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4.2 METODO DI EULERO

 

Sommario Il più semplice procedimento per approssimare un sistema dinamico continuo con uno discreto è quello di Eulero. Le soluzioni del sistema discreto così ottenuto approssimano le soluzioni del sistema continuo, in un senso che può essere reso rigoroso con la nozione di convergenza uniforme. La differenza tra le due, cioè l'errore di discretizzazione, è una funzione rapidamente crescente con il passo, per cui la potenza di calcolo richiesta per ottenere soluzioni accurate è notevole.

Metodo di Eulero nel caso lineare

Come è noto, una definizione alternativa della funzione esponenziale di variabile reale è:

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L'analogo matriciale è già stato esaminato come Problema 2.2: se A è una matrice quadrata tex2html_wrap_inline34586 :

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per ogni t in tex2html_wrap_inline34960 . Ripetendo l'argomento della soluzione del problema, si trova (sostituendo tex2html_wrap_inline40156 al posto di A) la maggiorazione

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Nel caso scalare la successione converge uniformemente  sull'intervallo [-t,t], con t arbitrario (ma fissato). Ma allora, utilizzando il teorema della convergenza in norma , anche la definizione alternativa di esponenziale nel caso matriciale converge uniformemente su [-t,t]. Da questo segue (per la proprietà (2.4) della norma uniforme ) che

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uniformemente per t in ogni intervallo limitato. L'aspetto interessante di questa formula è che al primo membro abbiamo il flusso integrale di un sistema dinamico continuo lineare; a secondo membro sotto segno di limite abbiamo l'analoga rappresentazione di tutte le soluzioni (in funzione della condizione iniziale  tex2html_wrap_inline34452 ) di un sistema dinamico discreto lineare, e precisamente

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La relazione tra il sistema dinamico continuo e quello discreto ottenuta qua sopra è un caso particolare (lineare) del metodo di Eulero . La motivazione geometrica dell'approssimazione di Eulero può essere apprezzata dalla Figura 4.3. Se si deve calcolare la soluzione con condizione iniziale tex2html_wrap_inline34454 al tempo tex2html_wrap_inline40178 , si suddivide l'intervallo tex2html_wrap_inline40180 in cui varia t in m sottointervalli, ciascuno di lunghezza pari al passo d'integrazione   tex2html_wrap_inline40186 , con m abbastanza grande. Allora si approssima tex2html_wrap_inline40190 con tex2html_wrap_inline40192 , tex2html_wrap_inline40194 con tex2html_wrap_inline40196 , eccetera, ad ogni passo rimpiazzando la vera soluzione con la sua approssimazione lineare (cioè con il suo differenziale).

Benché nel sistema dinamico discreto appaiano solo i punti che approssimano la soluzione ai tempi tex2html_wrap_inline40198 con k intero, si può immaginare di descrivere un'approssimazione per tutti i tempi tex2html_wrap_inline40202 usando l'interpolazione lineare (cioè ancora lo stesso differenziale) per i punti intermedi. Il poligono di Eulero   ottenuto congiungendo i punti tex2html_wrap_inline40204 è il grafico di una funzione di t che è continua ma non differenziabile, e che approssima la soluzione nel senso che la successione di poligoni di Eulero ottenuti per m crescente tende alla soluzione del sistema dinamico continuo, uniformemente su tex2html_wrap_inline40180 .

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Figure 4.3:  Il poligono di Eulero: ad ogni passo temporale si approssima la soluzione del sistema dinamico continuo con il suo differenziale nel punto precedentemente calcolato; in questo esempio la soluzione dell'equazione y'=y è approssimata con il metodo di Eulero usando 2,4,6 ed 8 passi.

L'errore di troncamento locale   commesso in un passo di lunghezza h>0 del metodo di Eulero al posto della soluzione esatta si può maggiorare usando il confronto in norma con l'esponenziale:

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dove a=||A|| e tex2html_wrap_inline40218 ; il penultimo passaggio è il resto di Lagrange della formula di Taylor per la funzione esponenziale di variabile reale.

Al contrario l'errore di troncamento accumulato  usando m passi del metodo di Eulero per arrivare a t=mh non si calcola così\ facilmente, e converrà utilizzare una formula generale che risulta dal teorema di convergenza del metodo di Eulero .

Esempio:

Convergenza del metodo di Eulero

Supponiamo di dover approssimare la soluzione di un sistema dinamico nonlineare  tex2html_wrap_inline36750 con condizione iniziale tex2html_wrap_inline34454 . Il metodo di Eulero   consiste nell'approssimare la soluzione al tempo h con l'approssimazione lineare:

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La soluzione a tempi successivi può essere approssimata ripetendo il procedimento, cioè con la successione definita per ricorrenza:

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Se si desidera avere delle informazioni sui valori assunti da X(t) per valori di t intermedi tra kh e (k+1)h si può ricorrere ad un'interpolazione, per esempio lineare ottenendo ancora il poligono di Eulero . L'errore di troncamento locale  è sempre infinitesimo del secondo ordine rispetto ad h, il che si può descrivere simbolicamente con la formula:

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L'errore di troncamento accumulato   è la differenza tra la successione definita per ricorrenza dal metodo di Eulero e la soluzione del sistema dinamico con le stesse condizioni iniziali:

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Teorema della convergenza del metodo di Eulero :  Se il campo vettoriale F(X) è lipschitziano  di costante L e limitato in modulo dalla costante M, cioè se

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per ogni X,Y in tex2html_wrap_inline34458 , allora l'errore accumulato tex2html_wrap_inline40284 dopo il tempo tex2html_wrap_inline40286 soddisfa alla diseguaglianza

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Dimostrazione:

 C.D.D.

La maggiorazione per l'errore di troncamento accumulato che si ricava in generale, cioè per ogni possibile sistema dinamico, si rivela pessimistica in casi specifici. Tuttavia che l'accumulazione dell'errore possa essere esponenziale è inevitabile; in molti casi l'esponente sarà più piccolo della costante di Lipschitz, e sarà piuttosto legato all'esponente di Lyapounov della soluzione che si cerca di approssimare.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997