next up previous contents index
Next: 6 SISTEMI CONSERVATIVI: PIÙ Up: 5 SISTEMI CONSERVATIVI: UN Previous: 5.5 TRASFORMAZIONI CANONICHE

5.6 VARIABILI AZIONE ANGOLO

 

Sommario Se un aperto del piano delle fasi è riempito da orbite periodiche, si vorrebbe parametrizzare ciascuna di queste con una variabile angolo, che si accresca di tex2html_wrap_inline36896 in un periodo. Se la variabile angolo così ottenuta fa parte di una coppia di coordinate canoniche, queste ultime possono ridurre il problema ad uno banale in cui il flusso integrale è formato da soli scorrimenti.

Parametrizzazione delle orbite periodiche

Se la hamiltoniana H(p,q) sull'aperto W ha insiemi di livello tutti compatti, che si riducono ad una sola curva regolare, semplice e chiusa, allora ognuna di queste curve di livello individua un'orbita periodica. Bisogna in effetti distinguere due casi: se la coordinata q appartiene a tex2html_wrap_inline34960 , allora un'orbita periodica deve avere entrambe le funzioni tex2html_wrap_inline42454 periodiche con lo stesso periodo P:

displaymath42458

In questo caso si parla di orbite periodiche del tipo librazione  . La curva di livello racchiude una parte del piano in cui (se H(p,q) è definita) deve esserci almeno un punto di equilibrio. In questo caso le curve di livello corrispondenti a valori vicini riempiono un insieme diffeomorfo ad una corona circolare.

Se invece la coordinata q è una variabile angolo , lo spazio delle fasi è in effetti contenuto in un cilindro   tex2html_wrap_inline42464 , e le orbite periodiche possono essere di due tipi: le librazioni (in cui entrambe le coordinate sono funzioni periodiche di periodo P), e le circolazioni   con

displaymath42468

In questo caso le orbite periodiche si avvolgono sul cilindro in modo da non essere il bordo di una regione compatta.

  figure12369
Figure 5.13:  Orbite periodiche del tipo della librazione (a sinistra) e della circolazione (a destra); queste ultime hanno senso solo nel caso di una coordinata che sia una variabile angolo, quindi lo spazio delle fasi è un cilindro e non una porzione di piano.

Esempio:

  figure12380
Figure 5.14:  Orbite periodiche del tipo della librazione e della circolazione nello stesso sistema hamiltoniano; si intende che la variabile q è un angolo, quindi due rette che differiscono di un angolo giro si intendono identificate.

Problema Dimostrare che nelle orbite periodiche del tipo della circolazione tex2html_wrap_inline42512 , cioè l'orbita non può richiudersi dopo più di un giro.

Suggerimento: Considerare la curva (p(t),q(t)) sull'intervallo tex2html_wrap_inline42516 , dove P è il periodo. Se quando q è cresciuto di tex2html_wrap_inline36896 il valore di p fosse diverso, le copie della stessa curva ottenute per traslazione di tex2html_wrap_inline42526 si incrocerebbero tra loro, e questo incrocio...

Si noti che l'affermazione del problema precedente non vale per un sistema discreto: in una mappa standard  ci possono essere orbite periodiche di qualsiasi periodo, e che fanno fare ad una variabile angolo un numero arbitrario di giri.

Per descrivere un simile pacchetto di orbite periodiche l'ideale sarebbe disporre di un sistema di coordinate tex2html_wrap_inline42528 tale che un aperto W del piano delle fasi, costituito solo da orbite periodiche (tutte del tipo librazione o tutte del tipo circolazione), sia mandato nel rettangolo

displaymath42532

con la variabile angolo tex2html_wrap_inline35456 che parametrizza le orbite periodiche aumentando di tex2html_wrap_inline36896 ogni periodo, e la variabile I costante su ogni orbita periodica. Supponiamo che questo si verifichi, con un cambiamento di coordinate tex2html_wrap_inline42540 regolare (di classe tex2html_wrap_inline34798 ), e supponiamo anche che questo cambiamento di coordinate sia canonico . Allora dal fatto che I è costante sulle soluzioni, cioè un integrale primo , deduciamo che la hamiltoniana tex2html_wrap_inline42546 nel nuovo sistema di coordinate non dipende dalla tex2html_wrap_inline35456 :

displaymath42550

In un tale sistema di coordinate, il sistema hamiltoniano è risolto banalmente, con il flusso integrale in funzione della condizione iniziale tex2html_wrap_inline42552 dato da soli scorrimenti:

displaymath42554

tex2html_wrap_inline35724 è una velocità angolare, quindi ha la dimensione dell'inverso del tempo; se supponiamo che la hamiltoniana sia dimensionalmente un'energia, allora la variabile I ha la dimensione di un'energia moltiplicata per un tempo, e per questo si chiama variabile azione  . La frequenza tex2html_wrap_inline42560 , che è costante per ogni orbita, è la frequenza propria .

Esempio:

Esempio:

Esercizio Trovare le variabili azione ed angolo per la funzione di Hamilton

displaymath42394

che esprime l'oscillatore armonico più generale. (Soluzione)

Variabile azione ed area

Abbiamo visto i vantaggi che presenterebbe la disponibilità di una coppia di variabili canoniche delle quali la prima sia una variabile azione e la seconda una variabile angolo,

tali che la hamiltoniana trasformata sia funzione della sola azione; in questo caso parliamo di variabili azione-angolo  .

Data una hamiltoniana H(p,q), per trovare una adeguata variabile azione si può impiegare la proprietà delle trasformazioni canoniche di conservare l'area. Supponiamo che (p(t),q(t)) sia una orbita periodica (di periodo P) del tipo librazione; allora la traiettoria è una curva nel piano (p,q) che fa da bordo tex2html_wrap_inline42204 ad un insieme D, la cui area può essere calcolata con la formula di Green :

displaymath42620

L'insieme D viene trasformato nel piano tex2html_wrap_inline42528 in un insieme che chiamiamo E, la cui area è, per la stessa formula:

displaymath42628

se facciamo l'ipotesi che la trasformazione sia canonica, le due aree sono uguali, quindi

displaymath42630

Ora la curva tex2html_wrap_inline42202 nel piano tex2html_wrap_inline42528 altro non è che la soluzione corrispondente a tex2html_wrap_inline42204 nel piano (p,q); se imponiamo la condizione che tex2html_wrap_inline42528 siano variabili azione-angolo, allora tex2html_wrap_inline42642 è costante e tex2html_wrap_inline35456 varia in tex2html_wrap_inline42646 , quindi

displaymath42648

  figure12441
Figure 5.15:  L'area della regione racchiusa da un'orbita periodica si trasforma, nel piano delle variabili azione-angolo, nell'area del rettangolo con altezza pari alla variabile azione e base pari all'angolo giro.

ossia, la variabile azione è l'area racchiusa dall'orbita periodica, divisa per tex2html_wrap_inline36896 .

In realtà la variabile azione è definita a meno di una costante, ma noi abbiamo imposto che

displaymath42652

il che è vero solo se E è il rettangolo

displaymath42656

Per esempio, se le orbite periodiche di W sono quelle che attorniano un punto di equilibrio stabile, abbiamo imposto che I tenda a zero quando l'orbita periodica tende al punto di equilibrio. Se le orbite periodiche per cui si sta cercando la variabile azione racchiudono più di un punto di equilibrio, allora la variabile azione è inevitabilmente definita a meno di una costante arbitraria; lo stesso vale per le orbite periodiche di tipo circolazione.

Se la hamiltoniana è del tipo

displaymath42470

(con tex2html_wrap_inline42664 ), un'orbita periodica deve passare per due punti tex2html_wrap_inline41110 e tex2html_wrap_inline41126 , tali che tex2html_wrap_inline41100 (perché l'energia è la stessa, tex2html_wrap_inline42672 ); supponiamo tex2html_wrap_inline42674 . Allora l'area racchiusa dalla curva è data dall'integrale (con per parametro il valore E dell'energia):

displaymath42678

e quindi la variabile azione, in funzione dell'energia, è

displaymath42680

La soluzione è quindi ottenuta invertendo la funzione I(E), il che fornisce E=K(I), la cui derivata è la frequenza tex2html_wrap_inline42560 che fornisce il periodo tex2html_wrap_inline42688 .

Problema Dimostrare che ogni orbita periodica di una hamiltoniana del tipo tex2html_wrap_inline42690 passa da esattamente due punti con p=0.

Suggerimento: All'interno della curva deve esserci un punto di equilibrio, che può stare solo su p=0, perciò ci sono almeno due intersezioni con p=0. Se ce ne fossero più di due...

Esercizio Consideriamo l'energia potenziale

displaymath42698

che individua la regione tex2html_wrap_inline42700 delimitata da un muro di potenziale   soffice, nel senso che

displaymath42702

Trovare la variabile azione e scrivere la soluzione per quadratura. Si noti che gli integrali presenti nelle formule di quadratura possono essere calcolati con formule analitiche finite.

(Soluzione)

Problema Trovare la variabile azione per una palla ``perfettamente elastica'' di massa m che rimbalza tra due muri fissi a distanza d tra di loro. Questo problema contiene un muro di potenziale  duro, in cui il potenziale salta da V(q)=0 per |q|< d/2 a tex2html_wrap_inline42712 per |Q|>d/2.

Suggerimento: Le soluzioni generalizzate sono segmenti con momento p , quindi velocità tex2html_wrap_inline41054 , costante nel tratto tra -d/2 e d/2, poi il momento cambia segno istantaneamente. Quindi le aree racchiuse dalle orbite periodiche sono rettangoli.

Funzione generatrice

Cerchiamo di descrivere la trasformazione canonica a variabili azione-angolo con una funzione generatrice 

displaymath42726

Una soluzione nel piano (p,q) descrive una curva di livello H(p,q)=E; nel piano tex2html_wrap_inline42528 la soluzione corrispondente ha equazione K(I)=E, quindi I= costante. Se ci restringiamo ad una singola orbita periodica con azione I, la derivata parziale di S rispetto a q è la funzione di (I,q) che fornisce p, quindi

displaymath42748

e la funzione generatrice è sempre esprimibile mediante funzioni implicite (p ricavato come funzione di q da H(p,q)=E) e quadrature. Però sorge un problema quando il punto (p,q) fa un giro sull'orbita periodica la cui traiettoria è la curva tex2html_wrap_inline38878 : infatti l'integrale curvilineo della forma differenziale lineare tex2html_wrap_inline42760

displaymath42762

non è mai nullo, e quindi la funzione S è una funzione polidroma  , soltanto localmente definita in modo univoco; ad ogni giro la funzione aumenta di una quantità fissa tex2html_wrap_inline42766 . Del resto la variabile angolo tex2html_wrap_inline35456 può essere calcolata come

displaymath42770

e il suo incremento dopo un giro sull'orbita periodica è

displaymath42772

Le funzioni generatrici si ottengono come funzioni potenziali di forme chiuse, quindi localmente esatte, ma non necessariamente esatte in grande: ciò significa appunto che non sono necessariamente funzioni ad un solo valore. Questo però non impedisce che la trasformazione canonica sia ben definita, in particolare quando si vuole ottenere una variabile angolo.

Esempio:

Questo esempio, che pure è il più semplice possibile di un calcolo esplicito delle variabili azione angolo mediante quadrature, è già abbastanza difficile. In effetti le variabili azione-angolo sono soprattutto utili come strumento di descrizione geometrica, non necessariamente di calcolo esplicito. Per una trattazione delle principali applicazioni delle variabili angolo, sempre nel contesto dei sistemi ad un grado di libertà, si veda [Percival-Richards 82], ai Capitoli 8 e 9.


next up previous contents index
Next: 6 SISTEMI CONSERVATIVI: PIÙ Up: 5 SISTEMI CONSERVATIVI: UN Previous: 5.5 TRASFORMAZIONI CANONICHE

Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997