next up previous contents index
Next: 7.5 PICCOLE OSCILLAZIONI Up: 7 I PRINCIPALI SISTEMI Previous: 7.3 CORPO RIGIDO LIBERO

7.4 ANGOLI DI EULERO

 

Sommario Il moto di un corpo rigido soggetto a forze esterne (con energia potenziale data) ammette una formulazione lagrangiana e hamiltoniana, che si ricava dalla parametrizzazione del gruppo delle rotazioni con coordinate lagrangiane. Questo problema non è in generale integrabile; diventa integrabile sotto ipotesi di simmetria. Una trottola con ellissoide d'inerzia simmetrico per rotazione attorno ad un asse, sottoposta a forze esterne il cui potenziale dipenda solo dalla posizione dell'asse di simmetria, ha un moto integrabile, che può essere calcolato mediante quadrature ed inversioni.

Parametrizzare una rotazione

Per poter utilizzare il formalismo lagrangiano (e hamiltoniano) nel problema del corpo rigido, occorre parametrizzare il gruppo SO(3) delle rotazioni con tre coordinate lagrangiane. Benché questo sia possibile in molti modi, il metodo classico è l'uso degli angoli di Eulero, che sono definiti a partire da una terna ortonormale di vettori nel sistema inerziale 

displaymath47282

e da una terna ortonormale di vettori nel sistema fisso con il corpo

displaymath47284

La retta intersezione del piano (x,y) (definito da tex2html_wrap_inline47288 ) con il piano tex2html_wrap_inline47290 (definito da tex2html_wrap_inline47292 ) è la linea dei nodi  . Dei due versori diretti lungo la linea dei nodi, chiamiamo N quello che punta verso il nodo ascendente , il cui verso è definito dal prodotto vettore tex2html_wrap_inline47296 .

La rotazione (dipendente dal tempo) R=R(t) che manda le coordinate fisse con il corpo in quelle inerziali:

displaymath47300

si può descrivere R come composizione di tre rotazioni (ciascuna dipendente dal tempo). Usiamo sempre la notazione tex2html_wrap_inline47304 per una rotazione attorno all'asse V di un angolo |V| (e con verso antiorario visto dalla testa di V).

  figure20531
Figure 7.9:  Gli angoli di Eulero di una rotazione.

(1)
rotazione tex2html_wrap_inline47312 di un angolo tex2html_wrap_inline35482 attorno all'asse tex2html_wrap_inline47316 , fino a mandare tex2html_wrap_inline47318 nel versore N del nodo ascendente ( tex2html_wrap_inline47322 );
(2)
rotazione tex2html_wrap_inline47324 di un angolo tex2html_wrap_inline35456 intorno all'asse N dei nodi, fino a mandare tex2html_wrap_inline47316 in tex2html_wrap_inline47332 ( tex2html_wrap_inline47334 );
(3)
rotazione tex2html_wrap_inline47336 di un angolo tex2html_wrap_inline46110 attorno all'asse tex2html_wrap_inline47332 , fino a mandare N in tex2html_wrap_inline47344 ( tex2html_wrap_inline47346 ).

Gli angoli di Eulero   della rotazione R sono tex2html_wrap_inline47350 . Si noti che tex2html_wrap_inline35482 e tex2html_wrap_inline46110 sono veramente variabili angolo , mentre tex2html_wrap_inline35456 può variare solo nell'intervallo tex2html_wrap_inline47358 .

Tra gli elementi orbitali  di un'orbita del problema dei due corpi, tex2html_wrap_inline47360 sono gli angoli di Eulero che mandano il riferimento ortonormale dato in una terna ortonormale con primo asse lungo il vettore di Laplace-Lenz  e terzo asse lungo il vettore momento angolare. I non è una variabile angolo.

La matrice R si decompone nelle tre rotazioni

displaymath47366

ma occorre capire in quale sequenza queste rotazioni vanno eseguite. Teniamo presente che la matrice di rotazione delle coordinate è l'inversa della matrice di rotazione degli assi, e che dobbiamo passare dalle coordinate fisse nel corpo Q a quelle inerziali X. La prima operazione da eseguire è quindi la rotazione dell'angolo tex2html_wrap_inline46110 attorno a tex2html_wrap_inline47332 , che è l'inversa della rotazione che manda tex2html_wrap_inline47344 in N; poi la rotazione dell'angolo tex2html_wrap_inline35456 attorno ad N, l'inversa della rotazione che manda tex2html_wrap_inline47332 in tex2html_wrap_inline47316 ; infine la rotazione di tex2html_wrap_inline35482 attorno ad tex2html_wrap_inline47316 , l'inversa della rotazione che manda N in tex2html_wrap_inline47318 . In conclusione, eseguendo la composizione delle rotazioni per moltiplicazione delle matrici a destra, come sempre accade per le trasformazioni lineari:

displaymath47396

Se vogliamo scrivere esplicitamente le matrici: la rotazione tex2html_wrap_inline47312 lascia fisso l'asse tex2html_wrap_inline47316 , quindi è data da

displaymath47402

mentre la rotazione tex2html_wrap_inline47324 è la rotazione attorno al primo al momento in cui viene eseguita) asse coordinato, quindi

displaymath47406

infine tex2html_wrap_inline47336 è la rotazione attorno al terzo (al momento in cui viene eseguita) asse coordinato, quindi

displaymath47410

Eseguendo il prodotto di matrici si può ottenere la formula esplicita della parametrizzazione del gruppo SO(3) delle rotazioni, a cui appartiene R, con gli angoli di Eulero. Omettiamo questo calcolo perché la formula che ne risulta è complicata, e non conviene usarla direttamente.

Per poter usare il formalismo lagrangiano occorre non solo disporre delle coordinate lagrangiane tex2html_wrap_inline47350 , ma anche saper scrivere - come espressione analitica esplicita - la lagrangiana  in funzione delle sei variabili tex2html_wrap_inline47418 . Noi conosciamo un'espressione dell'energia cinetica in funzione di tex2html_wrap_inline45768 , il vettore velocità angolare in coordinate fisse con il corpo: occorre trovare le formule analitiche che legano queste variabili.

Teorema della lagrangiana del corpo rigido :  Se un corpo rigido ruota con velocità angolare tex2html_wrap_inline47422 (nelle coordinate fisse con il corpo) fra tex2html_wrap_inline45768 e gli angoli di Eulero tex2html_wrap_inline47350 , intercorre la relazione

displaymath47428

Dimostrazione:

 C.D.D.

Grazie al teorema appena dimostrato, possiamo esprimere in funzione degli angoli di Eulero e delle loro derivate la velocità angolare e quindi l'energia cinetica (rispetto al centro di massa, o con centro di massa fisso) tex2html_wrap_inline47494 . Supponendo che tex2html_wrap_inline47496 siano le coordinate rispetto agli assi d'inerzia  (che significa che la terna tex2html_wrap_inline47498 è formata dai versori degli assi d'inerzia), si ha

eqnarray20705

dove tex2html_wrap_inline46974 sono i momenti principali d'inerzia. Se il moto è libero, oppure se le forze esterne ammettono un'energia potenziale tex2html_wrap_inline47502 , questo consente di scrivere la lagrangiana  del moto di rotazione (riferito al centro di massa, o con centro di massa fisso) come

displaymath47504

e di ricavare le equazioni di Lagrange  (oppure, previa trasformata di Legendre , le equazioni di Hamilton ).

Momento angolare

Possiamo ora completare la dimostrazione del teorema del momento angolare , utilizzando gli angoli di Eulero come parametrizzazione esplicita dello spazio delle configurazioni SO(3) del corpo rigido con centro di massa fisso. Si noti che l'argomentazione che segue si applica indifferentemente al caso del corpo rigido discreto o continuo.

L'angolo tex2html_wrap_inline35482 , variabile ciclica per la lagrangiana tex2html_wrap_inline47516 , fornisce infatti un integrale primo dato da

displaymath47508

che coincide con la proiezione lungo tex2html_wrap_inline47316 del momento angolare C del corpo, come si verifica calcolando

eqnarray20714

dove si è tenuto conto che

displaymath47509

tex2html_wrap_inline47316 può essere scelto arbitrariamente nel riferimento inerziale per definire gli angoli di Eulero; per ogni scelta, tex2html_wrap_inline45768 non dipende da tex2html_wrap_inline47312 , quindi tex2html_wrap_inline46854 non dipende da tex2html_wrap_inline35482 ; si ricava che è costante la componente di C rispetto a un asse qualsiasi, cioè che C è un vettore di integrali primi.

Rotore simmetrico

La lagrangiana del moto di rotazione del corpo rigido è abbastanza complicata, avendo tre gradi di libertà; in generale darà luogo ad un problema non integrabile . Ci sono però dei casi particolari integrabili , tra cui abbiamo già trattato il caso libero, ossia con energia potenziale nulla.

Un altro caso integrabile è quello del rotore simmetrico  , ossia con ellissoide d'inerzia biassiale e con potenziale dipendente solo dall'angolo di Eulero tex2html_wrap_inline35456 ; in tal caso tex2html_wrap_inline47244 , e la formula dell'energia cinetica si semplifica molto:

eqnarray20744

Ci sono due variabili cicliche  tex2html_wrap_inline47540 , e i corrispondenti momenti tex2html_wrap_inline47542 sono integrali primi:

displaymath47544

è la componente del momento angolare (rispetto al centro di massa) tex2html_wrap_inline39622 lungo l'asse di simmetria dell'ellissoide d'inerzia, mentre

displaymath47548

come già visto, è la componente di tex2html_wrap_inline39622 lungo l'asse tex2html_wrap_inline47316 . Inoltre abbiamo l'integrale dell'energia tex2html_wrap_inline47554 , perciò il sistema è integrabile.

Eseguiamo la trasformata di Legendre , usando la formula della matrice inversa per trasformare la forma quadratica nelle velocità in quella nei momenti:

eqnarray20753

da cui si deduce la formula della hamiltoniana

displaymath47556

che può essere interpretata come hamiltoniana ad un grado di libertà, con coordinata tex2html_wrap_inline35456 , momento tex2html_wrap_inline47560 , e due parametri costanti: tex2html_wrap_inline47562 e tex2html_wrap_inline47564 . Quindi il problema non solo è integrabile, ma può essere integrato usando soltanto operazioni di quadratura , come descritto nella Sezione 5.2.

Esercizio Svolgere tutti i passaggi della trasformazione di Legendre qua sopra.

Esercizio Verificare che i tre integrali primi tex2html_wrap_inline47566 sono in commutazione , e che hanno gradienti linearmente indipendenti, salvo se l'asse tex2html_wrap_inline47332 è esattamente lungo tex2html_wrap_inline47316 .

L'ipotesi tex2html_wrap_inline47572 equivale ad affermare che le forze esterne che hanno effetto sulla rotazione del corpo rigido dipendono solo dall'inclinazione tex2html_wrap_inline35456 . Per esempio questo si verifica se il corpo ha simmetria assiale , cioè densità che non dipende da tex2html_wrap_inline46110 , ed è soggetto ad un campo gravitazionale con potenziale dipendente soltanto di z.

Per esempio se supponiamo che l'energia potenziale sia della forma

displaymath47580

con K>0, abbiamo il sistema ad un grado di libertà con hamiltoniana

displaymath47584

  figure20792
Figure:  Soluzione del problema del rotore simmetrico: (a) potenziale effettivo W (b) curva di livello dell'energia nel problema ridotto ad un grado di libertà (c) soluzione nel piano dei primi due angoli di Eulero (d) intersezione dell'asse di rotazione con una sfera.

Trascuriamo il termine costante tex2html_wrap_inline47588 , ponendo tex2html_wrap_inline47590 . Lo studio qualitativo delle soluzioni, per un dato valore degli integrali tex2html_wrap_inline47562 e tex2html_wrap_inline47564 , si ottiene come al solito studiando la funzione energia potenziale effettiva 

displaymath47596

Lo studio qualitativo è molto semplice, poiché in ogni caso (tranne che per tex2html_wrap_inline47598 )

displaymath47600

quindi tex2html_wrap_inline47602 ha un minimo tex2html_wrap_inline47604 . Si può verificare che l'insieme dei tex2html_wrap_inline35456 per cui tex2html_wrap_inline47608 è sempre un intervallo per ogni tex2html_wrap_inline47610 : ponendo tex2html_wrap_inline47612 , si ha tex2html_wrap_inline47614

displaymath47616

che è verificata se e solo se (moltiplicando per il denominatore che è >0)

displaymath47620

Il polinomio di terzo grado g(u) ha coefficiente di grado massimo <0, e inoltre tex2html_wrap_inline47626 ; deve perciò avere una radice >1, ed al più altre due radici reali, che sono entrambe interne o entrambe esterne all'intervallo [-1,1]: la diseguaglianza tex2html_wrap_inline47632 sarà soddisfatta sull'intervallo limitato da queste due radici.

Problema Discutere i casi tex2html_wrap_inline47634 e tex2html_wrap_inline47636 in cui lo studio qualitativo ha un caso eccezionale.

Suggerimento: Tenere conto del fatto che per tex2html_wrap_inline45814 e per tex2html_wrap_inline47640 gli angoli di Eulero non sono coordinate lagrangiane (le rotazioni tex2html_wrap_inline47642 ed tex2html_wrap_inline47644 non sono distinte, quindi le due variabili tex2html_wrap_inline47646 hanno gradienti linearmente dipendenti).

  figure20813
Figure 7.11:  Rotore simmetrico: la curva tracciata sulla sfera unitaria dal versore dell'asse di simmetria dell'ellissoide d'inerzia assume aspetti diversi a seconda del valore degli integrali primi; passando da a,b,c,d il valore degli integrali primi del momento angolare resta lo stesso, mentre l'energia diminuisce.

Le soluzioni del problema del rotore simmetrico, ottenute per quadratura , possono perciò essere descritte come segue (vedi figura 7.10). La variabile tex2html_wrap_inline35456 oscillerà tra un valore minimo tex2html_wrap_inline45508 ed un valore massimo tex2html_wrap_inline47652 (corrispondenti alle due radici tex2html_wrap_inline47654 del polinomio g(u)). L'inversa della legge oraria tex2html_wrap_inline45328 si ottiene dalla quadratura

displaymath47660

Nota la soluzione tex2html_wrap_inline45328 , la soluzione tex2html_wrap_inline47664 si ricava da un'altra quadratura: ottenendo tex2html_wrap_inline47448 dagli integrali primi tex2html_wrap_inline47668 si ha

displaymath47670

e sostituendo nell'integrale tex2html_wrap_inline47564 si giunge alla quadratura che dà tex2html_wrap_inline46110 :

displaymath47676

Una soluzione dotata di proprietà particolari è quella che corrisponde al punto di minimo tex2html_wrap_inline45428 di tex2html_wrap_inline47602 , cioè tex2html_wrap_inline47682 . Allora il valore di tex2html_wrap_inline35456 resta costante, e così pure la frequenza di precessione tex2html_wrap_inline47686 e la velocità angolare di rotazione attorno all'asse di simmetria tex2html_wrap_inline47448 . Per valori di E' appena superiori a tex2html_wrap_inline44292 si hanno delle piccole oscillazioni di tex2html_wrap_inline35456 attorno al valore tex2html_wrap_inline45428 , e quindi anche il valore di tex2html_wrap_inline47686 e quello di tex2html_wrap_inline47448 oscillano attorno ad un valore medio. Se si traccia la figura descritta dal vettore tex2html_wrap_inline47332 sulla sfera unitaria, queste oscillazioni sovrapposte al moto di precessione media formano dei riccioli (Figura 7.11).

Trottola simmetrica

Un problema di moto del corpo rigido che è stato studiato intensamente, anche perché si presta ad una efficace verifica sperimentale, è quello della trottola pesante  . Per trottola si intende un rotore simmetrico, vincolato ad avere un punto fisso situato sull'asse di simmetria; questo punto però non coincide con il centro di massa, per cui il peso del corpo rigido produce una coppia rispetto al punto di appoggio.

Intuitivamente, il punto fisso è un estremo di un asta, coincidente con l'asse di simmetria, appoggiato su di un piano in modo da consentire i movimenti di rotazione attorno ad esso. Negli esperimenti pratici con le trottole, è bene tenere conto del fatto che un appoggio senza attrito è un'astrazione matematica; in pratica la trottola avrà dei movimenti irregolari di traslazione dovuti anche all'attrito fra il piano e l'asse di rotazione nel punto di appoggio: in questo consiste il gioco della trottola, che non si sa mai dove va a finire. Se però si osserva soltanto il moto rispetto al punto di appoggio, il modello matematico qui presentato risulta notevolmente aderente alla realtà del semplice esperimento fisico.

Per formalizzare il problema occorre ricalcolare l'energia cinetica del corpo rigido W con densità tex2html_wrap_inline46998 , assumendo che il punto fisso non sia il centro di massa, ma sia l'origine delle coordinate fisse con il corpo Q, e delle coordinate inerziali X. Allora la velocità dovuta alla sola rotazione sarà

displaymath47718

e l'energia cinetica, grazie all'assenza del termine di traslazione, sarà data da

displaymath47720

in altre parole, l'energia cinetica potrà sempre essere definita come forma quadratica nella velocità angolare tex2html_wrap_inline45768 , mediante un tensore d'inerzia  I. Tuttavia il tensore d'inerzia rispetto al punto d'appoggio non è il tensore d'inerzia rispetto al centro di massa.

Teorema di Steiner :  Fra il tensore d'inerzia A rispetto al centro di massa tex2html_wrap_inline43954 ed il tensore d'inerzia B rispetto ad un punto qualsiasi tex2html_wrap_inline47732 intercorre la relazione

displaymath47734

Dimostrazione:

 C.D.D.

Perciò per la trottola, il momento d'inerzia rispetto al punto di appoggio, che per ipotesi sta sull'asse d'inerzia tex2html_wrap_inline47332 con momento principale d'inerzia tex2html_wrap_inline45902 , ha momenti principali tex2html_wrap_inline47762 , dove tex2html_wrap_inline36562 è la distanza del centro di massa dal punto di appoggio. A parte la sostituzione dei momenti d'inerzia modificati, la lagrangiana della trottola è identica a quella del rotore simmetrico, quindi la soluzione è quella già descritta precedentemente.


next up previous contents index
Next: 7.5 PICCOLE OSCILLAZIONI Up: 7 I PRINCIPALI SISTEMI Previous: 7.3 CORPO RIGIDO LIBERO

Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997