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3.5 GRADIENTI

 

Sommario Se un campo vettoriale F è il gradiente di una funzione -U, il sistema dinamico definito da F ammette U come funzione di Lyapounov globale, e si possono calcolare esplicitamente tutti i bacini di attrazione. Per i sistemi dinamici gradiente è particolarmente semplice, nella maggior parte dei casi, discutere l'esistenza delle soluzioni per ogni tex2html_wrap_inline34368 , i punti limite e la stabilità degli equilibri.

Definizione:

Il campo vettoriale tex2html_wrap_inline38258 è perpendicolare in ogni punto alle superfici di livello U(X)=cost (per il teorema delle funzioni implicite , e si annulla solo nei punti stazionari della funzione U, che sono anche punti di equilibrio per il sistema dinamico gradiente. La stabilità di questi punti di equilibrio può essere studiata utilizzando sia il metodo della funzione di Lyapounov che quello della linearizzazione nei punti di equilibrio.

Il potenziale come funzione di Lyapounov

Un sistema dinamico gradiente è dotato in modo naturale di funzioni di Lyapounov, che sono semplicemente L(X)=U(X)+const. Infatti la derivata totale

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e si annulla solo nei punti di equilibrio. Perciò ogni punto S di minimo locale forte  per U(X) è un punto di equilibrio asintoticamente stabile per il sistema dinamico gradiente, con funzione di Lyapounov stretta  U(X)-U(S). La disponibilità di una funzione di Lyapounov ``globale'' consente di ottenere conclusioni molto precise anche sui limiti e sui bacini di attrazione:

Teorema dei punti limite di un sistema gradiente :  Sia X(t) una soluzione del sistema gradiente tex2html_wrap_inline38278 definito sull'aperto W, tale da mantenersi per ogni t>0 dentro un compatto  K contenuto in W. Supponiamo inoltre che i punti di equilibrio del sistema dinamico (cioè i punti stazionari di U) siano isolati. Allora il limite per tex2html_wrap_inline35282 della soluzione X(t) esiste, ed è un punto stazionario di U(X).

Dimostrazione:

 C.D.D.

Poiché la funzione di Lyapounov U(X)+const è globale, cioè vale su tutto l'insieme W su cui è definito il sistema dinamico, è possibile dare delle descrizioni globali dei bacini di attrazione in termini dei valori di U. Supponiamo per esempio che S sia un punto di minimo locale forte (quindi isolato) per U, e che U(S)=c sia il valore di questo minimo: allora per ogni tex2html_wrap_inline38334 l'insieme

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è un intorno di S, e per tex2html_wrap_inline38340 abbastanza piccolo la sua componente connessa Z contenente S, non conterrà altri punti stazionari. Allora Z è positivamente invariante, ed è contenuto nel bacino  del punto asintoticamente stabile S. Per esempio in dimensione 2, se supponiamo che tutti i punti stazionari di U siano non degeneri (la matrice hessiana non abbia autovalore 0), allora ci sono solo tre tipi di punto stazionario: i minimi (locali forti), i massimi (locali forti), ed i punti di sella. Per trovare i bacini di attrazione dei punti di minimo basta quindi tracciare le curve di livello tex2html_wrap_inline38352 dove tex2html_wrap_inline38354 sono i valori di U corrispondenti ai punti di sella: gli aperti connessi delimitati da queste curve di livello e contenenti i minimi sono contenuti nei bacini di attrazione,

Esempio:

Problema Nell'esempio precedente, dimostrare che le soluzioni con condizioni iniziali tex2html_wrap_inline38378 hanno il punto di sella (0,0) come punto limite per tex2html_wrap_inline35282 , mentre tutte le soluzioni con condizioni iniziali tex2html_wrap_inline34888 con tex2html_wrap_inline35284 appartengono ai bacini dei due minimi.

Punti stazionari ed hessiani

Un'altra proprietà caratteristica dei sistemi dinamici gradienti è che i sistemi linearizzati nei punti di equilibrio sono descritti da matrici simmetriche; infatti se tex2html_wrap_inline38392 , ed tex2html_wrap_inline38394 :

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e se il campo vettoriale gradiente F(X), è di classe tex2html_wrap_inline34382 , la funzione U è di classe tex2html_wrap_inline34798 e, per il teorema delle derivate miste , le derivate seconde non dipendono dall'ordine di derivazione; quindi il sistema linearizzato ha come matrice meno la matrice hessiana delle derivate seconde, che è simmetrica:

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Per il teorema di diagonalizzazione delle forme quadratiche  gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali, quindi coincidono con gli esponenti di Lyapounov  del sistema linearizzato nel punto stazionario. Perciò si ha un pozzo  dove la matrice hessiana è definita positiva (cioè quando U ha un minimo), ed una sorgente  dove U ha un massimo. In tutti i casi in cui esistono autovalori con segni discordi si ha una situazione come quella della sella , cioè un punto stazionario per U che non è un estremo ha un bacino , ma non è interno al suo bacino.

Problema Consideriamo i sistemi dinamici gradiente in tex2html_wrap_inline34636 :

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dove Q(x,y) è una forma quadratica non degenere. Dimostrare che possono avere un solo punto singolare, e che questo può essere soltanto del tipo nodo o sella, ma né centro, né fuoco, né nodo improprio.

Esercizio Studiare il sistema

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(Soluzione)


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997