next up previous contents index
Next: 4.2 METODO DI EULERO Up: 4 DISCRETIZZAZIONE Previous: 4 DISCRETIZZAZIONE

4.1 DIFFERENZE FINITE LINEARI

 

Sommario Un sistema alle differenze finite lineari si risolve calcolando le potenze di una matrice; questo calcolo diventa molto più semplice se la matrice è ridotta alla forma canonica di Jordan. Modelli alle differenze finite lineari sono impiegati in molti campi; qui diamo degli esempi tratti dalla modellizzazione di fenomeni economici.

Equazioni lineari alle differenze prime

Un sistema dinamico discreto  lineare  in tex2html_wrap_inline34458 è della forma:

displaymath39672

dove A è una matrice tex2html_wrap_inline34586 invertibile ed tex2html_wrap_inline39678 è l'orbita. L'orbita può essere descritta mediante le potenze di A:

displaymath39682

però il calcolo esplicito di una potenza elevata di una matrice richiede un gran numero di operazioni aritmetiche (per di più, questo numero cresce con il cubo della dimensione n).

Si può allora cercare di semplificare questo calcolo mediante un cambiamento di coordinate lineare : se

displaymath39686

è la stessa orbita vista in un nuovo sistema di coordinate, associate alla base tex2html_wrap_inline39688 mediante la matrice V con colonne tex2html_wrap_inline39692 (si ricorda che in tal caso B è invertibile, e tex2html_wrap_inline39696 ), allora

displaymath39698

Quindi nel nuovo sistema di coordinate tex2html_wrap_inline39700 il sistema dinamico discreto ha per matrice tex2html_wrap_inline39702 e per soluzione tex2html_wrap_inline39704 ; se la nuova base è scelta in modo che il calcolo delle potenze di D sia più semplice, allora converrà esprimere la soluzione passando attraverso tex2html_wrap_inline38994 , cioè:

displaymath39710

Per esempio, se la matrice A è diagonalizzabile , allora possiamo scegliere la nuova base in modo che tex2html_wrap_inline39714 , dove tex2html_wrap_inline39716 sono gli autovalori di A (che sono tutti reali). Allora la soluzione nello spazio delle coordinate Y sarà semplicemente

displaymath39722

e, tornando alle coordinate X,

displaymath39726

ogni coordinata di tex2html_wrap_inline34432 è quindi una combinazione lineare, a coefficienti dipendenti dalla condizione iniziale, dei monomi tex2html_wrap_inline39730 formati con gli autovalori di A.

L'analogia con il caso continuo è così stretta che non vale la pena di ripetere tutto lo svolgimento della teoria nel caso di autovalori coniugati , nel caso di una matrice semisemplice  e nel caso nilpotente ; si può passare direttamente al risultato generale.

Uso della forma canonica di Jordan

Per il teorema della decomposizione S + N  la matrice A può comunque essere descritta come somma di una matrice semisemplice S ed una matrice nilpotente N, che commutano tra loro: SN=NS. Allora vale la formula del binomio di Newton :

displaymath39746

In questo modo il calcolo delle potenze è semplificato, e può essere descritto in ogni caso in termini di polinomi:

Teorema delle soluzioni dell'equazione alle differenze prime :  Per ogni matrice A di tipo tex2html_wrap_inline34586 , le soluzioni di tex2html_wrap_inline39752 hanno componenti che si possono esprimere come combinazioni lineari delle seguenti successioni:

Dimostrazione:

 C.D.D.

Definizione:

Supponiamo che tex2html_wrap_inline39838 sia un'applicazione lineare, cioè tex2html_wrap_inline39852 con A una matrice tex2html_wrap_inline34586 .

Poiché le successioni tex2html_wrap_inline39858 contengono le potenze k-esime degli autovalori, la stabilità della soluzione nulla tex2html_wrap_inline39862 è controllata dai moltiplicatori di Lyapounov  , che sono i moduli degli autovalori: l'applicazione lineare è asintoticamente stabile nel punto tex2html_wrap_inline39862 se e solo se tutti i moltiplicatori di Lyapounov sono minori di 1.

Avere tutti i moltiplicatori di Lyapounov tex2html_wrap_inline39868 è necessario, ma non sufficiente per la stabilità nella soluzione nulla; infatti in presenza di autovalori multipli di modulo 1 possono essere presenti termini a crescenza polinomiale nell'indice k.

L'analogia con Il teorema del pozzo lineare  può essere resa esplicita definendo, in questo caso, gli esponenti di Lyapounov  come i logaritmi naturali dei moltiplicatori di Lyapounov, cioè come i numeri reali

displaymath39874

per ogni autovalore tex2html_wrap_inline39876 della matrice A del sistema dinamico discreto lineare.

Questa seconda definizione di esponenti di Lyapounov è coerente con la precedente, nel senso che segue. Se tex2html_wrap_inline35080 è un sistema dinamico continuo lineare, ed i suoi esponenti di Lyapounov sono tex2html_wrap_inline39882 , con tex2html_wrap_inline39884 , allora consideriamo il sistema dinamico discreto lineare ottenuto per discretizzazione  con passo  h:

displaymath39888

Allora B ha per autovalori tex2html_wrap_inline39892 e per moltiplicatori di Lyapounov i moduli

displaymath39894

Equazioni alle differenze di ordine superiore

Definizione:

Se le matrici tex2html_wrap_inline39914 non dipendono da k, allora si può trasformare un'equazione alle differenze finite di ordine r e lineare, definita su tex2html_wrap_inline34458 , in un sistema dinamico discreto e lineare definito su tex2html_wrap_inline39932 , con un procedimento sostanzialmente identico a quello usato per un'equazione differenziale lineare  di ordine  r. Poniamo:

displaymath39936

allora esiste una matrice B di tipo tex2html_wrap_inline39940 tale che il sistema dinamico discreto lineare tex2html_wrap_inline39942 è del tutto equivalente all'equazione alle differenze finite di ordine r; la condizione affinché B sia invertibile è che tex2html_wrap_inline39948 sia invertibile.

La possibilità di ricondurre un'equazione alle differenze finite ad un sistema dinamico discreto non è ristretta al caso lineare. Se la funzione f che definisce l'equazione alle differenze finite è differenziabile (di classe almeno tex2html_wrap_inline34382 ) rispetto a tutte le variabili tex2html_wrap_inline39954 e non dipende da k, si può procedere nello stesso modo usato sopra; la condizione di invertibilità è soddisfatta se la matrice jacobiana tex2html_wrap_inline39958 è invertibile.

Non è essenziale nemmeno la restrizione che l'equazione alle differenze finite non dipenda dall'indice. Si può sempre aggiungere alle variabili dinamiche del sistema una variabile t con l'equazione tex2html_wrap_inline39962 ; questo trucco è l'analogo discreto della omogeneizzazione  usata nel caso continuo.

Ci limiteremo nel seguito a considerare il caso n=1, cioè per il caso lineare:

displaymath39966

con i coefficienti tex2html_wrap_inline35754 costanti di tex2html_wrap_inline34960 , e la sola variabile dinamica x. Allora, ponendo

displaymath39974

si ottiene il sistema dinamico discreto

displaymath39976

dove la matrice A è data da:

displaymath39980

cioè dalla la matrice compagna  del polinomio con i coefficienti tex2html_wrap_inline35754

displaymath39984

Ne seguono risultati concettualmente identici a quelli del caso dell'equazione differenziale lineare . L'analogia è più evidente se si introduce l'operatore spostamento  S:

displaymath39988

Allora un'equazione alle differenze finite lineari si esprime mediante un polinomio nell'operatore S, tenendo conto che tex2html_wrap_inline39992 è l'operatore identità:

displaymath39994

Teorema dell' operatore alle differenze finite lineare :  Il polinomio P ha radice tex2html_wrap_inline36040 se e solo se la progressione geometrica tex2html_wrap_inline40000 è una soluzione dell'equazione alle differenze finite lineari con gli stessi coefficienti:

displaymath40002

Dimostrazione:

 C.D.D.

Teorema delle soluzioni dell'equazione alle differenze finite :  Ogni soluzione dell'equazione alle differenze finite di ordine  r:

displaymath40006

è una combinazione lineare delle r successioni seguenti:

Le soluzioni elencate sono linearmente indipendenti se gli autovalori sono diversi da zero; in tal caso è possibile trovare una soluzione per ogni sequenza iniziale tex2html_wrap_inline40038 . Se invece c'è una radice nulla del polinomio P(z), questo vuol dire che l'equazione alle differenze finite non è veramente di ordine r, e la sequenza iniziale deve essere più corta.

Dimostrazione:

 C.D.D.

Un'equazione alle differenze finite lineari non omogenea  , cioè con a secondo membro una successione nota, si trattano secondo lo stesso principio usato nel Capitolo 8 per le equazioni differenziali lineari non omogenee, cioè aggiungendo alle soluzioni dell'equazione omogenea una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Quest'ultima si può trovare tra le funzioni dello stesso tipo del secondo membro, per esempio una costante se il secondo membro è costante.

Esercizio Studiare i seguenti problemi alle differenze finite lineari del secondo ordine:

  1. Numeri di Fibonacci  :

    displaymath39896

  2. Per tex2html_wrap_inline40044 , è limitata la soluzione di

    displaymath39897

  3. Discutere nel piano tex2html_wrap_inline40046 il comportamento delle soluzioni di tex2html_wrap_inline40048 .
(Soluzione)

Esempi di modelli economici alle differenze finite

Diamo di seguito alcuni esempi di modelli di fenomeni economici mediante equazioni alle differenze finite lineari. Gli esempi citati sono microeconomici, cioè descrivono la legge della domanda e dell'offerta per un singolo bene su di un dato mercato; esistono però anche modelli alle differenze finite di fenomeni macroeconomici, cioè dell'andamento di un intera economia.

Esempio:

Esempio:


next up previous contents index
Next: 4.2 METODO DI EULERO Up: 4 DISCRETIZZAZIONE Previous: 4 DISCRETIZZAZIONE

Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997