5.6 VARIABILI AZIONE ANGOLO

Sommario Se un aperto del piano delle fasi è riempito da orbite periodiche, si vorrebbe parametrizzare ciascuna di queste con una variabile angolo, che si accresca di $2\pi$ in un periodo. Se la variabile angolo così ottenuta fa parte di una coppia di coordinate canoniche, queste ultime possono ridurre il problema ad uno banale in cui il flusso integrale è formato da soli scorrimenti.

Parametrizzazione delle orbite periodiche

Se la hamiltoniana $H(p,q)$ sull'aperto $W$ ha insiemi di livello tutti compatti, che si riducono ad una sola curva regolare, semplice e chiusa, allora ognuna di queste curve di livello individua un'orbita periodica. Bisogna in effetti distinguere due casi: se la coordinata $q$ appartiene a ${\bf R}$, allora un'orbita periodica deve avere entrambe le funzioni $p(t),\;q(t)$ periodiche con lo stesso periodo $P$:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle p(t+P)} & {\displ... ... {\displaystyle=} &{\displaystyle q(t)} \end{array}\right.\;.$$

In questo caso si parla di orbite periodiche del tipo librazione. La curva di livello racchiude una parte del piano in cui (se $H(p,q)$ è definita) deve esserci almeno un punto di equilibrio. In questo caso le curve di livello corrispondenti a valori vicini riempiono un insieme diffeomorfo ad una corona circolare.

Se invece la coordinata $q$ è una variabile angolo, lo spazio delle fasi è in effetti contenuto in un cilindro $S^1\times {\bf R}$, e un'orbita periodica può essere di due tipi: di librazione (in cui entrambe le coordinate sono funzioni periodiche di periodo $P$), e di circolazione con

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle p(t+P)} & {\displ... ...i} \end{array}\right.\hspace{5mm},\hspace{5mm}k\in {\bf Z}\;.$$

In questo caso l'orbita periodica si avvolge sul cilindro in modo da non essere il bordo di una regione compatta (Figura 5.11).

Figura 5.11: Orbite periodiche del tipo della librazione (a sinistra) e della circolazione (a destra); queste ultime hanno senso solo nel caso di una coordinata che sia una variabile angolo, quindi lo spazio delle fasi è un cilindro e non una porzione di piano.

Esempio:

Nel caso delle hamiltoniane $H(p,q)= {p^2}/{2m}+ V(q)$ provenienti da sistemi newtoniani $q$ può essere sempre considerata una variabile angolo se $V(q)$ è una funzione periodica di periodo $2\pi$, come nel caso del pendolo.

Se il livello di energia $E=H(p,q)$ è tale che $E>\max V(q)$, allora


$$p=m\,\dot q =\pm \sqrt{2m[E-V(q)]}$$


non si annulla mai, e quindi $q(t)$ è una funzione monotona (crescente, per la componente dell'insieme di livello nel semipiano $p>0$; decrescente, in $p<0$) che non può essere periodica. Però la condizione $V(q+2\pi)=V(q)$ implica che quando $q$ è aumentato (o diminuito) di $2\pi$ il valore di $p$ ritorna ad essere lo stesso, e quindi si ha un'orbita periodica del tipo circolazione (Figura 5.12).

Se al contrario $E< Sup\; V(q)$ (incluso il caso $V(q)$ illimitata), allora ci sono dei valori per l'angolo $q$ in cui $V(q)>E$: questi valori sono ``proibiti'' per l'insieme di livello $H(p,q)=E$; se $V(q)$ ha un minimo, l'insieme di livello è compatto, e se non contiene punti di equilibrio si ottiene un'orbita periodica del tipo della librazione.

Figura 5.12: Orbite periodiche del tipo della librazione e della circolazione nello stesso sistema hamiltoniano; si intende che la variabile $q$ è un angolo, quindi due rette che differiscono di un angolo giro si intendono identificate.

Problema Dimostrare che nelle orbite periodiche del tipo della circolazione $k=\pm 1$, cioè l'orbita non può richiudersi dopo più di un giro.

Suggerimento: Considerare la curva $(p(t),q(t))$ sull'intervallo $t\in [0,P]$, dove $P$ è il periodo. Se quando $q$ è cresciuto di $2\pi$ il valore di $p$ fosse diverso...

(Soluzione)

Si noti che l'affermazione del problema precedente non vale per un sistema discreto: in una mappa standard del pendolo ci sono punti periodici di qualsiasi periodo, e che fanno fare ad una variabile angolo un numero arbitrario di giri.

Per descrivere un simile pacchetto di orbite periodiche l'ideale sarebbe disporre di un sistema di coordinate $(I,\theta)$ tale che un aperto $W$ del piano delle fasi, costituito solo da orbite periodiche (tutte del tipo librazione o tutte del tipo circolazione), sia mandato nel rettangolo

$$\left\{\begin{array}{lcl} I_1<&I& <I_2\\ 0\leq &\theta &\leq 2\pi \end{array}\right.$$

con la variabile angolo $\theta$ che parametrizza le orbite periodiche aumentando di $2\pi$ ogni periodo, e la variabile $I$ costante su ogni orbita periodica. Supponiamo che questo si verifichi, con un cambiamento di coordinate $(p,q)\longmapsto (I,\theta)$ regolare (di classe $C^2$), e supponiamo anche che questo cambiamento di coordinate sia una trasformazione canonica. Allora dal fatto che $I$ è costante sulle soluzioni, cioè un integrale primo, deduciamo che la hamiltoniana $K(I,\theta)$ nel nuovo sistema di coordinate non dipende dalla $\theta$:

$$\dot I = \frac{\partial {K}}{\partial {\theta}} =0 \Longleftrightarrow H(p,q)=K(I)\;.$$

In un tale sistema di coordinate, il sistema hamiltoniano è risolto banalmente, con il flusso integrale in funzione della condizione iniziale $(I_0,\theta_0)$ dato da soli scorrimenti:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle I(t)} & {\display... ...ace{5mm} \omega(I_0)=\frac{\partial {K}}{\partial {I}}(I_0)\;.$$

$\omega$ è una velocità angolare, quindi ha la dimensione dell'inverso del tempo; se supponiamo che la hamiltoniana sia dimensionalmente un'energia, allora la variabile $I$ ha la dimensione di un'energia moltiplicata per un tempo, e per questo si chiama variabile azione. La frequenza $\omega(I)$, che è costante per ogni orbita, si chiama frequenza propria.

Esempio:

Per un rotore libero, un corpo esteso (non puntiforme), non soggetto a forze esterne, libero di ruotare attorno ad un solo asse, con angolo di rotazione $q$, l'energia cinetica è:

$$T=\frac 12 \, \alpha\, mR^2 \, \dot q^2$$



con $R$ una lunghezza caratteristica del corpo ed $\alpha$ un coefficiente che dipende dalla forma e distribuzione di massa (per esempio $\alpha=2/5$ per una sfera di densità uniforme, essendo $R$ il raggio); il potenziale è $V(q)=0$, quindi dalla trasformata di Legendre:


$$H(p,q)=\frac{p^2}{2\,\alpha\, mR^2}\;.$$



Poiché la hamiltoniana è funzione solo di $p$, $(p,q)$ è una coppia di variabili azione-angolo. Si noti che $q$ cambia con velocità angolare $\omega= p/(\alpha\,mR^2)$, quindi $p$ è il momento angolare, che ha la dimensione di un azione.

Esempio:

Per l'oscillatore armonico

$$H(p,q)= \omega \;\frac {p^2+q^2}2$$



la trasformazione canonica


$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle p} & {\displayst... ...=} &{\displaystyle \sqrt{2I}\;\sin\theta} \end{array}\right.$$



semplifica il sistema riducendo la hamiltoniana a


$$H(p,q)=K(I,\theta)=\omega\, I\;,$$



da cui $I$ è una variabile azione, $\theta$ una variabile angolo, con frequenza propria $\omega$ costante rispetto ad $I$.

Esercizio Trovare le variabili azione ed angolo per la funzione di Hamilton

$$H(p,q)= \frac {p^2}{2m}+ \frac {m\,\omega^2\,q^2}2$$

che esprime l'oscillatore armonico più generale. (Soluzione)

Variabile azione ed area

Abbiamo visto i vantaggi che presenterebbe la disponibilità di una coppia di variabili canoniche delle quali la prima sia una variabile azione e la seconda una variabile angolo, tali che la hamiltoniana trasformata sia funzione della sola azione; in questo caso parliamo di variabili azione-angolo.

Data una hamiltoniana $H(p,q)$, per trovare una adeguata variabile azione si può impiegare la proprietà delle trasformazioni canoniche di conservare l'area. Supponiamo che $(p(t),q(t))$ sia una orbita periodica (di periodo $P$) del tipo librazione; allora la traiettoria è una curva nel piano $(p,q)$ che fa da bordo $\partial D$ ad un insieme $D$, la cui area può essere calcolata con la formula di Green:

$$Area(D)=\int\!\!\!\int _D\;\,dp\,dq= \int_{\partial D} \; p\,dq \;.$$

L'insieme $D$ viene trasformato nel piano $(I,\theta)$ in un insieme che chiamiamo $F$, la cui area è, per la stessa formula:

$$Area(F)=\int\!\!\!\int _F\;\,dI\,d\theta = \int_{\partial F} \; I\,d\theta \;;$$

se facciamo l'ipotesi che la trasformazione sia canonica, le due aree sono uguali, quindi

$$Area(D)=\int_{\partial D} \; p\,dq=\int_{\partial F} \; I\,d\theta\;.$$

Ora la curva $\partial F$ nel piano $(I,\theta)$ altro non è che la soluzione corrispondente a $\partial D$ nel piano $(p,q)$; se imponiamo la condizione che $(I,\theta)$ siano variabili azione-angolo, allora $I=I_0$ è costante e $\theta$ varia in $[0,2\pi]$, quindi (Figura 5.13)

$$Area(D)= \int_{\partial F} \; I\,d\theta= I_0 \;\int_0^{2\pi}\;d\theta= 2\pi\,I\;,$$

Figura 5.13: L'area della regione racchiusa da un'orbita periodica si trasforma, nel piano delle variabili azione-angolo, nell'area del rettangolo con altezza pari alla variabile azione e base pari all'angolo giro.

ossia, la variabile azione è l'area racchiusa dall'orbita periodica, divisa per $2\pi$.

In realtà la variabile azione è definita a meno di una costante, ma noi abbiamo imposto che

$$Area(F)=\int_{\partial F} \; I\,d\theta=I_0 \;\int_0^{2\pi}\;d\theta$$

il che è vero solo se $F$ è il rettangolo

$$\left\{\begin{array}{lcl} 0< &I& <I_0\\ 0\leq &\theta &\leq 2\pi \end{array}\right.\;.$$

Per esempio, se le orbite periodiche di $W$ sono quelle che attorniano un punto di equilibrio stabile, abbiamo imposto che $I$ tenda a zero quando l'orbita periodica tende al punto di equilibrio. Se le orbite periodiche per cui si sta cercando la variabile azione racchiudono più di un punto di equilibrio, allora la variabile azione è inevitabilmente definita a meno di una costante arbitraria; lo stesso vale per le orbite periodiche di tipo circolazione.

Se la hamiltoniana è del tipo

$$H(p,q)=\frac {p^2}{2m} +V(q)$$

(con $q\in {\bf R}$), un'orbita periodica deve passare per due punti $(0,q_1)$ e $(0,q_2)$, tali che $V(q_1)=V(q_2)$ (perché l'energia è la stessa, $E=V(q_1)=V(q_2)$); supponiamo $q_1<q_2$. Allora l'area racchiusa dalla curva è data dall'integrale (con per parametro il valore $E$ dell'energia):

$$2\;\int_{q_1}^{q_2}\sqrt{2m[E-V(q)]}\; dq$$

e quindi la variabile azione, in funzione dell'energia, è

$$I(E)= \frac 1{\pi} \;\int_{q_1}^{q_2}\sqrt{2m[E-V(q)]}\; dq\;.$$

La soluzione è quindi ottenuta invertendo la funzione $I(E)$. Se questo è possibile si ottiene $E=K(I)$, la cui derivata è la frequenza $\omega(I)$ che fornisce il periodo $P(I)=2\pi/\omega(I)$.

Problema Dimostrare che ogni orbita periodica di una hamiltoniana del tipo $H(p,q)=p^2/(2m)+V(q)$ passa da esattamente due punti con $p=0$.

Suggerimento: All'interno della curva deve esserci un punto di equilibrio, che può stare solo su $p=0$, perciò ci sono almeno due intersezioni con $p=0$.

(Soluzione)

Esercizio Consideriamo la hamiltoniana del pendolo

$$H(p,q)=\frac 12\, p^2 -k^2\,\cos q$$

dove $k^2=g/\ell>0$. Si mostri che l'area racchiusa dalla curva di livello dell'energia passante per il punto di equlibrio instabile $(0,\pi)$ e con $-\pi\leq q\leq \pi$ è $16\,k$. Se ne deduca che la variabile azione $I$, se definita in modo da tendere a $0$ per $(p,q)\to (0,0)$, non può raggiungere valori superiori a $8\,k/\pi$. (Soluzione)

Problema Trovare la variabile azione per una palla ``perfettamente elastica'' di massa $m$ che rimbalza tra due muri fissi a distanza $d$ tra di loro. Questo problema contiene un muro di potenziale duro, in cui il potenziale salta da $V(q)=0$ per $\vert q\vert< d/2$ a $V(q)=+\infty$ per $\vert Q\vert>d/2$.

Suggerimento: Le soluzioni generalizzate sono segmenti con momento $p$ , quindi velocità $\dot q$, costante nel tratto tra $-d/2$ e $d/2$, poi il momento cambia segno istantaneamente.

(Soluzione)

Funzione generatrice

Cerchiamo di descrivere la trasformazione canonica a variabili azione-angolo con una funzione generatrice

$$S=S(q,I)\hspace{5mm},\hspace{5mm} \left\{\begin{array}{lcl} ... ...\frac{\partial {S}}{\partial {I}}(q,I)} \end{array}\right.\;.$$

Una soluzione nel piano $(p,q)$ descrive una curva di livello $H(p,q)=E$; nel piano $(I,\theta)$ la soluzione corrispondente ha equazione $K(I)=E$, quindi $I=$ costante. Se ci restringiamo ad una singola orbita periodica con azione $I$, la derivata parziale di $S$ rispetto a $q$ è la funzione di $(I,q)$ che fornisce $p$, quindi

$$S(q_1,I)=\int_{q_0}^{q_1}\; p(q,I)\, dq$$

e la funzione generatrice è sempre esprimibile mediante funzioni implicite ($p$ ricavato come funzione di $q$ da $H(p,q)=E$) e quadrature. Però sorge un problema quando il punto $(p,q)$ fa un giro completo sull'orbita periodica la cui traiettoria è la curva $\gamma$: infatti l'integrale curvilineo della forma differenziale lineare $p\,dq$

$$\oint_\gamma \; p\,dq =Area = 2\pi\;I\;.$$

non è mai nullo, e quindi la funzione $S$ è una funzione polidroma, soltanto localmente definita in modo univoco; ad ogni giro la funzione aumenta di una quantità fissa $\Delta S =2\pi\,I$. Del resto la variabile angolo $\theta$ può essere calcolata come

$$\theta=\frac{\partial {S}}{\partial {I}} = \int_{q_0}^{q_1} \frac{\partial {p}}{\partial {I}}(q,I)\, dq$$

e il suo incremento dopo un giro sull'orbita periodica è

$$2\pi=\Delta \theta = \oint_\gamma\; \frac{\partial {p}}{\partial {I}}\;dq = \frac{\partial {\Delta S}}{\partial {I}}\;.$$

Le funzioni generatrici si ottengono come funzioni potenziali di forme chiuse, quindi localmente esatte, ma non necessariamente esatte in grande: ciò significa appunto che non sono necessariamente funzioni ad un solo valore. Questo però non impedisce che la trasformazione canonica sia ben definita, in particolare quando si vuole ottenere una variabile angolo.

Esempio:

Per l'oscillatore armonico

$$H(p,q)= \frac {p^2}{2m}+ \frac {m\,\omega^2\,q^2}2$$


calcoliamo la variabile azione $I$ come area racchiusa dalla curva $H(p,q)=E$:

$$I(E)= \frac 1{\pi} \;\int_{q_1}^{q_2}\sqrt{2m[E-V(q)]}\; dq... ... \;\int_{q_1}^{q_2} \;\sqrt{1-\frac{m\omega^2}{2E}\,q^2}\;dq$$


dove $V(q_1)=V(q_2)=E$, cioè $q_2=\sqrt{2E/m\omega^2}=-q_1$. Questo integrale è elementare, con la sostituzione

$$\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}}\;q=\sin\theta$$




$$I(E) = \frac{2E}{\pi\,\omega}\; \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\; \cos^2\theta\,d\theta = \frac E{\omega}$$



La variabile usata nella sostituzione in effetti è la variabile angolo.

A questo punto $K(I)=\omega\, I$ e la frequenza $\omega$, come sappiamo, è costante. Se si calcola la funzione generatrice a partire dalla esplicitazione di $p$:


$$p=\frac{\partial {S}}{\partial {q}}=\pm \sqrt{2m\omega\,I-(m\omega\,q)^2}$$


si ottiene la quadratura

$$S(q_1,I)=\int_0^{q_1}\; \sqrt{2m\omega\,I-(m\omega\,q)^2}\;dq$$


che con la sostituzione (in effetti la stessa di prima):

$$\sqrt{\frac{m\omega}{2I}}\;q=\sin\theta$$


si risolve con integrali elementari
$$\begin{eqnarray*} S(q,I)&=& \sqrt{2m\omega\,I} \int_0^{q} \sqrt{1-\frac{m\omeg... ...eta = I\left[ \theta + \sin\theta\,\cos\theta \right]_0^\theta \end{eqnarray*}$$




dove al posto dell'estremo $\theta$ va sostituita

$$\theta(q)=\arcsin(q\sqrt{m\omega/2E})\ .$$


In conclusione

$$S(q,I)= I\,\arcsin\left[\sqrt{\frac{m\omega}{2I}}\,q \right] +q \,\sqrt{\frac{m\omega\,I}2-\frac{m^2\omega^2\,q^2}4}\;.$$



Si noti che il primo termine altro non è che $I\,\theta$.

Questo esempio, che pure è il più semplice possibile di un calcolo esplicito delle variabili azione angolo mediante quadrature, è già abbastanza difficile. In effetti le variabili azione-angolo sono soprattutto utili come strumento di descrizione geometrica, non necessariamente di calcolo esplicito. Per una trattazione delle variabili angolo, sempre nel contesto dei sistemi ad un grado di libertà, si veda [Percival-Richards 82], ai Capitoli 8 e 9, e [Goldstein 1950], Capitolo 9.