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9.3 NON INTEGRABILITÀ SECONDO POINCARÉ

 

Sommario Ci limitiamo per semplicità ad enunciare e dimostrare il teorema di non integrabilità di Poincaré per una ``generica'' perturbazione di un problema integrabile a due gradi di libertà.

Teorema di non integrabilità di Poincaré :  Sia tex2html_wrap_inline49840 con tex2html_wrap_inline49842 aperto di tex2html_wrap_inline34636 e tex2html_wrap_inline49846 .

Sia la parte integrabile tex2html_wrap_inline49686 non degenere  , cioè tale che

displaymath49850

Sia la perturbazione tex2html_wrap_inline49634 della hamiltoniana sviluppabile in serie di Fourier uniformemente convergente:

displaymath49854

con tutti i coefficienti tex2html_wrap_inline49856 diversi da zero per tex2html_wrap_inline49858 .

In realtà, è sufficiente che, per ogni tex2html_wrap_inline49842 , sia finito il numero dei coefficienti tex2html_wrap_inline49750 nulli.

Allora il sistema non è integrabile, nel senso che non ha un secondo integrale tex2html_wrap_inline49864 , analitico reale in tex2html_wrap_inline39876 e funzionalmente indipendente da H.

Dimostrazione:

 C.D.D.

Per dimostrare che un dato problema non è integrabile si deve dimostrare anche che lo sviluppo in serie di Fourier della perturbazione tex2html_wrap_inline49634 ha la proprietà di non avere infiniti coefficienti che si annullano, o qualche altra proprietà che può servire allo stesso scopo. Questo fu appunto dimostrato da Poincaré per il problema dei tre corpi; si veda [Poincaré 1892].

Tuttavia, alcuni anni dopo Sundman dimostrò che esiste una rappresentazione delle soluzioni del problema dei tre corpi con una serie uniformemente convergente; il premio però era già stato assegnato. Il suo risultato non contraddiceva quello di Poincaré, perché le serie di Sundman non sono del tipo utilizzato nei sistemi integrabili secondo Weierstrass. Le serie ``alla Weierstrass'' sono del tipo praticamente impiegato nelle teorie perturbative che gli astronomi utilizzano per predire le orbite dei pianeti, mentre quelle di Sundman sono difficilmente utilizzabili per calcoli di questo tipo; quindi, benché il risultato di Sundman sia di grande importanza teorica, l'impatto del teorema di non integrabilità di Poincaré sugli sviluppi della ricerca in dinamica è stato molto maggiore.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997