delle funzioni tex2html_wrap_inline34798 che formano un sistema di n integrali funzionalmente indipendenti  ed in commutazione . Se V(G) è l'insieme di livello di equazioni

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ed è compatto e connesso, allora è un toro tex2html_wrap_inline34752 , ed esiste un intorno U di V(G) in W su cui è definito un cambiamento di coordinate canonico

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le n variabili angolo tex2html_wrap_inline45038 parametrizzano i tori di livello, mentre le variabili azione  I sono funzione solo dei valori G degli integrali primi. In particolare, H(P,Q)=K(I): il sistema è perciò risolubile mediante scorrimenti, con le variabili angolo che cambiano linearmente rispetto al tempo secondo l'equazione

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dove le frequenze proprie  tex2html_wrap_inline45048 dipendono dalle sole variabili azione.

Dimostrazione omessa.

Definizione:

Il teorema di Arnold-Jost fornisce la soluzione espressa mediante le variabili azione-angolo. Poiché la trasformazione canonica che definisce le variabili azione-angolo è esprimibile mediante quadrature ed inversioni, (si veda [Arnold 86], Capitolo 10), i sistemi integrabili nel senso sopra definito sono integrabili mediante operazioni di quadratura ed esplicitazione di funzioni implicite.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997