7.1 PROBLEMA DEI DUE CORPI

 

Sommario Il moto di corpi nello spazio è storicamente il problema intorno al quale si è sviluppata la meccanica moderna (ed anche gran parte della matematica moderna, come il calcolo differenziale). Nel caso in cui due soli corpi puntiformi interagiscono mediante una forza centrale, il problema è integrabile, perché possiede gli integrali del centro di massa, del momento angolare e dell'energia. Se in particolare la forza attrattiva è inversamente proporzionale al quadrato delle distanze, le orbite sono esprimibili come sezioni coniche, e le variabili azione-angolo sono calcolabili esplicitamente in termini finiti: i passaggi sono tutti esplicitamente analitici, ad eccezione di una inversione, l'equazione di Keplero.

Per problema dei due corpi   intendiamo la descrizione del moto di due corpi puntiformi  sotto l'azione della sole forze di interazione dei due corpi stessi, che si suppongono forze centrali  per le quali valga la legge di azione e reazione .

Se indichiamo le posizioni dei due corpi con e le loro masse con , la lagrangiana  sarà

dove V è l'energia potenziale  dell'interazione e la distanza. Le equazioni di Lagrange  sono

Questo problema appare complicato perché ha dimensionalità elevata: in effetti è un sistema dinamico in . Tuttavia il sistema è integrabile  nel senso del teorema di Arnold-Jost , perché ha un numero sufficiente di integrali primi . Utilizzando questi integrali primi, ridurremo gradualmente il problema fino ad un solo grado di libertà.

Riduzione alla forza centrale

La prima riduzione del problema è resa possibile dalla legge di azione e reazione

che permette di ricavare per il centro di massa 

l'equazione di moto

Perciò possiamo ridurre il problema ad un sistema dinamico in nel modo seguente. Consideriamo il vettore di posizione relativa del secondo corpo rispetto al primo, e ricaviamo le equazioni di moto per differenza: da

si ottiene

poiché le derivate parziali di V(r) rispetto alle coordinate sono l'opposto di quelle rispetto alle coordinate di .

Una soluzione del sistema dinamico in , con condizione iniziale 

si otterrà a partire da una soluzione del sistema dinamico in con condizioni iniziali e da una soluzione dell'equazione di moto del cento di massa: data la curva P(t) e dato ,

è la soluzione del problema originario.

La stessa riduzione si può derivare dal formalismo lagrangiano, considerando la trasformazione

come un cambiamento di coordinate; per la covarianza delle equazioni di Lagrange  per scrivere le equazioni di moto per basta esprimere la lagrangiana nelle nuove coordinate. Poiché

sostituendo nella lagrangiana originaria si ottiene

La lagrangiana  nelle nuove coordinate non solo è ciclica nelle coordinate di (onde gli integrali primi che sono i momenti coniugati, cioè le componenti della quantità di moto  del baricentro ), ma è somma di una funzione della sola e di una funzione di , perciò i due gruppi di variabili hanno dinamiche  del tutto disaccoppiate. Il moto del centro di massa è governato dalla lagrangiana del moto libero

mentre il moto relativo è governato dalla lagrangiana ridotta

che è quella del problema della forza centrale  in cui al corpo fittizio P è attribuita (dal formalismo lagrangiano) la massa ridotta  , cioè la media armonica   delle due masse:

Poiché il fattore moltiplicativo non influisce sulla dinamica, si può considerare come lagrangiana ridotta

le cui equazioni di Lagrange sono esattamente le equazioni di moto per P che abbiamo ottenuto per differenza. Per semplificare la notazione indichiamo l'energia potenziale riscalata con W(r):

Momento angolare

Poiché la lagrangiana del problema dei due corpi è simmetrica rispetto alle rotazioni, per il teorema di Noether  le equazioni di moto avranno un vettore di integrali primi, che si può interpretare come momento angolare . Il momento angolare totale è, nel riferimento originario del problema dei due corpi,

se si passa al riferimento del moto relativo e del centro di massa, e si applica alla lagrangiana il teorema di Noether, si trova, con formula del tutto simile, il vettore di integrali primi

Il primo termine rappresenta il contributo del centro di massa al momento angolare, il secondo è il momento angolare calcolato in un riferimento avente l'origine in .

Si può verificare per sostituzione che e rappresentano lo stesso vettore, cioè sono funzioni che si corrispondono per valore  nei due sistemi di riferimento. Questa proprietà, legata al fatto che nelle nuove coordinate l'energia cinetica  è ancora espressa per mezzo di una matrice diagonale, si generalizza ad un sistema di coordinate dette ``jacobiane'': cfr. [Milani-Nobili 83].

Facendo la consueta economia di termini e fattori costanti, possiamo considerare il momento angolare ridotto

e verificare che è un integrale primo: , dove il primo termine è identicamente nullo ed il secondo si annulla perché l'accelerazione ha direzione radiale. Ne segue che la posizione P(t) del moto relativo, ed anche la velocità , giacciono per ogni t in un piano perpendicolare al vettore momento angolare. Quindi, se si sceglie un sistema di coordinate di tale che l'asse z sia lungo C (e con lo stesso verso), le equazioni di moto relative alla coordinata z sono semplicemente , ed hanno soluzione . Possiamo quindi considerare , ed il sistema dinamico in .

L'impiego dei tre integrali primi corrispondenti alle componenti del momento angolare ha consentito di ridurre lo spazio delle fasi da ad : poiché l'insieme invariante  definito in da tre equazioni indipendenti è una varietà di dimensione 3, si capisce che gli integrali del momento angolare non sono stati ancora sfruttati in pieno. In effetti è stata utilizzata solo la direzione del vettore C, non la sua lunghezza, che comparirà ancora come integrale primo nel problema piano.

Il problema nel piano dell'orbita

Per risolvere il problema ridotto al piano conviene passare alle coordinate polari  nel piano dell'orbita. La lagrangiana si trasforma  in

e si ottiene immediatamente un integrale primo, cioè il momento coniugato alla variabile ciclica

da qui si può ricavare per quadratura , una volta che sia noto r(t), usando

Questa formula va generalmente sotto il nome di legge delle aree  , o seconda legge di Keplero  : infatti la costante coincide (a meno del un fattore 2) con la derivata rispetto al tempo dell'area ``spazzata dal raggio vettore", cioè dell'area

dunque le aree spazzate dal raggio vettore sono proporzionali ai tempi.

Sostituendo la costante c nella lagrangiana si ottiene la lagrangiana  ad un grado di libertà:

Per concludere sull'integrabilità del problema dei due corpi, non resta che applicare la trasformazione di Legendre e trovare la hamiltoniana

che fornisce l'ultimo integrale primo. Il problema dei due corpi è dunque integrabile, mediante quadrature ed inversioni (che sono utilizzate per risolvere il sistema hamiltoniano ad un grado di libertà, e per trovare la legge oraria ) e mediante espressioni analitiche esplicite (per tutti gli altri passaggi).

Lo studio qualitativo delle soluzioni si ottiene dallo studio dell'energia potenziale effettiva 

ed in particolare dalle proprietà degli insiemi dei valori di r per cui ; per esempio se si ottiene un intervallo con ne risultano orbite limitate, che non vanno né all'infinito, né alla collisione r=0.

Gli integrali classici

Facciamo ordine nell'insieme degli integrali primi del problema dei due corpi. Dal problema ridotto si deduce l'integrale dell'energia ridotta, che naturalmente è legato a quello dell'energia totale  :

dove è l'energia del moto libero del centro di massa ed E l'energia ridotta  .

Anche l'integrale è legato al vettore momento angolare: poiché infatti la componente della velocità in direzione radiale non contribuisce al momento angolare, e la componente trasversale è , si ha

purché il sistema di riferimento sia stato scelto in modo che .

In conclusione, il problema dei due corpi ha sette integrali indipendenti dal tempo: tre componenti della quantità di moto, tre componenti del momento angolare, e l'energia totale. Il teorema di Arnold-Jost  non si può applicare direttamente, perché gli insiemi di livello non sono compatti (se la quantità di moto è diversa da , le orbite sono illimitate); però i tre integrali della quantità di moto possono essere impiegati per eliminare le sei variabili m, anche con l'aiuto dei tre integrali primi dipendenti dal tempo .

Il problema ridotto ha tre gradi di libertà e i quattro integrali E, C, che tuttavia non sono in commutazione. Da questi si possono estrarre tre integrali primi in commutazione: : in primo luogo perché sono integrali primi; inoltre con un calcolo non banale si può mostrare che . Infatti in coordinate polari sferiche 

quindi la loro parentesi di Poisson è

Perciò il sistema ridotto, con tre gradi di libertà e tre integrali in commutazione, è del tipo descritto dal teorema di Arnold-Jost ; resta da vedere dove i gradienti dei tre integrali primi sono indipendenti, e quali insiemi di livello sono compatti. Questo dipenderà dalla forma dell'energia potenziale W(r), e quindi dell'energia potenziale effettiva K(r).

 
Figure 7.1:  Le quattro figure mostrano: il potenziale effettivo in funzione del raggio; una curva di livello dell'energia nel piano del momento e della coordinata r; la traiettoria in coordinate polari (raggio r ed angolo, ricavato per quadratura rispetto alla variabile r); la traiettoria in coordinate cartesiane, per il tratto compreso tra il raggio minimo e massimo. Si noti che l'angolo tra la posizione al pericentro e quella all'apocentro non è un angolo piatto: la traiettoria non si richiude al prossimo passaggio al pericentro.

Se per esempio K(r) tende a per , per ogni valore E dell'energia totale ci sarà un valore minimo tale che , mentre K(r)>E per . Allora calcoliamo l'inversa della legge oraria: risolvendo l'equazione dell'energia rispetto a si trova

da cui, essendo ,

dove è il tempo al quale l'orbita passa al pericentro   (ovvero dal punto in cui ).

Invece la dipendenza di dal tempo si può ricavare da un'altra quadratura : poiché ,

dove è l'argomento del pericentro   (ovvero la direzione del punto in cui ). Se ci si limita ad un intervallo di valori di t nel quale la relazione tra t ed r è monotona, allora si può cambiare variabile nella quadratura sostituendo dt con , ottenendo

Se l'energia potenziale effettiva K(r) ha un punto stazionario , in cui , allora esiste una soluzione con costante e costante, cioè un'orbita circolare; il valore del raggio dell'orbita circolare dipende solo dal valore del momento angolare c.

Infine, se l'energia potenziale W(r) tende a 0 per (come è ragionevole immaginare per un'interazione fisicamente possibile), altrettanto fa l'energia potenziale effettiva K(r), e si avranno due casi ben distinti:

• Per E<0 tutte le orbite saranno limitate; se esse sono anche limitate dal di sotto ( ) si avrà un toro invariante per il teorema di Arnold-Jost. Dopo un giro, quando cioè sarà aumentata di rispetto al valore iniziale , il valore di r non sarà in generale tornato al minimo , e quindi la traiettoria descriverà una ``rosetta'', cioè resterà confinata in una corona circolare, con raggi corrispondenti al pericentro ed all'apocentro   (punto con raggio massimo). Secondo il valore del rapporto tra le due frequenze proprie  del flusso di Kronecker  sul toro invariante, le traiettorie potranno richiudersi perché le corrispondenti orbite sono periodiche, oppure riempire la corona circolare.
• Al contrario, per vi saranno orbite illimitate con e : se anche ha limite finito, c'è una ``direzione di fuga'' in corrispondenza dell'asintoto.

Problema dei due corpi gravitazionale

Il problema dei due corpi gravitazionale si ottiene specificando nel problema dei due corpi trattato fin qui la legge della forza proporzionale all'inverso del quadrato della distanza. Allora l'energia potenziale gravitazionale risulta

La proporzionalità dell'energia potenziale a entrambe le masse, e con una costante di proporzionalità G che è universale (cioè non dipende dalla composizione né da alcun altra proprietà dei corpi) deriva dall'equivalenza della massa inerziale con la massa sorgente del campo gravitazionale, ed è uno dei principi fondamentali della gravitazione newtoniana (e anche di quella einsteiniana).

L'energia potenziale riscalata è quindi

che corrisponde all'energia potenziale di un corpo di massa unitaria nel campo gravitazionale di un corpo con massa pari alla massa totale ; la hamiltoniana è

ed il momento coniugato ad r

Allora la relazione tra ed r si può ricavare dalla quadratura

dove si intende che corrisponde ad . I possibili valori del raggio al pericentro si possono ricavare dall'equazione

con soluzioni

per E>0 le soluzioni sono reali e di segno discorde, per cui esiste un pericentro ma la traiettoria non è limitata; anche per E=0 la soluzione è illimitata; per E<0, infine, le soluzioni sono entrambe reali e positive purché

Poiché l'espressione qui sopra ricorrerà frequentemente, introduciamo la notazione

valida per (cioè sempre se , e per valori opportuni di c se E<0). La lettera e in questo capitolo non indica il numero di Nepero, ma l'eccentricità   di Keplero, la cui interpretazione geometrica sarà chiara tra poco.

Limitiamoci quindi a considerare il caso . La quadratura che fornisce in funzione di r può essere eseguita analiticamente, contenendo la radice di un polinomio di secondo grado: sostituendo u=1/r come variabile di integrazione

Il polinomio di secondo grado sotto radice ha radici reali perché il suo discriminante è ancora lo stesso che abbiamo supposto maggiore di zero. Perciò l'integrale si calcola con la sostituzione

notando anche che il valore corrisponde ad , dove la radice si annulla, si ha che

 
Figure 7.2:  Le quattro figure mostrano, per il problema dei due corpi gravitazionale: il potenziale effettivo in funzione del raggio; una curva di livello dell'energia nel piano del momento e della coordinata r; la traiettoria nel piano delle coordinate polari, cioè l'angolo, ricavato per quadratura rispetto alla variabile r, ed il raggio; la traiettoria in coordinate cartesiane, per il tratto compreso tra il raggio minimo e massimo. L'angolo tra il pericentro e l'apocentro è esattamente un angolo piatto (a meno del piccolo errore introdotto nella quadratura numerica), quindi la traiettoria si richiude al prossimo passaggio al pericentro e l'orbita è periodica.

Invertendo l'arcocoseno, e ricordando le definizioni di ed u, si trova

e, ricavando r in funzione di ,

Questa formula vale per ogni valore degli integrali primi E e c, purché non sia negativa l'espressione di , e rappresenta la prima legge di Keplero  : le traiettorie del problema dei due corpi gravitazionale sono sezioni coniche. Se infatti si considera un sistema di coordinate tale che , ossia tale che l'asse x abbia la direzione del pericentro e che l'asse y stia nel piano orbitale, troviamo

che è un'ellisse per 0<e<1, una parabola per e=1, una circonferenza per e=0, un'iperbole per e>1. In ogni caso, un fuoco è nell'origine; nel caso iperbolico la traiettoria occupa solo il ramo dell'iperbole più vicino al all'origine.

Le dimensioni delle sezioni coniche su cui giacciono le traiettorie si possono dedurre dai valori minimi e massimi (se esistono) del raggio r. Il minimo corrisponde a ; perciò l'angolo è l'argomento del pericentro  e si indica tradizionalmente con la lettera . Per e<1, il massimo corrisponde per ; l'asse maggiore dell'ellisse è la somma del raggio massimo con il raggio minimo

ovvero

con distanza al pericentro  a(1-e) e all'apocentro  a(1+e). La lunghezza a si chiama semiasse maggiore   dell'orbita ellittica. Il semiasse minore dell'ellisse è .

La formula che lega il momento angolare al semiasse maggiore

si può considerare valida anche nel caso iperbolico, pur di ammettere valori negativi per a. Nel caso parabolico non si può definire un semiasse maggiore, e si usa il parametro che corrisponde al doppio della distanza al pericentro.

Un'altra relazione importante è quella tra energia e semiasse maggiore. Sostituendo la formula per c in funzione di a,e dentro la formula dell'eccentricità in funzione di E,c, si ricava

per cui l'integrale dell'energia dipende solo dal semiasse maggiore, e viceversa.

Per E<0, e 0<e<1, cioè per le orbite ellittiche, il raggio ha valore massimo ed uno minimo, che sono le due radici (reali e positive) di H(0,r,c)=E. Nel passare dal minimo al massimo di r, l'angolo aumenta di esattamente (perché coincide con l'integrale dell'arcoseno sull'intero intervallo su cui la radice è ). Quando l'orbita ritorna di nuovo al valore minimo di r, l'angolo è aumentato di , per cui l'orbita passa da , cioè dallo stesso punto. In tale punto i valori delle derivate sono determinati dagli integrali primi E,c: infatti e , perciò la soluzione ripassa dalla stessa condizione iniziale ed è un'orbita periodica . Quindi tutte le condizioni iniziali con E<0 (un aperto nello spazio delle fasi) corrispondono ad orbite periodiche.

Per comprendere l'eccezionalità di questo risultato, si può citare il teorema di Bertrand  , per il quale i soli sistemi governati da forze centrali con energia potenziale V(r) analitica reale, per i quali esistano orbite periodiche che riempiono un aperto nello spazio delle fasi, sono o oscillatori armonici con o modelli del problema dei due corpi gravitazionale con . Per un cenno di dimostrazione del teorema di Bertrand si veda [Arnold 86], Capitolo 2.

Per calcolare il periodo delle orbite ellittiche, si può utilizzare la legge delle aree: l'area A spazzata dal raggio vettore durante un intervallo di tempo pari ad un periodo P è l'area dell'ellisse

da cui, usando la relazione tra c ed a,e, si ricava la terza legge di Keplero  :

 
Figure 7.3:  Nel piano (E,c) le orbite circolari stanno sulla curva che fa da frontiera tra la regione dove non è soddisfatta la condizione di realtà (per cui non ci sono soluzioni con quei valori di E,c) e quella delle orbite ellittiche; le orbite paraboliche E=0 separano le orbite ellittiche da quelle iperboliche. Dal punto di vista del teorema di Arnold-Jost, per E<0 ma e>0 si hanno dei tori invarianti perché le soluzioni hanno raggi limitati sia dal di sopra che dal di sotto, per e=0 i tori invarianti degenerano in circonferenze e per E non negativa le soluzioni sono illimitate e le varietà invarianti sono cilindri. Il caso c=0 corrisponde ad orbite con collisioni, e va trattato a parte.

La frequenza propria  è il moto medio  

Si noti che il periodo (quindi anche il moto medio) non dipende dall'eccentricità. Poiché il semiasse maggiore dipende solo dall'energia, anche il periodo dipende solo dall'integrale dell'energia, non da quello del momento angolare.

Elementi orbitali

Per descrivere le soluzioni del problema dei due corpi in conviene introdurre il vettore di Laplace-Lenz  

dove è il vettore momento angolare ridotto, in coordinate relative . Il secondo addendo è il versore radiale ; se usiamo il sistema di riferimento ortonormale mobile definito da , nel piano orbitale ed (con l'orientazione di tale che ), valgono le seguenti regole di derivazione:

Possiamo quindi calcolare la derivata totale del vettore di Laplace-Lenz

e, sostituendo l'espressione dell'accelerazione in funzione inversamente proporzionale al quadrato della distanza, oltre che la formula , si ottiene

Poiché , la derivata totale è nulla: quindi le tre componenti del vettore di Laplace-Lenz sono integrali primi del moto. L'interpretazione geometrica di questo vettore di integrali primi è semplice: chiamiamo anomalia vera   f l'angolo tra L e P (visto da C), per il quale vale

Allora

ed il confronto con la formula del raggio in funzione dell'angolo nel piano orbitale consente di concludere che |L|=e ed , ossia il vettore di Laplace-Lenz giace nel piano orbitale, indica la direzione del pericentro ed ha lunghezza pari all'eccentricità .

 
Figure 7.4:  Degli elementi orbitali che descrivono un'orbita kepleriana, tre sono angoli di Eulero che descrivono l'orientazione nello spazio, mentre semiasse maggiore ed eccentricità descrivono la forma e le dimensioni della traiettoria.

Un'orbita del problema dei due corpi (ridotto al moto relativo) sarà descritta da tre angoli:

• l'inclinazione   I del piano orbitale rispetto al piano (x,y) di un sistema di riferimento ortonormale , per la quale

  

  lo spigolo dell'angolo diedro formato dal piano (x,y) e dal piano orbitale avrà come versore

  

  che indica la direzione del nodo ascendente  , il punto in cui l'orbita attraversa da sotto a sopra il piano (x,y).

• , longitudine del nodo   ascendente, ovvero l'angolo tra il nodo ascendente e l'asse x:

  

• infine , argomento del pericentro , ovvero l'angolo tra il nodo ascendente ed il vettore di Laplace-Lenz:

  

In definitiva, l'orbita viene individuata da sei elementi orbitali  : gli angoli di Eulero  , gli elementi a,e e l'angolo f; i primi 5 sono indipendenti dal tempo, cioè sono tutti integrali primi, mentre f=f(t) può essere calcolato per quadratura da .

Variabili di Delaunay

Il problema dei due corpi gravitazionale, ridotto al moto relativo, ha tre gradi di libertà e tre integrali primi in commutazione . Usiamo le coordinate polari sferiche  per calcolare questi tre integrali: l'integrale dell'energia ridotta è la hamiltoniana (per unità di massa)

La componente z del momento angolare in queste coordinate è semplicemente , mentre il momento angolare scalare è

Usando queste espressioni possiamo verificare le ipotesi del teorema di Arnold-Jost . I gradienti di questi integrali primi sono

affinché siano linearmente indipendenti basta imporre che non accada mai simultaneamente che e (per evitare che sia parallelo a , e anche a ) e che non sia mai simultaneamente e (per evitare che sia parallelo a ).

Poiché , la condizione può verificarsi solo per un'orbita circolare. La condizione accompagnata da implica che sia sempre 0, cioè che sia nulla l'inclinazione I; in questo caso si avrebbe . Perciò, per orbite con I> 0 e con e>0 i tre gradienti sono linearmente indipendenti, cioè i tre integrali sono funzionalmente indipendenti.

Anche la condizione di compattezza è facile da verificare. Consideriamo l'insieme di livello nello spazio delle fasi di coordinate ; non dimentichiamo che è una variabile angolo, e che , per cui e sono sempre limitate. H è una forma quadratica definita positiva nei momenti, quindi ciascuno di essi è limitato su H=E e quindi su . Se il momento angolare c è diverso da zero, allora il raggio r non può annullarsi; si tratta di verificare se il raggio è limitato, e se questo è vero, allora l'insieme è limitato e chiuso , quindi compatto .

Dall'integrale dell'energia H=E, considerando anche fissato il valore del momento angolare scalare c, si trova l'equazione per il momento

che, come abbiamo già visto, ha soluzioni per r compreso tra un massimo ed un minimo quando E<0: in effetti , dove a,e sono funzioni di E,c.

Consideriamo allora il dominio di Delaunay  , che è l'aperto dello spazio delle fasi in cui E<0, I>0, e>0. Nel dominio di Delaunay valgono, per il problema dei due corpi gravitazionale, tutte le ipotesi del teorema di Arnold-Jost, quindi esistono delle variabili azione-angolo 

tali che ogni insieme di livello è un toro  a tre dimensioni , su cui le azioni sono costanti, e gli angoli forniscono una carta coordinata.

Si potrebbero usare gli integrali di linea della dimostrazione del teorema di Arnold-Jost per trovare l'espressione delle variabili azione; i calcoli relativi sarebbero molto simili a quelli già fatti nella Sezione 6.5 per integrare il problema della forza centrale mediante separazione di variabili nell'equazione di Hamilton-Jacobi . Poiché però conosciamo già la soluzione del problema dei due corpi, e la sua descrizione mediante elementi orbitali, possiamo procedere in modo più rapido. Possiamo dedurre direttamente dalle proprietà delle variabili azione-angolo le relazioni tra queste e gli elementi orbitali.

Poiché è una variabile ciclica, può essere scelta come una delle variabili azione, supponiamo che sia . La relazione di commutazione

indica che è l'integrale primo associato, per il teorema di Noether , al gruppo di simmetrie che si ottiene ruotando attorno all'asse z. Tra gli elementi orbitali, la longitudine del nodo ha la proprietà che una traslazione lungo l'asse corrisponde ad una rotazione dell'orbita attorno all'asse z. Quindi è la variabile coniugata ad .

Lo stesso ragionamento applicato all'integrale c conduce a scegliere e ad individuare come variabile angolo coniugata l'argomento del pericentro ; infatti

indica che la hamiltoniana è invariante rispetto a rotazioni nel piano orbitale, cioè con asse C. Tali rotazioni sono realizzate traslando lungo l'asse , cioè ruotando l'ellisse con direzione del pericentro controllata da .

Resta da identificare la coppia di variabili azione-angolo . La hamiltoniana come funzione delle variabili azione-angolo non soltanto non dipende dalle , ma dipende soltanto da : infatti ed sono costanti, e le relative frequenze proprie sono nulle:

Allora la frequenza propria  relativa all'angolo sarà

ed il periodo dell'orbita periodica sarà . Qui n=n(E) è il moto medio , la cui dipendenza dal semiasse maggiore - e quindi anche dall'energia - ci è nota dalla terza legge di Keplero :

Eguagliando queste due espressioni di n, si ottiene l'equazione differenziale a variabili separabili per la funzione

la cui soluzione è

Quanto alla variabile , sappiamo solo che è un angolo e che cambia con il tempo in modo lineare, con frequenza n; poiché possiamo scegliere un'origine arbitraria sull'asse , possiamo imporre che coincida con l'anomalia media  , un angolo che coincide con l'anomalia vera  al pericentro (cioè quando vale 0, e per ragioni di simmetria anche quando vale ) ma che cambia linearmente con il tempo, in modo da avere lo stesso periodo.

In conclusione si possono costruire come variabili azione-angolo del problema dei tre corpi gravitazionale le variabili di Delaunay  , le cui espressioni in funzione degli elementi orbitali sono le seguenti: