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9.4 CAOS

 

Sommario Discutiamo, senza conclusioni precise, la nozione di caos, che dovrebbe descrivere le proprietà qualitative delle orbite di sistemi hamiltoniani non integrabili, che non sono rappresentabili mediante serie di Fourier. Vengono esaminate due possibili definizioni, basate l'una sugli esponenti di Lyapounov, l'altra sulla chiusura topologica delle orbite: entrambe presentano dei problemi di non facile soluzione.

Definizioni di caos

Se un sistema dinamico hamiltoniano non è integrabile, ed è dotato di orbite con esponenti di Lyapounov  positivi, che cosa si può dire delle sue soluzioni? Non disponendo di una formula analitica (né di una serie di Fourier) per descrivere il flusso integrale, e neppure di un procedimento di approssimazione numerica affidabile, i metodi tradizionali di descrizione delle soluzioni devono essere abbandonati, o almeno usati solo entro limiti ben precisi (per esempio, per tempi non troppo più lunghi del tempo di Lyapounov ).

Ciò che si vorrebbe è una definizione (o anche più d'una) soddisfatta dal comportamento di orbite di questo tipo, o almeno di una frazione significativa di queste, che possa essere utilizzata per costruire una nuova teoria qualitativa. Le definizioni di questa classe impiegano di solito il nome di caos  ; non esiste però una definizione di caos che, considerata completamente soddisfacente, sia comunemente accettata dai ricercatori impegnati oggi in questo campo. Anziché dare la nostra definizione, preferiamo dare un'idea dei problemi che sorgono nel cercare di individuare la definizione ``buona''.

Una prima definizione di orbita caotica   potrebbe richiedere che esista almeno un esponente di Lyapounov positivo. Indubbiamente la dipendenza critica dalla condizione iniziale  è una proprietà molto importante; per di più esiste almeno un procedimento numerico di approssimazione che consente di ricavare un valore indicativo del massimo esponente di Lyapounov.

Questa definizione ha però due difetti. Il primo è illustrato dall'equazione del pendolo: tex2html_wrap_inline50026 : il punto di sella in tex2html_wrap_inline50028 ha una coppia di esponenti di Lyapounov reali e di segno opposto; si può mostrare che anche le separatrici hanno esponenti di Lyapounov non nulli. Ciononostante il sistema è integrabile, e variabili azione-angolo possono essere definite ovunque, salvo che sulle separatrici; tutte le orbite sono calcolabili per quadratura, anche quelle sulle separatrici. A parte il fatto che una conoscenza imperfetta delle condizioni iniziali, o l'uso di un integratore numerico poco accurato, potrebbe creare problemi nel predire l'andamento a lungo termine di una soluzione molto vicina alla separatrice, non c'è nessuna forma di imprevedibilità nell'andamento qualitativo delle soluzioni. Quindi la presenza di un esponente di Lyapounov positivo non basta a definire il caos.

Il secondo problema è posto dall'esempio del problema dei tre corpi. Senza entrare nei dettagli, che apparterrebbero ad un corso di Meccanica Celeste, si può comprendere intuitivamente che un terzo corpo di massa piccola (diciamo una cometa) che abbia degli incontri ravvicinati con uno dei due corpi più grandi (diciamo Giove), può essere spedito, per effetto di questi incontri, su una traiettoria illimitata simile ad una traiettoria iperbolica del problema dei due corpi cometa-Sole. Usando questa somiglianza (cioè una teoria perturbativa), ed il risultato del problema che discuteremo qui sotto, si può mostrare che una simile orbita di espulsione ha esponenti di Lyapounov tutti nulli. Perciò ci sono orbite con comportamento estremamente irregolare ed estremamente instabile, con sequenze di incontri ravvicinati terminate dall'espulsione, che vorremmo chiamare caotiche, ma che non sono coperte da una definizione basata solo sugli esponenti di Lyapounov.

Problema Dimostrare che gli esponenti di Lyapounov di un'orbita iperbolica del problema dei due corpi sono tutti nulli.

Un altro tipo di definizione potrebbe essere basata sulla transitività topologica, cioè sulla natura dell'insieme che si ottiene come chiusura topologica di un'orbita. Le orbite di un sistema integrabile a due gradi di libertà o sono periodiche, quindi formano un insieme chiuso , oppure sono dense in un toro tex2html_wrap_inline39644 . Le orbite caotiche non sono confinate né in un toro, né in alcun altra varietà invariante della stessa dimensione (perché non ci sono ``abbastanza'' integrali primi). Si potrebbe allora definire una regione caotica   come un insieme dello spazio delle fasi che coincide con la chiusura di ogni sua orbita. Chiaramente però occorre che questo insieme sia ``più grande'' di un toro invariante del tipo presente nei sistemi integrabili. Per esempio si potrebbe richiedere che la regione caotica riempia l'insieme di livello definito dal solo integrale primo, cioè dalla hamiltoniana; oppure che sia un sottoinsieme aperto dell'insieme di livello.

Per decidere se una definizione di questo tipo è applicabile nei casi più comuni e più interessanti, occorre procurarsi qualche esempio di sistema ``caotico''. Benché gli esempi non manchino, i metodi numerici necessari per mettere in evidenza il caos sono, nella maggior parte dei casi, complicati e di uso difficile. Nella prossima sottosezione svilupperemo quindi un metodo per procurarsi esempi molto semplici da calcolare.

Mappa di Poincaré

Sia tex2html_wrap_inline49162 una ipersuperficie   regolare dello spazio delle fasi (P,Q), cioè un sottoinsieme definito da una sola equazione G(P,Q)=0 con G di classe tex2html_wrap_inline34382 e con tex2html_wrap_inline50042 in ogni punto di tex2html_wrap_inline49162 . Supponiamo che tex2html_wrap_inline44184 sia un punto di tex2html_wrap_inline49162 per il quale passa trasversalmente  la soluzione del sistema hamiltoniano definito da H(P,Q), cioè

displaymath50052

allora la ipersuperficie tex2html_wrap_inline49162 resterà trasversale al sistema dinamico per tutti i punti di un intorno di tex2html_wrap_inline44184 in tex2html_wrap_inline49162 ; si dice che tex2html_wrap_inline49162 è una sezione locale   (questa definizione è analoga a quella di sezione locale  per un sistema dinamico piano).

Allora la soluzione con condizione iniziale tex2html_wrap_inline44184 lascia tex2html_wrap_inline49162 per t>0 (anche per t<0). Supponiamo che dopo un certo tempo tex2html_wrap_inline50070 la soluzione torni ad incontrare tex2html_wrap_inline49162 in tex2html_wrap_inline50074 : si intende che questo sia il ``primo ritorno'', cioè per tex2html_wrap_inline50076 la soluzione non incontra tex2html_wrap_inline49162 . Supponiamo che anche questo secondo incontro sia trasversale, cioè anche in tex2html_wrap_inline50074 si abbia tex2html_wrap_inline50082 . Per il teorema di continuità del flusso , tutte le soluzioni con condizione iniziale (P,Q) che stanno su tex2html_wrap_inline50086 , con W un intorno abbastanza piccolo di tex2html_wrap_inline44184 , incontreranno di nuovo tex2html_wrap_inline49162 in un punto (P',Q'). L'applicazione così definita è la mappa di Poincaré  

eqnarray25852

  figure25854
Figure 9.2:  Mappa di Poincaré: data una ipersuperficie che rappresenta una sezione locale, si manda ogni punto nel punto di primo ritorno sull'ipersuperficie dell'orbita corrispondente.

Per il teorema di differenziabilità del flusso , la mappa di Poincaré è un diffeomorfismo tra due intorni di tex2html_wrap_inline44184 su tex2html_wrap_inline49162 . Si noti che la mappa di Poincarè conserva il valore della hamiltoniana.

Un caso semplice della mappa di Poincaré si ottiene quando le variabili Q sono variabili angolo: se consideriamo tex2html_wrap_inline50102 come ipersuperficie tex2html_wrap_inline49162 , e per esempio sappiamo che tex2html_wrap_inline50106 in ogni punto, allora tex2html_wrap_inline49162 è trasversale al sistema dinamico in ogni punto, e il primo ritorno è semplicemente il punto su ogni orbita in cui tex2html_wrap_inline50110 . Studiamo il caso con due gradi di libertà per semplicità di notazione (la generalizzazione ad n gradi di libertà è comunque ovvia): poiché la hamiltoniana è conservata,

displaymath50114

e da questa equazione si possono ricavare sia tex2html_wrap_inline44590 che tex2html_wrap_inline50118 , per il teorema delle funzioni implicite  (dal momento che tex2html_wrap_inline50120 ). Perciò, fissato il valore H=E della hamiltoniana, si può definire una mappa di Poincaré ridotta

displaymath50124

in cui il punto di primo ritorno appartiene all'orbita che ha condizione iniziale con tex2html_wrap_inline50126 e tex2html_wrap_inline41146 assegnati su tex2html_wrap_inline50130 . In questo caso vale una proprietà molto forte:

Teorema dei conseguenti :  La mappa di Poincaré ridotta è una trasformazione canonica .

Dimostrazione:

 C.D.D.

Nel caso a due gradi di libertà, tex2html_wrap_inline50130 è una superficie e, per riferirsi al teorema precedente, supponiamo che tex2html_wrap_inline41064 siano le sue coordinate: una trasformazione canonica  conserva l'area . Quindi la mappa di Poincaré ridotta definisce un sistema dinamico discreto conservativo , definito in un sottoinsieme del piano tex2html_wrap_inline41064 .

Se il sistema hamiltoniano di partenza fosse integrabile, allora vi sarebbe un altro integrale primo Z(P,Q), funzionalmente indipendente da H(P,Q), e la mappa di Poincaré dovrebbe conservare anche questo; quindi la mappa di Poincaré ridotta avrebbe un integrale primo , le cui curve di livello sarebbero invarianti, cioè unione di orbite. Se il sistema non è integrabile, le orbite della mappa di Poincaré ridotta occupano insiemi del piano ``più grandi'' di curve.

Da questa relazione tra sistemi hamiltoniani a due gradi di libertà e sistemi dinamici conservativi nel piano segue che è possibile riconoscere il caos con un metodo grafico. Basta seguire un'orbita della mappa di Poincaré ridotta, ed osservare come si dispone nel piano.

Esempi di caos

La mappa di Poincaré ridotta introduce una relazione tra sistemi dinamici conservativi nel piano, e sistemi hamiltoniani a due gradi di libertà; possiamo utilizzare gli esempi dei primi come modello per i comportamenti - integrabili o caotici - dei secondi. Perciò possiamo usare una mappa standard  come esempio; nel seguito useremo ancora quella già studiata nel Capitolo 4, la mappa standard del pendolo .

  figure25905
Figure 9.3:  Particolare della mappa standard del pendolo per il valore h=0.5: la maggior parte delle orbite sembra appartenere a curve invarianti; tuttavia non c'è alcun aperto dello spazio delle fasi in cui manchi il caos, con esponenti di Lyapounov positivi. Le orbite caotiche sembrano``riempire'' sottili corone circolari comprese tra due curve invarianti; per una visione d'insieme, si veda la Figura 4.4.

Osserviamo con un opportuno ingrandimento il risultato degli esperimenti numerici che calcolano, per diversi valori del parametro h, un lungo tratto (migliaia di punti) di alcune orbite della mappa standard del pendolo: si nota che nel fascio di curve invarianti - che dominano per valori piccoli di h - si formano delle isole di risonanza   che generano nuove regioni caotiche, a partire dalle separatrici  di orbite periodiche con esponenti di Lyapounov positivi e negativi.

La conclusione, molto provvisoria ed empirica, di questo esperimento, è che anche una definizione di caos basata sulla transitività topologica non è del tutto adeguata, specialmente per i sistemi hamiltoniani (e per i sistemi discreti conservativi). Al contrario, le orbite caotiche riempiono la parte dello spazio delle fasi lasciata libera da un gran numero di curve invarianti (corrispondenti ai tori invarianti nel caso hamiltoniano).

Semplici esperimenti numerici come questo, compiuti con i primi calcolatori elettronici all'inizio degli anni '50, hanno stimolato gli sviluppi di una nuova teoria dei sistemi dinamici hamiltoniani non integrabili, ma aventi orbite sia caotiche sia regolari: si veda [Arnold 86], Appendice 8.

  figure25914
Figure 9.4:  Particolare della mappa standard del pendolo per il valore h=1: la maggior parte delle curve invarianti è scomparsa, ma restano quelle che hanno ampiezze di oscillazione piccole attorno al punto di equilibrio stabile. Nemmeno in questo caso c'è transitività topologica; per una veduta d'insieme, si veda la Figura 4.6.

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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997