next up previous contents index
Next: 3.4 SISTEMI NEWTONIANI Up: 3 TEORIA QUALITATIVA Previous: 3.2 POZZI E SORGENTI

3.3 FUNZIONI DI LYAPOUNOV

 

Sommario La stabilità di un punto di equilibrio può essere determinata mediante le proprietà di una funzione di Lyapounov, che generalizza le proprietà della distanza nell'intorno di un pozzo e dell'energia in un sistema dissipativo.

Derivata totale

Consideriamo un sistema dinamico continuo

displaymath34374

con il campo vettoriale F definito e tex2html_wrap_inline34382 su di un aperto tex2html_wrap_inline34372 .

Definizione:

La derivata totale esprime la variazione nel tempo di una funzione, e può essere utilizzata sia per calcoli quantitativi che per studiare le proprietà qualitative come la stabilità.

Il metodo della funzione di Lyapounov

Definizione:

Esempio:

Teorema di stabilità di Lyapounov :  Se il punto di equilibrio tex2html_wrap_inline36814 possiede, in un intorno U, una funzione di Lyapounov V(X), allora è stabile . Se inoltre esiste un intorno U di tex2html_wrap_inline36814 in cui vale anche:

(c)
tex2html_wrap_inline37570 per ogni X in U escluso tex2html_wrap_inline36814

allora tex2html_wrap_inline36814 è anche asintoticamente stabile .

Se valgono (b) e (c) si parla di funzione di Lyapounov stretta  .

Dimostrazione:

 C.D.D.

Esempio:

Esercizio Studiare la stabilità dell'origine per il sistema

displaymath37510

(Soluzione)

Il teorema di stabilità di Lyapounov consente di trarre delle conclusioni sulla stabilità senza conoscere esplicitamente le soluzioni. D'altro canto non esiste un procedimento automatico valido in tutti i casi per fabbricare le funzioni di Lyapounov, a parte il caso dei pozzi in cui il comportamento qualitativo è già noto. Le funzioni di Lyapounov sono spesso suggerite dall'interpretazione fisica del sistema dinamico, per esempio in termini di energia .


next up previous contents index
Next: 3.4 SISTEMI NEWTONIANI Up: 3 TEORIA QUALITATIVA Previous: 3.2 POZZI E SORGENTI

Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997