Sommario Le equazioni di moto di un corpo rigido sono
integrabili. Gli integrali primi dell'energia e del momento
angolare possono essere espressi in funzione della velocità
angolare, in un sistema di riferimento fisso col corpo; da
questo si deducono le equazioni di movimento nella forma di
Eulero, e la traiettoria descritta dal vettore velocità
angolare. La teoria può essere sviluppata nel caso
di un sistema rigido composto da un numero finito
n di corpi puntiformi, e poi estesa ai corpi continui con un
passaggio al limite per . Per un corpo con
simmetria assiale le soluzioni sono esprimibili in modo
semplice.
Consideriamo un sistema rigido di n
corpi puntiformi con masse e
posizioni
; il concetto di rigidità è espresso con il vincolo
che tutte le distanze fra i punti restino costanti:
Un sistema rigido di corpi puntiformi fornisce un modello semplice per un corpo rigido ; in seguito presenteremo un modello continuo: come vedremo, le equazioni che descrivono la dinamica del corpo rigido non risentiranno della scelta del modello.
Consideriamo la trasformazione che manda le condizioni
iniziali (ad un tempo
arbitrario, supponiamo
) nelle posizioni al tempo t:
supponiamo che la trasformazione sia una
isometria , cioè che sia una trasformazione definita su
tutto
che ne conserva la distanza di ogni coppia di
punti; supponiamo inoltre
che vi sia dipendenza differenziabile (almeno
) sia da
che da t. Per le isometrie esiste una
caratterizzazione geometrica molto precisa, che consente di
descrivere lo spazio delle configurazioni del sistema rigido.
Teorema delle rotazioni di Eulero : Ogni isometria è lineare, e precisamente è composizione di una traslazione e di una rotazione. Ogni isometria con un punto fisso ha un asse , cioè una retta di punti fissi.
Dimostrazione:
descrive il moto dell'origine, e la differenza
è, per ogni t, un'isometria con l'origine come punto
fisso.
Un'isometria con punto fisso è necessariamente una trasformazione
lineare, poiché conserva la somma di vettori (la regola del
parallelogramma è interamente descrivibile in termini di lunghezze)
e la moltiplicazione per scalare (descrivibile in termini del processo
di misura).
Perciò per ogni t esiste una matrice tale che
la condizione di conservazione delle distanze
impone che la forma quadratica definita da coincida
con quella definita da I, cioè
.
La matrice
è quindi
ortogonale,
e
: utilizzando l'ipotesi di continuità
rispetto a t, da
si ottiene che
.
Quindi l'isometria è composizione di una rotazione
L'esistenza di un asse è conseguenza di una
proprietà di tutte le rotazioni R: poiché
ha gli stessi autovalori di R, se
è
un autovalore di R, anche
lo è. In uno spazio
di dimensione dispari, questo implica che ci sia sempre un
autovalore 1, e quindi un asse di punti fissi.
Come per ogni trasformazione di coordinate, l'applicazione ha
due interpretazioni: come movimento rigido , cioè come
spostamento di un sistema di corpi in un sistema di coordinate fisso
(inerziale ) dalle condizioni iniziali
allo stato corrente
, oppure come cambiamento di
coordinate dipendente dal tempo, per cui i punti
sono
costantemente contrassegnati dalle coordinate fisse con il corpo
. Noi usiamo il secondo punto di vista, per cui le velocità
generalizzate
sono nulle, mentre nel sistema di riferimento
inerziale le velocità
non si annullano e devono essere
calcolate tenendo conto delle derivate della matrice di rotazione e
del vettore traslazione. Si utilizza allora la
regola della velocità angolare :
Lemma:
dove R=R(t) e V=V(t) dipendono in modo dal tempo, esiste un
vettore velocità angolare
, in coordinate fisse con il corpo, tale che
Inoltre l'accelerazione si esprime come
Dimostrazione del lemma:
Derivando si ottiene
dove la matrice è antisimmetrica, come
si deduce derivando
:
La matrice antisimmetrica S è associata ad un vettore assiale W, nel senso che la moltiplicazione a sinistra per S è interpretabile come un prodotto vettore
come è facile verificare per confronto fra i coefficienti del vettore e della matrice:
Il prodotto vettore e la matrice antisimmetrica sono due rappresentazioni dello stesso operatore lineare.
Sostituendo nella formula della velocità nel sistema inerziale
si ricava la velocità angolare nel sistema di coordinate fisso
con il corpo:
Derivando infine rispetto al tempo si ottiene la formula per l'accelerazione
La relazione tra la rotazione dipendente dal tempo R=R(t)t ed il
vettore assiale W=W(t) (oppure ), che ne
esprime la velocità angolare, può essere utilizzata per
parametrizzare globalmente il gruppo SO(3) di tutte le rotazioni:
Teorema delle rotazioni infinitesimali : Tutte e sole le matrici ortogonali di dimensione dispari sono esprimibili come esponenziale di matrici antisimmetriche.
Dimostrazione:
la prima segue dalla definizione dell'esponenziale come serie, la seconda dal teorema della somma degli esponenti
Se S è una matrice antisimmetrica ( ) ed
, allora A è ortogonale:
Viceversa, sia A una matrice ortogonale di dimensione dispari; come
dimostrato dal teorema delle
rotazioni di Eulero , A rappresenta una rotazione intorno
ad un asse z. In un riferimento cartesiano ortogonale avente l'ultimo
asse coordinato lungo z, la rotazione `e espressa dalla matrice
(con
) della forma
quindi , dove
è antisimmetrica.
Il gruppo delle rotazioni SO(3) è una varietà differenziabile di dimensione 3, e l'esponenziale di matrice ne fornisce una carta coordinata, almeno nell'intorno dell'identità I.
Una matrice antisimmetrica ha traccia zero, ed una matrice di rotazione ha determinante 1. Questo è un caso particolare della formula della traccia :
che deriva semplicemente dal fatto che gli autovalori di
sono legati a quelli
di S da
,
e con la stessa molteplicità; ora
, mentre
.
Sia per scrivere le equazioni di moto di un corpo rigido, sia per trovarne gli integrali primi, dobbiamo trovarne l'espressione dell'energia cinetica e del momento angolare . Nel caso del sistema rigido di n corpi puntiformi, possiamo partire dalle espressioni in coordinate cartesiane, che sono semplicemente le stesse del caso di n corpi in moto libero:
L'ipotesi del sistema rigido si traduce nell'espressione della posizione e della velocità in funzione delle coordinate fisse con il corpo e della velocità angolare:
A questo punto basta sostituire: per l'energia cinetica
Se supponiamo che l'origine del sistema di coordinate sia
nel centro di massa , cioè
allora il terzo termine nella formula dell'energia cinetica si annulla, e sfruttando il fatto che R, essendo una rotazione, è anche un'isometria, si ha
dove è la massa totale. In conclusione l'energia
cinetica si può esprimere come somma di un termine che dipende solo
dalla velocità di traslazione del centro di massa, più un termine,
dipendente dalla rotazione attorno al centro di massa, che, essendo
una forma quadratica omogenea nella
, può essere espresso mediante una matrice
simmetrica
:
Questa decomposizione era già stata ottenuta per il moto di
n corpi puntiformi indipendenti; ciò che è nuovo è
l'espressione di in funzione della velocità angolare nel
riferimento fisso col corpo
.
Per il momento angolare nel riferimento del centro di massa, con la stessa sostituzione si ha
Quindi il momento angolare si decompone in due parti, una delle quali
è il momento angolare di un corpo puntiforme di massa che
si muove con il centro di massa del sistema:
Il secondo termine si esprime in modo più semplice nel sistema di riferimento fisso con il corpo: infatti le rotazioni preservano anche i prodotti vettore, nel senso che
quindi
La formula del momento angolare M (nel sistema fisso con il corpo)
è lineare nella velocità angolare , quindi si può
esprimere nella forma
, dove B è una matrice
che dipende solo dalle masse
e dalla loro posizione
nel sistema di riferimento fisso nel corpo
.
Teorema del tensore d'inerzia : Se l'energia cinetica di un sistema rigido di n corpi (rispetto al centro di massa, oppure con centro di massa fisso) si esprime come
(con ), e se il vettore M, che è il momento
angolare
(rispetto al centro di massa, oppure con centro di massa
fisso) nel riferimento fisso con il corpo, si esprime
come
allora le due matrici A e B sono uguali.
Dimostrazione:
Permutando ciclicamente nel prodotto triplo (che è il determinante dei tre vettori) si ottiene
da cui
le due matrici A e B esprimono perciò la stessa forma quadratica. Inoltre, applicando ancora la permutazione del prodotto triplo
si ricava che B è simmetrica: perciò le due matrici simmetriche A e B, che definiscono la stessa forma quadratica, sono uguali.
Definizione:
Il momento d'inerzia di un sistema rispetto all'asse di versore N è
perciò l'energia cinetica del sistema in funzione della velocità angolare
(in coordinate fisse con il corpo) è
Il nome ``tensore'' è riferito alla legge di
trasformazione della matrice A al cambiare del sistema di
riferimento: infatti A viene usata come matrice simmetrica di una forma
quadratica nella definizione di una quantità come che non dipende dal
sistema di riferimento. Se, sempre restando fisso con il
corpo, il sistema di coordinate è sottoposto ad una trasformazione
lineare con matrice S, allora il tensore di inerzia si trasforma
come
.
Per calcolare i momenti d'inerzia conviene usare l'espressione in cui compaiono
le coordinate dei singoli punti. Se i vettori delle
posizioni (fisse con il corpo) dei punti di massa
hanno,
rispetto alla base ortonormale
, le coordinate
, allora
e analogamente
queste formule si esprimono geometricamente dicendo che nel momento d'inerzia rispetto ad un asse ogni corpo puntiforme contribuisce con la sua massa moltiplicata per il quadrato della distanza dall'asse.
Per calcolare i termini del tensore d'inerzia fuori dalla diagonale occorre
utilizzare le relazioni tra prodotto scalare , prodotto
vettore
ed angolo
tra versore dell'asse e
vettori posizione:
per un versore
ed esprimendo questa forma quadratica in N mediante una matrice simmetrica e sommando rispetto ad i si ricava la matrice dell'operatore d'inerzia:
In generale, i termini fuori diagonale della matrice A non sono
nulli. Poiché però la matrice A dell'operatore d'inerzia è
simmetrica, per il teorema di
diagonalizzazione delle forme quadratiche
ha autovalori reali ed è diagonalizzabile; essendo
inoltre l'energia cinetica una forma quadratica definita positiva, i
tre autovalori sono positivi e si indicano con il
nome di momenti principali d'inerzia , mentre gli autospazi, detti
assi d'inerzia , sono ortogonali. Dunque esiste un
sistema di coordinate cartesiano ortogonale nel quale
Esercizio Trovare il tensore d'inerzia dei seguenti sistemi rigidi di corpi:
Suggerimento: Individuare le simmetrie dei sistemi per usare riferimenti in cui i tensori d'inerzia risultino subito diagonali. Si noti che il caso (I) ha un operatore d'inerzia la cui matrice non è definita positiva: un ``vero'' corpo rigido deve contenere almeno tre punti.
Vogliamo generalizzare la nozione di sistema rigido al caso
``continuo'', in cui la massa, anziché essere concentrata in un
numero finito di punti, è distribuita in modo continuo in un volume.
Un corpo rigido è definito da un insieme
e da una funzione densità
, tale che
per ogni
.
Le condizioni a cui devono soddisfare sia W che
possono variare a seconda dell'applicazione; l'unico requisito
veramente importante è che l'integrale triplo che definisce la
massa totale
sia ben definito. Le condizioni perché questo sia vero dipendono
dalla teoria dell'integrazione adottata. Noi ci limiteremo ad usare la
teoria dell'integrazione di Riemann , per cui l'insieme W
dovrà essere limitato e misurabile secondo Peano-Jordan , e
la funzione dovrà essere continua e limitata.
Gli unici movimenti ammessi per un corpo rigido, per definizione, saranno isometrie, che per il teorema delle rotazioni di Eulero avranno la forma
con la densità nel punto X ed al tempo t pari al valore
nella condizione iniziale corrispondente.
Si tratta, in questo contesto, di definire l'energia cinetica, il
momento angolare, il centro di massa, i momenti d'inerzia del corpo
rigido. Come esempio più semplice consideriamo innanzitutto la
definizione di massa totale: l'integrale di Riemann di su
W è definito considerando l'insieme di tutte le possibili
partizioni di W in un numero finito
di insiemi
di
forma semplice, per esempio parallelepipedi con facce parallele agli
assi coordinati di un fissato riferimento ortogonale; scelto arbitrariamente un
punto
in ciascun
, si calcola la somma
dove è la massa attribuita al parallelepipedo, nell'ipotesi che
abbia densità costante
. In altre parole, la somma relativa
alla partizione corrisponde all'approssimazione per cui il corpo
rigido continuo è descritto come sistema rigido di corpi puntiformi.
Per il
teorema di integrabilità delle funzioni continue esiste
il limite per il diametro dei parallelepipedi che tende a zero,
e coincide con
l'integrale che definisce la massa: può anche essere interpretato
come il limite (indipendente dalle approssimazioni) della massa totale
per il numero dei corpi puntiformi che tende
all'infinito, con la massa
di ciascuno che tende a zero (grazie
all'ipotesi che la densità
sia limitata).
Allora, per esempio, l'ascissa del centro di massa , per il corpo continuo, è
ovvero il limite di
analogamente si procede per . Similmente,
le definizioni date per il corpo continuo si ottengono passando al
limite (per il numero dei corpi che tende all'infinito, con la massa
di ciascuno che tende a zero) delle corrispondenti definizioni applicate
ad un sistema di corpi puntiformi.
Il passaggio al limite dai sistemi di corpi puntiformi ad un
corpo continuo è una buona giustificazione intuitiva del
procedimento: ciò non toglie che le definizioni di massa totale ,
centro
di massa
, energia cinetica,
momento angolare, momento d'inerzia,
eccetera, siano espresse in forma integrale.
Definizione:
La generalizzazione al corpo rigido continuo dei risultati ottenuti per i sistemi rigidi di corpi puntiformi si ottiene, in sostanza, eseguendo sotto il segno di integrale triplo gli stessi calcoli che vengono eseguiti sotto il simbolo di sommatoria nel caso di un sistema rigido formato da un numero finito di corpi puntiformi. Finché si tratta di definizioni, come quelle di energia cinetica e di momento angolare, basta disporre di una definizione di integrale triplo. Alquanto più difficile sarebbe dimostrare che un corpo rigido continuo, con energia cinetica T ed energia potenziale delle forze esterne V, si muove secondo le soluzioni delle equazioni di Lagrange con lagrangiana L=T-V. Questo richiede un sistema di ulteriori assiomi per la dinamica dei corpi continui che estende le leggi di Newton per il corpo puntiforme; vedi per esempio [Truesdell 91], capitolo I. Per semplificare l'esposizione, assumeremo le equazioni di Lagrange, e non quelle di Newton, come assioma o principio dinamico fondamentale nel caso del corpo rigido continuo. Al contrario, nel caso discreto abbiamo dimostrato che le equazioni di Lagrange sono equivalenti a quelle di Newton, come risulta dal teorema dei moti vincolati .
Sostituendo nelle definizioni di T,C le formule
dove è la
velocità angolare
nel sistema di coordinate fisso con il corpo (quello delle coordinate
Q), si ottiene per l'energia cinetica
Se supponiamo che l'origine del sistema di coordinate delle sia
nel centro di massa , cioè
allora il terzo termine nella formula dell'energia cinetica si annulla, perché si possono portare fuori dal segno di integrale tutte le operazioni fatte con vettori costanti:
Sfruttando il fatto che R, essendo una rotazione, è anche un'isometria. si ha
e, permutando ciclicamente il prodotto triplo, si può scrivere T anche nella forma
Per il momento angolare nel riferimento del centro di massa, con la stessa sostituzione si ricava
poiché infine
, si trova
Definizione:
A è il tensore d'inerzia . Il
momento d'inerzia relativo all'asse
definito dal versore N è .
Segue immediatamente, dalle definizioni di centro di massa, energia cinetica, momento angolare e tensore d'inerzia per un corpo rigido, che valgono per un corpo continuo le formule già viste per un sistema rigido di corpi puntiformi:
dove A è il tensore d'inerzia, cioè lo stesso integrale che compare sia nell'energia cinetica che nel momento angolare. Questo consente di svolgere esattamente con lo stesso procedimento le due teorie del sistema rigido di corpi puntiformi e del corpo rigido continuo.
Per esempio, svolgendo i calcoli in modo perfettamente analogo al caso del sistema di corpi puntiformi, si trova che il momento di inerzia rispetto all'asse z di un sistema di coordinate cartesiano ortogonale Q=(x,y,z) è l'integrale
Gli esercizi sul centro di massa e sui momenti d'inerzia di un corpo rigido si riducono al calcolo di integrali tripli; ne elenchiamo soltanto alcuni, i cui risultati ci serviranno in seguito.
Esercizio
Calcolare il tensore di inerzia dei seguenti solidi, supponendo
costante la
densità :
La nozione di corpo continuo definita dalla sola funzione densità non è affatto la sola possibile. Per esempio, diversamente dai corpi ``uniformi'' definiti in questo modo, si possono immaginare continui con struttura, il cui stato non è specificato dalla sola funzione densità. Nella teoria dinamica del corpo rigido si considera solo il comportamento macroscopico del corpo, come se lo vedessimo soltanto dall'esterno; perciò per considerare perfettamente rigido il corpo si ritiene sufficiente prescrivere che la densità sia invariante nel tempo, trascurando ogni altra proprietà.
Consideriamo un corpo rigido , il cui moto sia descritto dall'isometria
e che ha, nel riferimento fisso con il corpo stesso,
velocità angolare
e momento angolare
;
A è la matrice
dell'operatore d'inerzia. Studiamo il moto di un
corpo rigido libero ,
cioè senza forze esterne. Allora la lagrangiana si riduce
all'energia cinetica:
Si noti che questa formula della lagrangiana si applica sia al caso discreto che al caso continuo, naturalmente con una diversa definizione del tensore d'inerzia A.
Per scrivere le equazioni di moto del corpo rigido libero occorrerebbe parametrizzare lo spazio delle configurazioni con un sistema di coordinate lagrangiane , per esempio le coordinate del centro di massa e gli angoli di Eulero , ed esprimere la lagrangiana in funzione di queste. Tuttavia, il teorema di Noether si può applicare indipendentemente dal sistema di coordinate impiegato. Poiché la lagrangiana è invariante per traslazione, allora il vettore quantità di moto è un integrale primo; poiché è invariante per rotazione, il vettore momento angolare è un integrale primo; inoltre, poiché la hamiltoniana non dipende dal tempo, ha un integrale dell'energia che coincide con l'energia cinetica. Questa argomentazione sarà resa più precisa dai teoremi seguenti.
Teorema della quantità di moto : Il moto di traslazione del centro di massa del corpo rigido libero è rettilineo uniforme. Se l'origine del sistema di coordinate fisse nel corpo è il centro di massa, allora tale moto del centro di massa ha vettore traslazione V(t) costante:
Dimostrazione:
dove è necessario solamente sapere che non dipende
né da V né da
. Allora le prime
tre equazioni di Lagrange sono
Teorema del momento angolare : Il vettore momento angolare è un integrale primo per il moto del corpo rigido libero.
Dimostrazione:
Possiamo supporre che il centro di massa sia fisso nell'origine dei sistemi di coordinate (sia quello fisso con il corpo, che quello inerziale). Infatti il cambiamento di coordinate tra un qualunque sistema inerziale e quello con origine nel centro di massa, per il teorema precedente, è un moto rettilineo uniforme, che non cambia le derivate seconde, e quindi mantiene la proprietà di inerzialità.
Nel caso di un sistema rigido di corpi puntiformi, si pò applicare
direttamente il teorema di Noether ad un gruppo ad un
parametro di rotazioni attorno ad un asse passante per il centro di
massa fisso. Poichè l'energia cinetica contiene soltanto le
lunghezze delle velocità , la lagrangiana del corpo rigido
libero è invariante. Il corrispondente integrale primo è la
componente del vettore momento angolare lungo l'asse di
rotazione, come nel caso del problema degli n corpi .
Infatti, se il gruppo ad un parametro di rotazioni è:
con W un versore che indica l'asse di rotazione, allora
e l'integrale primo del teorema di Noether è:
Il caso del corpo continuo si può trattare molto più facilmente disponendo di una parametrizzazione esplicita dello spazio delle configurazioni del corpo rigido; perciò la dimostrazione sarà completata nella sezione successiva.
La conseguenza più immediata dei due teoremi precedenti è che il problema del corpo rigido libero è integrabile . Questo potrebbe essere dimostrato verificando le ipotesi del teorema di Arnold-Jost ; infatti, per il corpo rigido libero nel sistema di riferimento con origine nel centro di massa, l'energia E=T, la lunghezza c del vettore momento angolare, ed una qualsiasi componente dello stesso, sono tre integrali primi in commutazione .
Tuttavia in questo caso è possibile descrivere le soluzioni in modo
ancora più esplicito. Poniamoci nel sistema di riferimento in cui il
centro di massa è fisso nell'origine, per cui ;
allora
è costante, e la lunghezza di M è costante (anche
se non lo è la sua direzione) perché coincide con la lunghezza c di C:
dove A è il tensore d'inerzia; o anche, in funzione di :
Per ogni fisso valore di E,c, questo sistema di due equazioni, nelle
tre variabili che sono le componenti di M, descrive una curva che
è l'intersezione di una sfera con un ellissoide (queste intersezioni
sono rappresentate in Figura 7.8 per un valore fisso di
E ed al variare di c). Perciò la traiettoria percorsa dal
vettore momento angolare M(t) è nota, nel riferimento fisso con il
corpo, e così quella della velocità angolare .
Figure 7.8: Intersezioni di un ellissoide triassiale con
sfere concentriche. Si noti che la soluzione in cui la velocità
angolare è costante, e rivolta verso l'asse con momento
principale intermedio, è instabile, mentre quelle rivolte verso
gli assi con momenti principali massimi sono stabili.
Si possono anche dedurre le
equazioni di moto del vettore velocità angolare , sfruttando
il fatto che il momento angolare è un vettore di integrali
primi. Supponendo il centro di massa fisso
, ed usando la
regola della velocità angolare , si ha
e moltiplicando per si trova un sistema dinamico per M (o
per
):
Le equazioni differenziali per l'evoluzione temporale di sono
le equazioni di Eulero , che hanno una forma più semplice se la
velocità angolare
è espressa in un sistema di coordinate
che non solo è fisso con il corpo, ma ha assi coordinati lungo gli
assi d'inerzia , per cui le componenti di
sono
:
Le soluzioni delle equazioni di
Eulero possono essere studiate in modo espressivo
per mezzo dell'ellissoide d'inerzia , una superficie
utile per descrivere la distribuzione della massa nel corpo rigido. Il vettore
appartiene all'ellissoide d'inerzia: dal fatto che
un vettore normale a questo ellissoide nel punto Z è dato da
e che C=RM è un vettore fisso nel riferimento inerziale, segue che C individua un piano (ad esso perpendicolare) che è sempre tangente all'ellissoide nel suo punto d'intersezione con il vettore velocità angolare. In effetti il piano tangente all'ellissoide d'inerzia, visto nel riferimento inerziale, è sempre lo stesso, poiché
è un integrale primo, cioè è costante sulla soluzione. Si ottiene così il moto alla Poinsot dell'ellissoide d'inerzia che si muove solidalmente con il corpo rigido libero, ma in modo da toccare un piano fisso nel punto d'intersezione con la velocità angolare.
Poiché il vettore definisce l'asse di rotazione
istantaneo, sul quale la velocità di rotazione è nulla, si può
descrivere il moto alla Poinsot dicendo che l'ellissoide d'inerzia
``rotola senza strisciare'' su un piano fisso nel sistema
inerziale. Non bisogna però confondere il moto alla Poinsot con il
moto di un solido che ``rotola senza strisciare'' su un piano; in
effetti la forma della superficie esterna di un corpo può essere
molto diversa dalla forma del suo ellissoide d'inerzia. Per esempio
un tetraedro omogeneo ha per ellissoide d'inerzia una sfera, ma non
può rotolare senza strisciare in nessun modo.
Nel caso in cui l'ellissoide d'inerzia di un corpo rigido sia una superficie
di rotazione, con due momenti principali d'inerzia uguali
(diciamo ), le equazioni di Eulero si semplificano
notevolmente:
Se ne deduce che la componente della velocità
angolare (lungo l'asse di simmetria dell'ellissoide d'inerzia) è
costante. Quindi le prime due sono le equazioni di un
oscillatore armonico
con frequenza
le cui traiettorie sono circonferenze ;
il vettore
descrive un cono di precessione nel
sistema di coordinate fisso con il corpo. La frequenza con cui il
vettore
gira attorno all'asse del cono è inferiore
di un fattore
alla frequenza di rotazione
del corpo attorno allo stesso asse;
il verso è lo stesso per un
corpo oblato (
), retrogrado per un corpo prolato
(
). Ci sono anche soluzioni in cui
è costante,
se la direzione è quella dell'asse di simmetria
dell'ellissoide d'inerzia.
Il vettore percorre un altro cono; poiché M è la
descrizione, nel sistema fisso con il corpo, di un vettore costante
nel sistema inerziale, se ne deduce che l'asse di simmetria
dell'ellissoide d'inerzia descrive ancora un cono nel sistema
inerziale.
Problema
Supponiamo che la Terra sia un ellissoide di rotazione di densità
uniforme, con raggio polare più corto di un fattore 1-f del
raggio equatoriale (una misura recente è 1/f= 298.257).
Supponendo che il moto sia quello di un corpo libero rigido,
descriverne il moto di rotazione, sapendo che la velocità angolare
è .
Se un corpo ha simmetria assiale , cioè ha una forma
ed una densità che non cambiano per effetto di rotazioni attorno
ad un dato asse, allora l'ellissoide d'inerzia è di rotazione, e
i due momenti principali d'inerzia in direzioni perpendicolari
all'asse sono uguali tra loro. Però non è vero il contrario, cioè
un corpo può avere senza avere simmetria assiale,
come nel caso di un parallelepipedo rettangolo con due spigoli
uguali.