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3.7 INSIEMI LIMITE

 

Sommario Le soluzioni che non `escono' dall'insieme di definizione del campo vettoriale sono definite per ogni t in tex2html_wrap_inline34960 , ma non sempre tendono ad un punto limite: i valori limite possono formare degli insiemi limite non banali. Però non tutti gli insiemi possono essere insiemi limite, perché devono soddisfare alcune proprietà topologiche.

Il teorema della continuazione delle soluzioni  assicura che una soluzione  di un sistema dinamico continuo, definito (e di classe tex2html_wrap_inline34382 ) su di un aperto tex2html_wrap_inline34372 , o è definita per ogni t abbastanza grande, oppure esce definitivamente per tex2html_wrap_inline35282 da ogni compatto  tex2html_wrap_inline38918 . Analogamente per tex2html_wrap_inline35280 . Supponiamo che una certa soluzione X(t) resti sempre dentro un compatto tex2html_wrap_inline38918 ; dunque possiamo assumere che essa sia un'orbita , cioè sia definita per ogni t in tex2html_wrap_inline34960 ; ma allora tutte le successioni di punti tex2html_wrap_inline37662 con tex2html_wrap_inline37640 devono avere delle sottosuccessioni convergenti, cioè devono esistere dei valori limite della funzione X(t) per tex2html_wrap_inline35282 (lo stesso per tex2html_wrap_inline35280 ).

L'insieme dei valori limite di un'orbita non cambia se si sceglie una diversa condizione iniziale tex2html_wrap_inline37064 che si trova lungo la stessa traiettoria : tex2html_wrap_inline38942 per qualche tex2html_wrap_inline38944 in tex2html_wrap_inline34960 , poiché se Y(t) è l'orbita con condizione iniziale tex2html_wrap_inline37064 , allora per l'unicità della soluzione con condizione iniziale data tex2html_wrap_inline38952 .

Definizione:

Teorema di invarianza degli insiemi limite :  Dato un sistema dinamico continuo su W aperto di tex2html_wrap_inline34458 , se L è l'insieme tex2html_wrap_inline35724 -limite di una soluzione tex2html_wrap_inline38980 , allora:

Gli insiemi tex2html_wrap_inline38808 -limite hanno le stesse proprietà (a), (b) e (c).

Dimostrazione:

 C.D.D.

Benché il teorema che precede indichi delle proprietà importanti, tuttavia queste non sono sufficienti a caratterizzare gli insieme limite: si possono costruire degli insiemi chiusi, invarianti ed anche connessi che non possono essere insieme limite di alcun sistema dinamico. La ricerca di una caratterizzazione degli insieme limite è molto difficile, e una soluzione completa di questo problema si può dare solo in tex2html_wrap_inline34458 con tex2html_wrap_inline39110 , come si vedrà nella Sezione 3.8.

Possiamo ora svolgere la dimostrazione   che avevamo lasciato in sospeso nella Sezione 3.4, cioè quella del teorema della funzione di Lyapounov decrescente , che era stata differita proprio per poter utilizzare la nozione di insieme limite:

Dimostrazione:

 C.D.D.

  figure6823
Figure 3.13:  Orbita periodica che funge da ciclo limite

Orbite periodiche

Definizione:

Un punto di equilibrio ha ``periodo zero'' e non è considerato un'orbita periodica.

Per le orbite periodiche ogni punto della traiettoria  è un valore limite:

displaymath39168

quindi l'insieme tex2html_wrap_inline35724 -limite  coincide con la traiettoria, e così l'insieme tex2html_wrap_inline38808 -limite .

L'insieme dei punti percorsi da un'orbita periodica può anche fungere da insieme tex2html_wrap_inline35724 -limite (oppure tex2html_wrap_inline38808 -limite) per un'orbita diversa; in tal caso si parla di ciclo limite  , come nell'esempio nella Figura 3.13.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997