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5.5 TRASFORMAZIONI CANONICHE

Sommario La funzione hamiltoniana è un modo conveniente di descrivere un sistema dinamico conservativo; tuttavia le equazioni di Hamilton dipendono dalla scelta di un sistema di coordinate, e non sono invarianti rispetto ad un cambiamento di coordinate nel piano (p,q). Le trasformazioni canoniche sono quei cambiamenti di coordinate che consentono di conservare la descrizione del sistema dinamico mediante la funzione hamiltoniana, anzi mediante la stessa funzione di Hamilton, espressa nel nuovo sistema. Le trasformazioni canoniche possono a loro volta essere descritte in termini di una sola funzione generatrice, che però in molti casi significativi risulta una ``funzione a più valori''.

Le mappe che conservano l'area sono canoniche

Vogliamo determinare quali cambiamenti di coordinate

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trasformano le equazioni di Hamilton con hamiltoniana H(p,q) nelle equazioni di Hamilton con hamiltoniana K(w,z). Il problema diventa più facile se si impone la condizione - più restrittiva- che le due hamiltoniane siano ottenute mediante la stessa trasformazione, come le funzioni con gli stessi valori nei punti corrispondenti:

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si dice in questo caso che le due hamiltoniane si corrispondono per valore  .

Se valgono entrambe le proprietà, di preservare la forma hamiltoniana della dinamica, con hamiltoniane che si corrispondono per valore, il cambiamento di coordinate tex2html_wrap_inline42044 si dice trasformazione canonica  .

Teorema delle trasformazioni che conservano l'area :  Sia tex2html_wrap_inline42044 un cambiamento di coordinate che sia un diffeomorfismo ( tex2html_wrap_inline34382 e con inversa tex2html_wrap_inline34382 ); se A è la matrice jacobiana di tex2html_wrap_inline42044 :

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la trasformazione tex2html_wrap_inline42044 è canonica se e solo se tex2html_wrap_inline42060 identicamente, cioè se conserva l'area .

Dimostrazione:

 C.D.D.

Abbiamo già visto che il flusso integrale di un sistema hamiltoniano è conservativo, cioè conserva l'area. In effetti è intuitivo che il flusso integrale per un tempo t fisso è un'equivalenza tra le dinamiche , se le equazioni differenziali non dipendono dal tempo; quindi il flusso integrale tex2html_wrap_inline36798 è una trasformazione canonica per ogni t per cui è definito.

Esempio:

Esempio:

Esempio:

Problema Trovare tutte le trasformazioni canoniche lineari:

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dove A è una matrice simplettica  tex2html_wrap_inline34726 , con tex2html_wrap_inline42060 .

Suggerimento: Questo problema è già stato menzionato al momento della definizione di sistema dinamico discreto conservativo .

Usando l'equazione caratteristica tex2html_wrap_inline42160 , si trova il criterio della traccia   per cui tex2html_wrap_inline42162 caratterizza le matrici simplettiche stabili   che sono rotazioni, tex2html_wrap_inline42164 caratterizza le matrici simplettiche iperboliche   con autovalori reali tex2html_wrap_inline42166 ; per tex2html_wrap_inline42168 ci sono due casi, a seconda se la matrice è o no diagonalizzabile .

Funzioni generatrici

Abbiamo visto come verificare che una data trasformazione è canonica, usando il determinante jacobiano. Cerchiamo un metodo per costruire trasformazioni canoniche: per questo si sfrutta l'equivalenza della proprietà di essere canonica con la proprietà di conservare l'area.

L'area di un insieme limitatoe chiuso D nel piano delle variabili (p,q) si misura mediante l'integrale doppio 

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che per la formula di Green  si può esprimere mediante un integrale di linea  sulla curva chiusa che fa da bordo  all'insieme D, percorsa in verso antiorario

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Anche nel caso di insiemi di forma più complessa il cui bordo è diviso in componenti connesse, ciascuna delle quali è una curva chiusa, vale la formula di Green purché si intenda che ogni curva del bordo sia percorsa in modo da lasciarsi l'insieme D a sinistra rispetto alla velocità sulla curva.

L'espressione tex2html_wrap_inline42182 è una forma differenziale lineare , dove la ``funzione coordinata'' p è una funzione del punto sulla curva.

Consideriamo ora una trasformazione tex2html_wrap_inline42186 , definita (e di classe tex2html_wrap_inline34382 ) su di un aperto tex2html_wrap_inline42190 ; l'immagine di tex2html_wrap_inline42192 per la trasformazione sia E. L'ipotesi che la trasformazione sia canonica si traduce nell'eguaglianza delle aree:

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  figure12240
Figure 5.12:  La relazione tra un insieme del piano ed il suo bordo contiene informazioni sull'orientazione. Un insieme non semplicemente connesso può avere un bordo composto da più di una curva, ma per ciascuna di queste si può definire un verso di percorrenza.

Applicando la formula di Green nel piano (w,z), nella forma con la prima coordinata come variabile di integrazione:

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Per la continuità della trasformazione, la curva (o le curve) che costituisce il bordo tex2html_wrap_inline42202 è l'immagine mediante la trasformazione della curva (o curve) che costituisce il bordo tex2html_wrap_inline42204 . Perciò si può interpretare l'integrale di linea su tex2html_wrap_inline42202 come integrale su tex2html_wrap_inline42204 della forma differenziale tex2html_wrap_inline42210 .

I cambiamenti di coordinate possono sempre essere interpretati come applicazioni tra due insiemi distinti oppure come parametrizzazione, con coppie di numeri diversi, dei punti dello stesso insieme. Il ragionamento che precede usa il secondo modo di pensare.

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Per rendere pienamente legittimo questo passaggio dobbiamo verificare che le curve che costituiscono tex2html_wrap_inline42204 e quelle che costituiscono tex2html_wrap_inline42202 si corrispondono non solo nel senso di passare per punti corrispondenti, ma anche di avere lo stesso verso di percorrenza. Questo è assicurato dal fatto che una trasformazione canonica ``conserva l'area con il segno'', cioè non solo ha determinante jacobiano tex2html_wrap_inline42218 , ma proprio uguale a +1; perciò conserva l'orientazione , e quindi se una curva gira sul bordo di D in modo da lasciarsi D a sinistra, anche la sua immagine gira sul bordo di E in modo da lasciarsi E a sinistra.

Allora l'eguaglianza delle aree si traduce nell'annullarsi di un'espressione calcolata nelle sole variabili ``vecchie'', cioè (p,q):

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Si noti che la formula precedente vale per ogni insieme tex2html_wrap_inline42192 , sottoposto soltanto ad ipotesi di regolarità che assicurino l'esistenza degli integrali doppi e di linea che abbiamo usato (se il bordo di D è una curva regolare a tratti  queste ipotesi sono certamente soddisfatte). Ma allora la forma differenziale lineare tex2html_wrap_inline42238 è una forma chiusa , cioè i suoi integrali di linea non cambiano per una piccola deformazione del cammino di integrazione a estremi fissi. In termini di campi vettoriali, il campo vettoriale corrispondente a questa forma differenziale è irrotazionale. Questo ragionamento è alla base del metodo della funzione generatrice per definire le trasformazioni canoniche.

Teorema della funzione generatrice :  Sia B un insieme aperto del piano (p,q), e sia

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un diffeomorfismo di classe tex2html_wrap_inline34798 tra i due insiemi B e C, che sia anche una trasformazione canonica.

Sia tex2html_wrap_inline40872 un punto di B tale che tex2html_wrap_inline42256 . Allora esiste un intorno U di tex2html_wrap_inline40872 su cui la tex2html_wrap_inline42044 può essere descritta come segue: esiste una funzione F, di classe tex2html_wrap_inline34798 , delle variabili (q,w), detta funzione generatrice  , il cui differenziale è:

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ossia, in termini di derivate parziali,

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inoltre la funzione F(q,w) ha la proprietà che

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L'insieme di definizione di F(q,w) è grande ``quanto è necessario'' per definire la trasformazione tra tutti i punti di U e tutti i punti di tex2html_wrap_inline42282 .

Dimostrazione:

 C.D.D.

Esempio:

La funzione generatrice è una funzione di variabili ``miste'', cioè una ``vecchia'' ed una ``nuova''. però la scelta di q nella coppia (p,q) e di w nella coppia (w,z) è arbitraria. Questo si potrebbe mostrare ripetendo il ragionamento con una scelta diversa delle formule di Green nel piano (p,q) e/o nel piano (w,z), ma anche più direttamente componendo una trasformazione definita da F(q,w) con una trasformazione che scambia la coordinata con il momento, in uno dei due piani (o in entrambi).

Naturalmente occorre aggiustare i segni: se si esegue

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e quindi

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è come definire un'unica trasformazione (che è la composta delle due) con funzione generatrice

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ed equazioni implicite che definiscono la trasformazione:

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Se si esegue la trasformazione

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seguita da

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è come usare la funzione generatrice in variabili miste

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per definire la trasformazione

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Finalmente, eseguendo due scambi coordinata/momento, uno nel piano (p,q) ed uno nel piano (w,z), si ottiene una quarta formula con funzione generatrice

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e la regola di trasformazione con due segni meno:

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L'unica difficoltà nell'impiego di una qualunque di queste quattro formule della trasformazione definita dalle funzione generatrice è quella di ricordarsi la regola dei segni. Per questo conviene, se possibile, attenersi al caso F(q,w) che ha tutti i segni positivi.

Esempio:


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997