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6.7 OMOGENEIZZAZIONE CONSERVATIVA

 

Sommario Con lo stesso formalismo descritto fin qui, ma con formule e regole di calcolo modificate, si possono trattare sistemi lagrangiani o hamiltoniani in cui vi sia una esplicita dipendenza dal tempo In particolare, i cambiamenti di coordinate che dipendono dal tempo possono trasformare hamiltoniane e lagrangiane indipendenti dal tempo in altre che ne dipendono, o viceversa. Le regole da applicare ai casi dipendenti dal tempo possono essere ricavate per omogeneizzazione, cioè trattando il tempo  come una variabile come le altre che parametrizzano lo spazio delle configurazioni.

Sistemi hamiltoniani dipendenti dal tempo

Dato un sistema hamiltoniano definito da una funzione di Hamilton dipendente dal tempo H=H(t,Q,P), è sempre semplice ricondursi al caso indipendente dal tempo mediante omogeneizzazione , cioè trattando il tempo t come se fosse una delle coordinate tex2html_wrap_inline44004 . Se tex2html_wrap_inline45058 , si considerano tex2html_wrap_inline45060 , con tex2html_wrap_inline45062 , ed un momento addizionale tex2html_wrap_inline40100 .

Per ottenere equazioni di Hamilton che siano equivalenti a quelle originali, si aggiunge a

displaymath43120

un'equazione del tempo tex2html_wrap_inline45068 . Basta cioè considerare una hamiltoniana omogenea  

displaymath45070

che dà luogo ad equazioni di Hamilton corrispondenti a quelle precedenti, più

displaymath45072

di cui la seconda è l'equazione del tempo, con soluzione tex2html_wrap_inline45074 (la costante tex2html_wrap_inline38944 si può anche porre uguale a zero). La prima equazione mostra che tex2html_wrap_inline40100 è legata al valore della hamiltoniana:

displaymath45080

Quindi vale la relazione

displaymath45082

dove si può sempre scegliere la costante uguale a zero, e quindi scegliere di considerare solo le soluzioni con tex2html_wrap_inline45084 .

Trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo

Una trasformazione canonica dipendente dal tempo può essere definita implicitamente da una funzione generatrice dipendente dal tempo  :

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Questa formula è ottenuta da una funzione generatrice omogenea

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che è costruita in modo tale che la trasformazione della variabile tempo tex2html_wrap_inline41172 sia

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il tempo non viene cambiato. Cambia però la hamiltoniana, poiché la variabile tex2html_wrap_inline45094 viene trasformata da

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la nuova hamiltoniana tex2html_wrap_inline45098 , che definisce la dinamica nello spazio delle (W,Z), è perciò

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Lo stesso formalismo omogeneo può anche essere impiegato per cambiare variabile indipendente: per esempio

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definisce il cambiamento di scala dei tempi di un fattore tex2html_wrap_inline45106

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Ad esso è associato un cambiamento di scala della hamiltoniana di tex2html_wrap_inline45110 :

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Sistemi di riferimento rotanti

Consideriamo per esempio un cambiamento di coordinate nello spazio tex2html_wrap_inline45114 dato da una rotazione con velocità angolare fissa tex2html_wrap_inline45116 :

displaymath45118

Calcoliamo la trasformazione canonica che estende questo cambiamento di coordinate allo spazio delle fasi, usando la funzione generatrice dipendente dal tempo

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e troviamo che la prima equazione tex2html_wrap_inline45122 coincide con la rotazione definita sopra; inoltre

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e poiché tex2html_wrap_inline45126 è ortogonale si trova che le P vengono ruotate dello stesso angolo.

Però la nuova hamiltoniana contiene un termine supplementare che proviene dalla derivata rispetto al tempo della funzione generatrice, calcolabile con l'ausilio della regola della velocità angolare :

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Considerando che il prodotto vettore viene conservato dalle rotazioni e che il vettore velocità angolare è invariante per la rotazione, si ottiene

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Se H è la funzione di Hamilton nelle (P,Q), la dinamica nelle (W,Z) sarà data dalla nuova funzione di Hamilton

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Le nuove equazioni di Hamilton conterranno due parti: una proveniente dalla rotazione dei secondi membri delle equazioni originali, l'altra proveniente dalla derivata del prodotto triplo

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Esempio:


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997