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9.1 ESPONENTI DI LYAPOUNOV

 

Sommario Gli esponenti di Lyapounov misurano il ritmo esponenziale di divergenza di orbite con condizioni iniziali vicine, generalizzando la definizione data nel caso dei punti di equilibrio. Nei sistemi hamiltoniani integrabili gli esponenti di Lyapounov sono zero. Se ci sono esponenti di Lyapounov positivi, anche le integrazioni numeriche accumulano l'errore di discretizzazione in modo esponenziale, e non possono essere impiegate per predire in modo affidabile l'evoluzione a lungo termine delle orbite.

Definizione generale

Per ogni orbita di un sistema dinamico che risolve il problema alle condizioni iniziali

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l'equazione alle variazioni  è un'equazione differenziale lineare dipendente dal tempo, la cui soluzione è la matrice jacobiana del flusso integrale (che esiste per il teorema di differenziabilità del flusso :

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La matrice tex2html_wrap_inline49336 , soluzione di tale problema alle condizioni iniziali qua sopra, è anche la matrice associata al flusso integrale (lineare) dell'equazione alle variazioni, nel senso che la soluzione del problema alle condizioni iniziali

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con tex2html_wrap_inline49396 può essere espressa come

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È quindi naturale chiedersi quale sarà il comportamento delle soluzioni V(t) per tex2html_wrap_inline35282 ; se interpretiamo l'equazione alle variazioni come l'equazione del moto relativo linearizzata (vedi Sezione 8.6), la soluzione V(t) descrive (al primo ordine in |V(t)| )come la soluzione con condizione iniziale tex2html_wrap_inline49408 si allontana nel tempo da quella di riferimento (con condizione iniziale tex2html_wrap_inline34452 ).

Definizione:

Esempio:

Problema Supponiamo che X(t) sia un'orbita periodica  di periodo P. Allora la matrice di monodromia  tex2html_wrap_inline49468 contiene tutte le informazioni sugli esponenti di Lyapounov: mostrare che, se tex2html_wrap_inline49470 sono gli autovalori di L, allora gli esponenti di Lyapounov dell'orbita X(t) sono tex2html_wrap_inline49476 .

Esempio:

Benché questi esempi siano importanti, la definizione di esponente di Lyapounov è più generale e vale per orbite qualsiasi, anche in corrispondenza di comportamenti molti complicati degli autospazi di A(t). Non è detto che per ogni condizione iniziale tex2html_wrap_inline34452 esistano degli esponenti di Lyapounov. Prima di tutto occorre che tex2html_wrap_inline34452 appartenga ad un'orbita , altrimenti il limite per tex2html_wrap_inline35282 non avrebbe senso; ma anche per le orbite può accadere che i limiti che definiscono gli esponenti non siano convergenti.

Caso integrabile

Consideriamo un sistema dinamico conservativo, per esempio sotto forma di equazioni di Hamilton :

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L'equazione alle variazioni ha in questo caso la forma particolare

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dove la matrice hessiana della funzione di Hamilton è calcolata lungo la soluzione di riferimento. Per il teorema del flusso canonico , la soluzione tex2html_wrap_inline49336 è una matrice simplettica  per ogni t, quindi (per il teorema di Liouville ) ammette sempre coppie di autovalori del tipo tex2html_wrap_inline49504 .

Esempio:

Si può dimostrare che la proprietà descritta in questo esempio, cioè di avere per ogni esponente di Lyapounov positivo anche il corrispondente negativo (e viceversa), vale per ogni orbita di un sistema hamiltoniano. Perciò ci sono soltanto due casi: o gli esponenti di Lyapounov sono tutti nulli, oppure ce ne sono sia di positivi che di negativi. Nel secondo caso esiste almeno una direzione tex2html_wrap_inline49416 tale che un piccolo cambiamento nelle condizioni iniziali porta ad una crescita esponenziale della distanza tra le due orbite, cioè ad una dipendenza critica dalla condizione iniziale  .

Teorema del moto ordinato :  Se un sistema dinamico hamiltoniano è integrabile , allora non c'è dipendenza critica dalla condizione iniziale, nel senso che tutti gli esponenti di Lyapounov sono zero.

In effetti dimostreremo che per ogni condizione iniziale tex2html_wrap_inline44184 e per ogni vettore variazione iniziale tex2html_wrap_inline49514 esiste ed è sempre zero il limite che definisce l'esponente di Lyapounov.

Dimostrazione:

 C.D.D.

In effetti gli esponenti di Lyapounov non dipendono affatto dal sistema di coordinate usato, almeno finché il problema è circoscritto ad un insieme compatto.

Esponenti di Lyapounov e integrazione numerica

Se il sistema dinamico non è integrabile, per calcolare le soluzioni si può ricorrere a qualche forma di approssimazione: per esempio all'integrazione numerica, usando uno dei molti metodi disponibili (tra cui quelli discussi nella Sezione 4.4). Il problema è che l'errore di troncamento accumulato  cresce con il tempo, fino a rendere l'approssimazione discreta completamente differente dalla soluzione del sistema dinamico continuo.

Nel caso più semplice del metodo di Eulero , il teorema della convergenza del metodo di Eulero  fornisce una stima dell'errore accumulato che presenta una crescita esponenziale con il tempo, con esponente dipendente dalla costante di Lipschitz  del secondo membro.

Per altri metodi di integrazione più accurati, il termine costante che moltiplica l'esponenziale potrà essere molto più piccolo, ma rimane la divergenza dell'andamento esponenziale nel tempo della stima.

Una giustificazione per questo cattivo comportamento delle approssimazioni numeriche può essere trovata nel teorema della continuità del flusso  (che a sua volta discende dalla diseguaglianza di Gronwall ), per il quale la crescita della distanza tra due orbite con condizioni iniziali diverse è sempre stimata da un'esponenziale nel tempo, con esponente contenente la costante di Lipschitz. In effetti il teorema di continuità fornisce una maggiorazione degli esponenti di Lyapounov. Di conseguenza, che nessun metodo di integrazione numerica può evitare di accumulare l'errore in modo esponenziale, quando viene applicato ad un sistema dinamico con esponenti di Lyapounov positivi: supponiamo, come caso limite, che il metodo di discretizzazione commetta un errore di modulo tex2html_wrap_inline38340 molto piccolo al primo passo; se anche nei passi successivi l'errore di troncamento locale  fosse nullo, sarebbe sufficiente seguire una nuova orbita con condizioni iniziali differenti di tex2html_wrap_inline38340 dalle precedenti, per ottenere una differenza accumulata crescente come tex2html_wrap_inline49586 , dove tex2html_wrap_inline37070 è un esponente di Lyapounov positivo.

Possiamo concludere che un'integrazione numerica dovrebbe sempre essere accompagnata da una stima degli esponenti di Lyapounov. Se alcuni di questi risultano positivi, l'integrazione numerica non potrà in nessun caso essere attendibile dopo un tempo di propagazione pari a molte volte il tempo di Lyapounov   tex2html_wrap_inline49590 , dove tex2html_wrap_inline37070 è il massimo degli esponenti di Lyapounov (si noti che la dimensione degli esponenti di Lyapounov è tex2html_wrap_inline49594 ). Per esempio, dopo un tempo tex2html_wrap_inline49596 , l'effetto di ogni piccolo errore nelle condizioni iniziali, e l'errore di troncamento accumulato, crescono di un fattore tex2html_wrap_inline49598 . Perciò occorre stimare almeno il massimo degli esponenti di Lyapounov.

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Figure 9.1:  Andamento della lunghezza di un vettore variazione, soluzione dell'equazione alle variazioni con condizione iniziale scelta a caso, per l'asteroide (522) Helga; da un'integrazione numerica, con un metodo di ordine molto elevato, dell'equazione del problema dei 6 corpi (Sole, 4 pianeti, asteroide). Il tempo di Lyapounov, in cui due orbite divergono di un fattore exp(1), è circa 7000 anni.

In linea di principio, non è possibile calcolare esattamente il valore del massimo esponente di Lyapounov per un'orbita di un sistema non integrabile , perché la definizione richiede di calcolare un limite per tex2html_wrap_inline35282 . Il metodo più semplice per ottenere una stima temporanea del valore del massimo esponente di Lyapounov è il seguente: si sceglie un qualunque vettore variazione iniziale tex2html_wrap_inline49416 , (si può supporre tex2html_wrap_inline49606 ), e si calcola la soluzione dell'equazione alle variazioni con condizione iniziale tex2html_wrap_inline49416 , usando lo stesso metodo di integrazione numerica usato per le equazioni di moto. Quindi si studia l'andamento della funzione tex2html_wrap_inline49610 ; se esso indica un asintoto, la pendenza dell'asintoto indica un valore stimato del massimo esponente di Lyapounov.

Se viene individuato un esponente di Lyapounov positivo, non ha senso utilizzare le specifiche predizioni contenute nella soluzione calcolata per tempi molto più lunghi di qualche decina di tempi di Lyapounov; non si conosce alcun metodo per formulare una predizione attendibile, se non in senso statistico. Se al contrario la curva tex2html_wrap_inline49610 ha una pendenza che tende a zero, ha senso continuare l'integrazione numerica, e le predizioni che essa fornisce sono utilizzabili in senso deterministico.

Come esempio di questa procedura, mostriamo nella Figura 9.1 il caso di un asteroide, la cui orbita mostra dipendenza critica dalle condizioni iniziali con un esponente di Lyapounov relativamente grande (rispetto alle scale di tempo in gioco) tex2html_wrap_inline49614 [Milani-Nobili 92].


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997