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7.3 CORPO RIGIDO LIBERO

 

Sommario Le equazioni di moto di un corpo rigido sono integrabili. Gli integrali primi dell'energia e del momento angolare possono essere espressi in funzione della velocità angolare, in un sistema di riferimento fisso col corpo; da questo si deducono le equazioni di movimento nella forma di Eulero, e la traiettoria descritta dal vettore velocità angolare. La teoria può essere sviluppata nel caso di un sistema rigido composto da un numero finito n di corpi puntiformi, e poi estesa ai corpi continui con un passaggio al limite per tex2html_wrap_inline43458 . Per un corpo con simmetria assiale le soluzioni sono esprimibili in modo semplice.

Isometrie

Consideriamo un sistema rigido   di n corpi puntiformi  con masse tex2html_wrap_inline44980 e posizioni tex2html_wrap_inline46638 ; il concetto di rigidità è espresso con il vincolo che tutte le distanze fra i punti restino costanti:

displaymath46640

Un sistema rigido di corpi puntiformi fornisce un modello semplice per un corpo rigido ; in seguito presenteremo un modello continuo: come vedremo, le equazioni che descrivono la dinamica del corpo rigido non risentiranno della scelta del modello.

Consideriamo la trasformazione che manda le condizioni iniziali tex2html_wrap_inline39804 (ad un tempo tex2html_wrap_inline38944 arbitrario, supponiamo tex2html_wrap_inline46646 ) nelle posizioni al tempo t:

displaymath46650

supponiamo che la trasformazione tex2html_wrap_inline46652 sia una isometria  , cioè che sia una trasformazione definita su tutto tex2html_wrap_inline40050 che ne conserva la distanza di ogni coppia di punti; supponiamo inoltre che vi sia dipendenza differenziabile (almeno tex2html_wrap_inline34382 ) sia da tex2html_wrap_inline39804 che da t. Per le isometrie esiste una caratterizzazione geometrica molto precisa, che consente di descrivere lo spazio delle configurazioni del sistema rigido.

Teorema delle rotazioni di Eulero :  Ogni isometria è lineare, e precisamente è composizione di una traslazione e di una rotazione. Ogni isometria con un punto fisso ha un asse  , cioè una retta di punti fissi.

Dimostrazione:

 C.D.D.

Come per ogni trasformazione di coordinate, l'applicazione tex2html_wrap_inline46652 ha due interpretazioni: come movimento rigido  , cioè come spostamento di un sistema di corpi in un sistema di coordinate fisso (inerziale ) dalle condizioni iniziali tex2html_wrap_inline46716 allo stato corrente tex2html_wrap_inline46638 , oppure come cambiamento di coordinate dipendente dal tempo, per cui i punti tex2html_wrap_inline46638 sono costantemente contrassegnati dalle coordinate fisse con il corpo   tex2html_wrap_inline39804 . Noi usiamo il secondo punto di vista, per cui le velocità generalizzate tex2html_wrap_inline46724 sono nulle, mentre nel sistema di riferimento inerziale le velocità tex2html_wrap_inline46726 non si annullano e devono essere calcolate tenendo conto delle derivate della matrice di rotazione e del vettore traslazione. Si utilizza allora la regola della velocità angolare  :

Lemma:

C.D.D. lemma

La relazione tra la rotazione dipendente dal tempo R=R(t)t ed il vettore assiale  W=W(t) (oppure tex2html_wrap_inline46770 ), che ne esprime la velocità angolare, può essere utilizzata per parametrizzare globalmente il gruppo SO(3) di tutte le rotazioni:

Teorema delle rotazioni infinitesimali :  Tutte e sole le matrici ortogonali di dimensione dispari sono esprimibili come esponenziale di matrici antisimmetriche.

Dimostrazione:

 C.D.D.

Il gruppo delle rotazioni SO(3) è una varietà differenziabile di dimensione 3, e l'esponenziale di matrice ne fornisce una carta coordinata, almeno nell'intorno dell'identità I.

Una matrice antisimmetrica ha traccia zero, ed una matrice di rotazione ha determinante 1. Questo è un caso particolare della formula della traccia  :

displaymath46812

che deriva semplicemente dal fatto che gli autovalori tex2html_wrap_inline46814 di tex2html_wrap_inline46816 sono legati a quelli tex2html_wrap_inline35138 di S da tex2html_wrap_inline46822 , e con la stessa molteplicità; ora tex2html_wrap_inline46824 , mentre tex2html_wrap_inline46826 .

Energia cinetica e momento angolare

Sia per scrivere le equazioni di moto di un corpo rigido, sia per trovarne gli integrali primi, dobbiamo trovarne l'espressione dell'energia cinetica  e del momento angolare . Nel caso del sistema rigido  di n corpi puntiformi, possiamo partire dalle espressioni in coordinate cartesiane, che sono semplicemente le stesse del caso di n corpi in moto libero:

displaymath46832

L'ipotesi del sistema rigido si traduce nell'espressione della posizione e della velocità in funzione delle coordinate fisse con il corpo e della velocità angolare:

displaymath46834

A questo punto basta sostituire: per l'energia cinetica

eqnarray20295

Se supponiamo che l'origine del sistema di coordinate tex2html_wrap_inline39804 sia nel centro di massa , cioè

displaymath46838

allora il terzo termine nella formula dell'energia cinetica si annulla, e sfruttando il fatto che R, essendo una rotazione, è anche un'isometria, si ha

displaymath46842

dove tex2html_wrap_inline46844 è la massa totale. In conclusione l'energia cinetica si può esprimere come somma di un termine che dipende solo dalla velocità di traslazione del centro di massa, più un termine, dipendente dalla rotazione attorno al centro di massa, che, essendo una forma quadratica omogenea nella tex2html_wrap_inline45768 , può essere espresso mediante una matrice simmetrica tex2html_wrap_inline46848 :

displaymath46850

Questa decomposizione era già stata ottenuta per il moto di n corpi puntiformi indipendenti; ciò che è nuovo è l'espressione di tex2html_wrap_inline46854 in funzione della velocità angolare nel riferimento fisso col corpo tex2html_wrap_inline45768 .

Per il momento angolare nel riferimento del centro di massa, con la stessa sostituzione si ha

eqnarray20308

Quindi il momento angolare si decompone in due parti, una delle quali è il momento angolare di un corpo puntiforme di massa tex2html_wrap_inline45494 che si muove con il centro di massa del sistema:

displaymath46860

Il secondo termine si esprime in modo più semplice nel sistema di riferimento fisso con il corpo: infatti le rotazioni preservano anche i prodotti vettore, nel senso che

displaymath46862

quindi

displaymath46864

La formula del momento angolare M (nel sistema fisso con il corpo) è lineare nella velocità angolare tex2html_wrap_inline45768 , quindi si può esprimere nella forma tex2html_wrap_inline46870 , dove B è una matrice tex2html_wrap_inline35990 che dipende solo dalle masse tex2html_wrap_inline44980 e dalla loro posizione nel sistema di riferimento fisso nel corpo tex2html_wrap_inline39804 .

Teorema del tensore d'inerzia :  Se l'energia cinetica di un sistema rigido di n corpi (rispetto al centro di massa, oppure con centro di massa fisso) si esprime come

displaymath46882

(con tex2html_wrap_inline46848 ), e se il vettore M, che è il momento angolare tex2html_wrap_inline39622 (rispetto al centro di massa, oppure con centro di massa fisso) nel riferimento fisso con il corpo, si esprime come

displaymath46890

allora le due matrici A e B sono uguali.

Dimostrazione:

 C.D.D.

Definizione:

Per calcolare i momenti d'inerzia conviene usare l'espressione in cui compaiono le coordinate dei singoli punti. Se i vettori tex2html_wrap_inline39804 delle posizioni (fisse con il corpo) dei punti di massa tex2html_wrap_inline44980 hanno, rispetto alla base ortonormale tex2html_wrap_inline46944 , le coordinate tex2html_wrap_inline46946 , allora

displaymath46948

e analogamente

displaymath46950

queste formule si esprimono geometricamente dicendo che nel momento d'inerzia rispetto ad un asse ogni corpo puntiforme contribuisce con la sua massa moltiplicata per il quadrato della distanza dall'asse.

Per calcolare i termini del tensore d'inerzia fuori dalla diagonale occorre utilizzare le relazioni tra prodotto scalare tex2html_wrap_inline46952 , prodotto vettore tex2html_wrap_inline46954 ed angolo tex2html_wrap_inline46956 tra versore dell'asse e vettori posizione:

displaymath46958

displaymath46960

per un versore tex2html_wrap_inline46962

eqnarray20347

ed esprimendo questa forma quadratica in N mediante una matrice simmetrica e sommando rispetto ad i si ricava la matrice dell'operatore d'inerzia:

displaymath46968

In generale, i termini fuori diagonale della matrice A non sono nulli. Poiché però la matrice A dell'operatore d'inerzia è simmetrica, per il teorema di diagonalizzazione delle forme quadratiche  ha autovalori reali ed è diagonalizzabile; essendo inoltre l'energia cinetica una forma quadratica definita positiva, i tre autovalori  tex2html_wrap_inline46974 sono positivi e si indicano con il nome di momenti principali d'inerzia  , mentre gli autospazi, detti assi d'inerzia  , sono ortogonali. Dunque esiste un sistema di coordinate cartesiano ortogonale nel quale

displaymath46976

Esercizio Trovare il tensore d'inerzia dei seguenti sistemi rigidi di corpi:

(I)
Due corpi di masse tex2html_wrap_inline46978 .
(II)
Tre corpi di massa uguale tex2html_wrap_inline46980 che formano un triangolo equilatero di lato tex2html_wrap_inline36562 .
(III)
Quattro corpi di massa uguale m che formano un tetraedro di spigolo tex2html_wrap_inline36562 .

Suggerimento: Individuare le simmetrie dei sistemi per usare riferimenti in cui i tensori d'inerzia risultino subito diagonali. Si noti che il caso (I) ha un operatore d'inerzia la cui matrice non è definita positiva: un ``vero'' corpo rigido deve contenere almeno tre punti.

Caso continuo

Vogliamo generalizzare la nozione di sistema rigido al caso ``continuo'', in cui la massa, anziché essere concentrata in un numero finito di punti, è distribuita in modo continuo in un volume. Un corpo rigido   è definito da un insieme tex2html_wrap_inline46988 e da una funzione densità   tex2html_wrap_inline46990 , tale che tex2html_wrap_inline46992 per ogni tex2html_wrap_inline46994 .

Le condizioni a cui devono soddisfare sia W che tex2html_wrap_inline46998 possono variare a seconda dell'applicazione; l'unico requisito veramente importante è che l'integrale triplo che definisce la massa totale  

displaymath47000

sia ben definito. Le condizioni perché questo sia vero dipendono dalla teoria dell'integrazione adottata. Noi ci limiteremo ad usare la teoria dell'integrazione di Riemann , per cui l'insieme W dovrà essere limitato e misurabile secondo Peano-Jordan , e la funzione tex2html_wrap_inline46998 dovrà essere continua e limitata.

Gli unici movimenti ammessi per un corpo rigido, per definizione, saranno isometrie, che per il teorema delle rotazioni di Eulero  avranno la forma

displaymath47006

con la densità nel punto X ed al tempo t pari al valore tex2html_wrap_inline47012 nella condizione iniziale corrispondente.

Si tratta, in questo contesto, di definire l'energia cinetica, il momento angolare, il centro di massa, i momenti d'inerzia del corpo rigido. Come esempio più semplice consideriamo innanzitutto la definizione di massa totale: l'integrale di Riemann di tex2html_wrap_inline47012 su W è definito considerando l'insieme di tutte le possibili partizioni  di W in un numero finito di insiemi tex2html_wrap_inline47020 di forma semplice, per esempio parallelepipedi con facce parallele agli assi coordinati di un fissato riferimento ortogonale; scelto arbitrariamente un punto tex2html_wrap_inline39804 in ciascun tex2html_wrap_inline47020 , si calcola la somma

displaymath47026

dove tex2html_wrap_inline44980 è la massa attribuita al parallelepipedo, nell'ipotesi che abbia densità costante tex2html_wrap_inline47030 . In altre parole, la somma relativa alla partizione corrisponde all'approssimazione per cui il corpo rigido continuo è descritto come sistema rigido di corpi puntiformi. Per il teorema di integrabilità delle funzioni continue  esiste il limite per il diametro dei parallelepipedi che tende a zero, e coincide con l'integrale che definisce la massa: può anche essere interpretato come il limite (indipendente dalle approssimazioni) della massa totale per il numero dei corpi puntiformi che tende all'infinito, con la massa tex2html_wrap_inline44980 di ciascuno che tende a zero (grazie all'ipotesi che la densità tex2html_wrap_inline46998 sia limitata).

Allora, per esempio, l'ascissa del centro di massa  , per il corpo continuo, è

displaymath47036

ovvero il limite di

displaymath47038

analogamente si procede per tex2html_wrap_inline47040 . Similmente, le definizioni date per il corpo continuo si ottengono passando al limite (per il numero dei corpi che tende all'infinito, con la massa di ciascuno che tende a zero) delle corrispondenti definizioni applicate ad un sistema di corpi puntiformi.

Il passaggio al limite dai sistemi di corpi puntiformi ad un corpo continuo è una buona giustificazione intuitiva del procedimento: ciò non toglie che le definizioni di massa totale tex2html_wrap_inline45494 , centro di massa tex2html_wrap_inline47044 , energia cinetica, momento angolare, momento d'inerzia, eccetera, siano espresse in forma integrale.

Definizione:

La generalizzazione al corpo rigido continuo dei risultati ottenuti per i sistemi rigidi di corpi puntiformi si ottiene, in sostanza, eseguendo sotto il segno di integrale triplo gli stessi calcoli che vengono eseguiti sotto il simbolo di sommatoria nel caso di un sistema rigido formato da un numero finito di corpi puntiformi. Finché si tratta di definizioni, come quelle di energia cinetica e di momento angolare, basta disporre di una definizione di integrale triplo. Alquanto più difficile sarebbe dimostrare che un corpo rigido continuo, con energia cinetica T ed energia potenziale delle forze esterne V, si muove secondo le soluzioni delle equazioni di Lagrange con lagrangiana  L=T-V. Questo richiede un sistema di ulteriori assiomi per la dinamica dei corpi continui che estende le leggi di Newton per il corpo puntiforme; vedi per esempio [Truesdell 91], capitolo I. Per semplificare l'esposizione, assumeremo le equazioni di Lagrange, e non quelle di Newton, come assioma o principio dinamico fondamentale nel caso del corpo rigido continuo. Al contrario, nel caso discreto abbiamo dimostrato che le equazioni di Lagrange sono equivalenti a quelle di Newton, come risulta dal teorema dei moti vincolati .

Sostituendo nelle definizioni di T,C le formule

displaymath47070

dove tex2html_wrap_inline46770 è la velocità angolare  nel sistema di coordinate fisso con il corpo (quello delle coordinate Q), si ottiene per l'energia cinetica

eqnarray20401

Se supponiamo che l'origine del sistema di coordinate delle tex2html_wrap_inline39804 sia nel centro di massa , cioè

displaymath47078

allora il terzo termine nella formula dell'energia cinetica si annulla, perché si possono portare fuori dal segno di integrale tutte le operazioni fatte con vettori costanti:

displaymath47080

Sfruttando il fatto che R, essendo una rotazione, è anche un'isometria. si ha

displaymath47084

e, permutando ciclicamente il prodotto triplo, si può scrivere T anche nella forma

displaymath47088

Per il momento angolare nel riferimento del centro di massa, con la stessa sostituzione si ricava

eqnarray20407

poiché infine tex2html_wrap_inline47090 , si trova

displaymath47092

Definizione:

Segue immediatamente, dalle definizioni di centro di massa, energia cinetica, momento angolare e tensore d'inerzia per un corpo rigido, che valgono per un corpo continuo le formule già viste per un sistema rigido di corpi puntiformi:

displaymath47104

displaymath47106

dove A è il tensore d'inerzia, cioè lo stesso integrale che compare sia nell'energia cinetica che nel momento angolare. Questo consente di svolgere esattamente con lo stesso procedimento le due teorie del sistema rigido di corpi puntiformi e del corpo rigido continuo.

Per esempio, svolgendo i calcoli in modo perfettamente analogo al caso del sistema di corpi puntiformi, si trova che il momento di inerzia rispetto all'asse z di un sistema di coordinate cartesiano ortogonale Q=(x,y,z) è l'integrale

displaymath47114

Gli esercizi sul centro di massa e sui momenti d'inerzia di un corpo rigido si riducono al calcolo di integrali tripli; ne elenchiamo soltanto alcuni, i cui risultati ci serviranno in seguito.

Esercizio Calcolare il tensore di inerzia dei seguenti solidi, supponendo costante la densità tex2html_wrap_inline46998 :

(I)
Una palla di raggio R.

(II)
Un cilindro pieno, circolare retto, di raggio R e altezza h.

(III)
Un cubo di lato R.

(IV)
Un ellissoide oblato di rotazione, con raggio equatoriale R e raggio polare R(1-f)<R.

La nozione di corpo continuo definita dalla sola funzione densità non è affatto la sola possibile. Per esempio, diversamente dai corpi ``uniformi'' definiti in questo modo, si possono immaginare continui con struttura, il cui stato non è specificato dalla sola funzione densità. Nella teoria dinamica del corpo rigido si considera solo il comportamento macroscopico del corpo, come se lo vedessimo soltanto dall'esterno; perciò per considerare perfettamente rigido il corpo si ritiene sufficiente prescrivere che la densità sia invariante nel tempo, trascurando ogni altra proprietà.

Integrabilità

Consideriamo un corpo rigido , il cui moto sia descritto dall'isometria

displaymath47130

e che ha, nel riferimento fisso con il corpo stesso, velocità angolare  tex2html_wrap_inline46770 e momento angolare  tex2html_wrap_inline47134 ; A è la matrice dell'operatore d'inerzia. Studiamo il moto di un corpo rigido libero  , cioè senza forze esterne. Allora la lagrangiana  si riduce all'energia cinetica:

displaymath47138

Si noti che questa formula della lagrangiana si applica sia al caso discreto che al caso continuo, naturalmente con una diversa definizione del tensore d'inerzia A.

Per scrivere le equazioni di moto del corpo rigido libero occorrerebbe parametrizzare lo spazio delle configurazioni con un sistema di coordinate lagrangiane , per esempio le coordinate del centro di massa e gli angoli di Eulero , ed esprimere la lagrangiana in funzione di queste. Tuttavia, il teorema di Noether  si può applicare indipendentemente dal sistema di coordinate impiegato. Poiché la lagrangiana è invariante per traslazione, allora il vettore quantità di moto è un integrale primo; poiché è invariante per rotazione, il vettore momento angolare è un integrale primo; inoltre, poiché la hamiltoniana non dipende dal tempo, ha un integrale dell'energia che coincide con l'energia cinetica. Questa argomentazione sarà resa più precisa dai teoremi seguenti.

Teorema della quantità di moto :  Il moto di traslazione del centro di massa del corpo rigido libero è rettilineo uniforme. Se l'origine del sistema di coordinate fisse nel corpo è il centro di massa, allora tale moto del centro di massa ha vettore traslazione V(t) costante:

displaymath47144

Dimostrazione:

 C.D.D.

Teorema del momento angolare :  Il vettore momento angolare è un integrale primo per il moto del corpo rigido libero.

Dimostrazione:

Dimostrazione da completare.

La conseguenza più immediata dei due teoremi precedenti è che il problema del corpo rigido libero è integrabile . Questo potrebbe essere dimostrato verificando le ipotesi del teorema di Arnold-Jost ; infatti, per il corpo rigido libero nel sistema di riferimento con origine nel centro di massa, l'energia E=T, la lunghezza c del vettore momento angolare, ed una qualsiasi componente dello stesso, sono tre integrali primi in commutazione .

Tuttavia in questo caso è possibile descrivere le soluzioni in modo ancora più esplicito. Poniamoci nel sistema di riferimento in cui il centro di massa è fisso nell'origine, per cui tex2html_wrap_inline47172 ; allora tex2html_wrap_inline46854 è costante, e la lunghezza di M è costante (anche se non lo è la sua direzione) perché coincide con la lunghezza c di C:

displaymath47182

dove A è il tensore d'inerzia; o anche, in funzione di tex2html_wrap_inline47186 :

displaymath47188

Per ogni fisso valore di E,c, questo sistema di due equazioni, nelle tre variabili che sono le componenti di M, descrive una curva che è l'intersezione di una sfera con un ellissoide (queste intersezioni sono rappresentate in Figura 7.8 per un valore fisso di E ed al variare di c). Perciò la traiettoria percorsa dal vettore momento angolare M(t) è nota, nel riferimento fisso con il corpo, e così quella della velocità angolare tex2html_wrap_inline46770 .

  figure20477
Figure 7.8:  Intersezioni di un ellissoide triassiale con sfere concentriche. Si noti che la soluzione in cui la velocità angolare è costante, e rivolta verso l'asse con momento principale intermedio, è instabile, mentre quelle rivolte verso gli assi con momenti principali massimi sono stabili.

Equazioni di Eulero

Si possono anche dedurre le equazioni di moto del vettore velocità angolare tex2html_wrap_inline45768 , sfruttando il fatto che il momento angolare è un vettore di integrali primi. Supponendo il centro di massa fisso tex2html_wrap_inline47206 , ed usando la regola della velocità angolare , si ha

displaymath47208

e moltiplicando per tex2html_wrap_inline47210 si trova un sistema dinamico per M (o per tex2html_wrap_inline45768 ):

displaymath47216

Le equazioni differenziali per l'evoluzione temporale di tex2html_wrap_inline45768 sono le equazioni di Eulero  , che hanno una forma più semplice se la velocità angolare tex2html_wrap_inline45768 è espressa in un sistema di coordinate che non solo è fisso con il corpo, ma ha assi coordinati lungo gli assi d'inerzia , per cui le componenti di tex2html_wrap_inline47222 sono tex2html_wrap_inline47224 :

displaymath47226

Le soluzioni delle equazioni di Eulero possono essere studiate in modo espressivo per mezzo dell'ellissoide d'inerzia   tex2html_wrap_inline47228 , una superficie utile per descrivere la distribuzione della massa nel corpo rigido. Il vettore tex2html_wrap_inline47230 appartiene all'ellissoide d'inerzia: dal fatto che un vettore normale a questo ellissoide nel punto Z è dato da

displaymath47234

e che C=RM è un vettore fisso nel riferimento inerziale, segue che C individua un piano (ad esso perpendicolare) che è sempre tangente all'ellissoide nel suo punto d'intersezione con il vettore velocità angolare. In effetti il piano tangente all'ellissoide d'inerzia, visto nel riferimento inerziale, è sempre lo stesso, poiché

displaymath47240

è un integrale primo, cioè è costante sulla soluzione. Si ottiene così il moto alla Poinsot   dell'ellissoide d'inerzia che si muove solidalmente con il corpo rigido libero, ma in modo da toccare un piano fisso nel punto d'intersezione con la velocità angolare.

Poiché il vettore tex2html_wrap_inline45768 definisce l'asse di rotazione istantaneo, sul quale la velocità di rotazione è nulla, si può descrivere il moto alla Poinsot dicendo che l'ellissoide d'inerzia ``rotola senza strisciare'' su un piano fisso nel sistema inerziale. Non bisogna però confondere il moto alla Poinsot con il moto di un solido che ``rotola senza strisciare'' su un piano; in effetti la forma della superficie esterna di un corpo può essere molto diversa dalla forma del suo ellissoide d'inerzia. Per esempio un tetraedro omogeneo ha per ellissoide d'inerzia una sfera, ma non può rotolare senza strisciare in nessun modo.

Nel caso in cui l'ellissoide d'inerzia di un corpo rigido sia una superficie di rotazione, con due momenti principali d'inerzia  uguali (diciamo tex2html_wrap_inline47244 ), le equazioni di Eulero si semplificano notevolmente:

displaymath47246

Se ne deduce che la componente tex2html_wrap_inline47248 della velocità angolare (lungo l'asse di simmetria dell'ellissoide d'inerzia) è costante. Quindi le prime due sono le equazioni di un oscillatore armonico 

displaymath47250

con frequenza

displaymath47252

le cui traiettorie sono circonferenze tex2html_wrap_inline47254 ; il vettore tex2html_wrap_inline45768 descrive un cono di precessione   nel sistema di coordinate fisso con il corpo. La frequenza con cui il vettore tex2html_wrap_inline45768 gira attorno all'asse del cono è inferiore di un fattore tex2html_wrap_inline47260 alla frequenza di rotazione del corpo attorno allo stesso asse; il verso è lo stesso per un corpo oblato ( tex2html_wrap_inline47262 ), retrogrado per un corpo prolato ( tex2html_wrap_inline47264 ). Ci sono anche soluzioni in cui tex2html_wrap_inline45768 è costante, se la direzione è quella dell'asse di simmetria dell'ellissoide d'inerzia.

Il vettore tex2html_wrap_inline47268 percorre un altro cono; poiché M è la descrizione, nel sistema fisso con il corpo, di un vettore costante nel sistema inerziale, se ne deduce che l'asse di simmetria dell'ellissoide d'inerzia descrive ancora un cono nel sistema inerziale.

Problema Supponiamo che la Terra sia un ellissoide di rotazione di densità uniforme, con raggio polare più corto di un fattore 1-f del raggio equatoriale (una misura recente è 1/f= 298.257). Supponendo che il moto sia quello di un corpo libero rigido, descriverne il moto di rotazione, sapendo che la velocità angolare è tex2html_wrap_inline47276 .

Se un corpo ha simmetria assiale  , cioè ha una forma ed una densità che non cambiano per effetto di rotazioni attorno ad un dato asse, allora l'ellissoide d'inerzia è di rotazione, e i due momenti principali d'inerzia in direzioni perpendicolari all'asse sono uguali tra loro. Però non è vero il contrario, cioè un corpo può avere tex2html_wrap_inline47244 senza avere simmetria assiale, come nel caso di un parallelepipedo rettangolo con due spigoli uguali.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997