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6.3 VINCOLI E COORDINATE LAGRANGIANE

 

Sommario Molti sistemi meccanici hanno degli spazi delle configurazioni che non sono aperti di tex2html_wrap_inline35884 , ma che possono essere descritti da carte locali con coordinate in tex2html_wrap_inline35884 . Questo si verifica per i moti vincolati di sistemi composti da più corpi puntiformi, o anche da sistemi estesi rigidi o parzialmente rigidi. Le equazioni di Lagrange e di Hamilton possono essere ugualmente impiegate per descrivere la dinamica, in ciascuna carta locale; le proprietà globali delle soluzioni possono però richiedere uno studio attento delle proprietà globali dello spazio delle configurazioni.

Vincoli olonomi

Lo spazio delle configurazioni  a cui appartiene il vettore di stato X di un sistema meccanico può essere definito come sottoinsieme di uno spazio tex2html_wrap_inline35884 per mezzo di condizioni o vincoli  , espressi da equazioni di varia natura. I vincoli espressi in modo indipendente dal tempo con equazioni del tipo f(X)=0, con f una funzione differenziabile, si chiamano vincoli olonomi  .

Il caso più semplice è quello in cui il sistema consiste di n corpi puntiformi , ciascuno con posizione tex2html_wrap_inline39320 e massa tex2html_wrap_inline42864 . Allora tex2html_wrap_inline43428 è il vettore di stato, che esprime la posizione di tutti i corpi. Gli n corpi avranno un moto vincolato   se la loro posizione è sottoposta a condizioni della forma

displaymath43432

l'esempio più ovvio è quello in cui le distanze tra alcuni dei punti sono fisse, oppure alcuni dei punti sono fissi.

Esempio:

Esempio:

Se i due punti sono di massa uguale, e si considera che non ci sia modo di distinguerli, allora lo spazio delle configurazioni è il quoziente di tex2html_wrap_inline43440 per le identificazioni dei punti antipodali sulla sfera, quindi è il prodotto del piano proiettivo per tex2html_wrap_inline40050 , e non può essere una sottovarietà di tex2html_wrap_inline43446 (ma può essere immerso in tex2html_wrap_inline43448 ). Capita spesso che i sistemi con identificazioni, in cui si passa al quoziente rispetto a qualche simmetria, siano geometricamente più complessi.

Esempio:

Esempio:

In tutti questi casi, e anche in molti altri, lo spazio delle configurazioni può essere descritto da vincoli olonomi, ossia come l'insieme degli tex2html_wrap_inline43460 tale che

displaymath43462

dove tex2html_wrap_inline43464 è un'applicazione di classe tex2html_wrap_inline34798 . Per il teorema delle funzioni implicite , se la matrice jacobiana tex2html_wrap_inline43468 ha rango g in un punto tex2html_wrap_inline43472 , allora esiste un'applicazione di classe tex2html_wrap_inline34798

eqnarray15393

definita in un intorno opportuno W di tex2html_wrap_inline43478 in tex2html_wrap_inline43480 tale che

displaymath43482

l'insieme (s-g)-dimensionale dei punti che rispettano il vincolo è così parametrizzato in modo surgettivo.

In altre parole, il teorema delle funzioni implicite assicura che se i vincoli sono funzionalmente indipendenti  , cioè con gradienti linearmente indipendenti, in un punto tex2html_wrap_inline43472 , allora esiste una carta locale dello spazio delle configurazioni -che copre tutti e soli i punti che rispettano il vincolo, in un intorno di tex2html_wrap_inline43472 - con un numero di coordinate Q pari alla differenza fra la dimensione dello spazio ambiente ed il numero di vincoli. Le variabili Q si chiamano coordinate lagrangiane  .

Le coordinate lagrangiane sono definite da una carta locale, ma per coprire l'intero spazio delle configurazioni, che in è dotato di una struttura di varietà differenziabile , occorrono di solito più carte locali: tra due sistemi di coordinate lagrangiane esistono dei cambiamenti di coordinate che sono diffeomorfismi, della stessa classe di differenziabilità delle equazioni di vincolo, nelle nostre ipotesi di classe tex2html_wrap_inline34798 .

Supponiamo ora che la forza agente sul sistema possa essere decomposta nella somma di una forza derivante da un campo conservativo con energia potenziale tex2html_wrap_inline43496 e di una forza derivante dalle reazioni vincolari  , che costringono il moto a rispettare i vincoli. Supponiamo inoltre che vi siano dei vincoli lisci  , cioè le componenti delle reazioni vincolari in direzioni tangenti al vincolo siano nulle. Allora, se tex2html_wrap_inline43498 è l'energia cinetica, il moto del sistema potrà essere studiato, nel senso che sarà precisato di seguito, per mezzo della funzione di Lagrange

displaymath43500

Se una curva X(t) rispetta il vincolo tex2html_wrap_inline43504 , allora la sua velocità soddisfa le condizioni che si ottengono derivando rispetto al tempo questa equazione, cioè

displaymath43506

perciò in ogni punto dello spazio delle configurazioni la velocità è perpendicolare ai gradienti tex2html_wrap_inline43508 delle funzioni vincolari tex2html_wrap_inline43510 . Lo spazio vettoriale dei vettori che rispettano questa condizione ha dimensione s-g=b e si chiama spazio tangente  alla varietà dei vincoli nel punto dato.

Derivando ancora una volta rispetto al tempo, si possono determinare quali reazioni vincolari sono necessarie per mantenere una soluzione X(t) soddisfacente ai vincoli:

displaymath43516

Questa relazione, per la condizione di perpendicolarità appena vista, coinvolge solamente le componenti dell'accelerazione tex2html_wrap_inline43518 che si trovano nello spazio normale (dei vettori perpendicolari allo spazio tangente). Ne segue che reazioni vincolari perpendicolari allo spazio tangente sono sufficienti a garantire il rispetto del vincolo, e le equazioni di moto saranno della forma

displaymath43520

dove K è la parte dell'accelerazione dovuta alla forza esterna (perciò derivata dall'energia potenziale V(X)), mentre la parte perpendicolare allo spazio tangente contiene i moltiplicatori di Lagrange   arbitrari tex2html_wrap_inline43526 .

Esempio:

L'ipotesi che i moltiplicatori di Lagrange possano assumere valori arbitrariamente grandi - quindi che le reazioni vincolari possano essere di intensità arbitrariamente grande - corrisponde all'idea di un vincolo di rigidità infinita e capace di resistere ad ogni sforzo. È evidentemente un'astrazione che poco ha a che fare con il comportamento reale di rotaie ... e simili. Come si vede dall'equazione per tex2html_wrap_inline43556 , per velocità tex2html_wrap_inline43558 troppo grandi le reazioni vincolari saranno troppo grandi rispetto alle proprietà di materiali reali, e il modello dei moti vincolati non sarà applicabile.

Moti vincolati

Vogliamo trovare le equazioni di moto di un sistema vincolato, con vincoli olonomi  e lisci . A questo scopo possiamo utilizzare la carta locale X=X(Q), la cui esistenza è garantita dal teorema delle funzioni implicite. È utile ricordare un' altro aspetto di questo teorema: poiché la carta locale parametrizza lo spazio delle configurazioni, se tex2html_wrap_inline43562 sono i vincoli, allora tex2html_wrap_inline43564 , e derivando rispetto alle coordinate lagrangiane Q

displaymath43568

si ottiene la matrice zero. Considerando il prodotto di due matrici riga per colonna contenuto nella formula precedente, ogni coefficiente zero nella matrice nulla indica una relazione di ortogonalità tra il gradiente di una delle equazioni di vincolo e la velocità rispetto ad una delle coordinate lagrangiane:

displaymath43570

Il teorema delle funzioni implicite assicura anche che la matrice jacobiana della carta locale tex2html_wrap_inline43034 ha rango massimo b, quindi i vettori tex2html_wrap_inline43576 sono una base dello spazio tangente. Questo è il punto critico nella dimostrazione che è possibile utilizzare il formalismo lagrangiano per i moti vincolati (se i vincoli sono lisci).

Teorema dei moti vincolati :  Siano tex2html_wrap_inline43498 l'energia cinetica e tex2html_wrap_inline43496 l'energia potenziale (entrambe di classe tex2html_wrap_inline34798 ) di un sistema descritto dal vettore di stato tex2html_wrap_inline43460 e soggetto alla condizione tex2html_wrap_inline43562 , dove tex2html_wrap_inline43588 (di classe tex2html_wrap_inline34798 ) esprime g vincoli funzionalmente indipendenti in ogni punto dello spazio delle configurazioni.

Se tex2html_wrap_inline43594 sono le coordinate lagrangiane di una carta locale, allora le equazioni di Lagrange sull'insieme W:

displaymath43598

sono equivalenti all'ipotesi che il moto X(t) ha accelerazione dovuta solo alle forze esterne con energia potenziale tex2html_wrap_inline43602 lungo lo spazio tangente, e subisce reazioni vincolari  arbitrarie, ma nulle nelle direzioni tangenti, in modo da mantenere tutti i vincoli.

Dimostrazione:

 C.D.D.

Le equazioni di Lagrange per le Q sono in numero minore, quindi rappresentano delle condizioni più deboli delle equazioni di Lagrange per le X. Se però supponiamo che il moto sia vincolato, in modo che i soli valori possibili per le X siano quelli che si ottengono come immagine delle Q tramite l'applicazione X=X(Q), allora le equazioni nelle Q sono sufficienti a descrivere il moto. Le equazioni ``mancanti'' descrivono le reazioni vincolari.

Esempio:

I due poli tex2html_wrap_inline43720 della sfera nell'esempio qua sopra illustrano un problema che si incontra spesso nella soluzione di problemi lagrangiani: la presenza di singolarità isolate   nel sistema di coordinate lagrangiane, cioè punti dello spazio delle configurazioni per i quali le coordinate usate non sono lagrangiane, non sono una carta locale. La parola ``isolate'' va intesa nel senso topologico, cioè esiste un intorno di ciascuno di questi punti di singolarità in cui non ce ne sono altri. A questi punti non si può applicare il teorema dei moti vincolati , perché cade o l'ipotesi di differenziabilità, o quella che la matrice jacobiana della carta ha rango massimo, o addirittura la carta locale non è definita. Però se questi punti singolari sono topologicamente isolati, non è necessario trovare un'altra carta che li contiene, basta sapere che esiste. Perciò una soluzione dell'equazione di Lagrange, valida in tutti i punti tranne che nelle singolarità isolate, potrà passare per una di queste ed il comportamento della soluzione nel momento di questo passaggio (per esempio, la velocità) sarà unicamente determinato per continuità.

Così per esempio il punto sulla sfera con tex2html_wrap_inline43738 , essendo un punto di minimo del potenziale, sarà un punto di equilibrio stabile per il teorema di stabilità del minimo , anche se le equazioni di Lagrange calcolate qua sopra non valgono in quel punto. Per il teorema delle funzioni implicite  la sfera è una superficie regolare in ogni suo punto, quindi attorno ai poli esiste un'altra carta in cui si possono scrivere equazioni di Lagrange che hanno soluzioni sufficientemente regolari (per esempio, tex2html_wrap_inline34798 rispetto al tempo), il che rende legittimo completare per continuità le soluzioni mentre passano dalle singolarità.

Problema Un pendolo doppio   è un sistema di due corpi puntiformi tex2html_wrap_inline43742 di masse tex2html_wrap_inline43744 , di cui il primo è ad una distanza fissa da un centro fisso, il secondo ad una distanza fissa dal primo:

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Limitiamoci a considerare un pendolo doppio piano:

displaymath43748

Lo spazio delle configurazioni è il toro  tex2html_wrap_inline39644 , parametrizzato da due variabili angolo tex2html_wrap_inline43752 con

displaymath43754

sia nel caso di un moto libero (senza forze esterne), sia nel caso in cui l'energia potenziale deriva da un'accelerazione costante in direzione -y, cioè

displaymath43758

Scrivere la lagrangiana e la hamiltoniana, e determinare le eventuali posizioni di equilibrio. Nel caso dell'accelerazione costante dimostrare che la posizione tex2html_wrap_inline43760 è un punto di equilibrio stabile.

Suggerimento: Nel caso con accelerazione costante, il minimo assoluto dell'energia potenziale si ha quando sia tex2html_wrap_inline43762 che tex2html_wrap_inline43764 sono minimi; in tale posizione l'energia è minima, e per il teorema di stabilità di Lyapounov , o meglio per la sua diretta conseguenza, il teorema di stabilità del minimo , si deve avere un punto di equilibrio stabile; il fatto che il punto di minimo sia una delle singolarità isolate  non importa.

(Soluzione)

Problema Sia dato un disco di massa m e raggio R, libero di ruotare attorno ad un asse perpendicolare al centro Q; il momento d'inerzia  è tex2html_wrap_inline43772 ; supponiamo che il centro del disco sia libero di muoversi in un piano verticale, ma ad una distanza costante tex2html_wrap_inline36562 da un punto fisso O. Lo spazio delle configurazioni è un toro, parametrizzato con l'angolo tex2html_wrap_inline35456 formato dalla congiungente OQ con la verticale, e dalla fase di rotazione del disco. Mostrare che

(I)
nel caso in cui non ci siano forze esterne il sistema descrive un qualsiasi flusso di Kronecker ;
(II)
in presenza di accelerazione di gravità costante g, il moto è descrivibile come prodotto cartesiano del moto di un pendolo nonlineare e di un rotore libero ;
(III)
in presenza di una qualsiasi forza esterna, con energia potenziale funzione soltanto di tex2html_wrap_inline35456 , il sistema è integrabile.

Il problema qua sopra, l'esempio che lo precede, ed un problema nella Sezione 6.6, forniscono 5 diversi sistemi lagrangiani aventi un toro per spazio delle configurazioni; di questi, 4 sono integrabili.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997