1.3 INTEGRALI, SISTEMI CONSERVATIVI

Sommario Alcuni sistemi dinamici continui hanno degli invarianti, che si conservano ``lungo'' le soluzioni, al variare del tempo nel flusso integrale. Una funzione che si conserva al passare del tempo è un integrale primo. Altri invarianti sono esprimibili mediante integrali, per esempio l'area. Definizioni analoghe si applicano anche al caso discreto.

Caso continuo

Esempio:

Consideriamo un oscillatore armonico, che è un'equazione differenziale di ordine 2, cioè contenente una derivata seconda:

$$\frac{d^2{x}}{d{t}^2} = -\omega^2 x$$


che si può tradurre in un sistema dinamico in ${\bf R}^2$ introducendo una seconda variabile $y$ con $\omega y= dx/dt$:

$$\frac{d{x}}{d{t}}=\omega\, y \hspace{5mm},\hspace{5mm}\frac{d{y}}{d{t}}=-\omega\, x\ .$$


Le soluzioni sono tutte della forma

$$x(t)=c\; \cos(\omega t) + d \sin(\omega t)$$


con $c,d$ costanti arbitrarie, che corrispondono alla condizione iniziale:

$$x(0)=c=x_0 \hspace{5mm},\hspace{5mm}y(0)=\frac 1\omega \frac{d{x}}{d{t}}(0)= d=y_0$$


per cui vale anche $y(t)=-c\; \sin(\omega t) +d \cos(\omega t)$, cioè in forma matriciale:

$$\left[\begin{array}{c}{x(t)}\\ {y(t)}\end{array}\right]= \l... ...ight] \left[\begin{array}{c}{x_0}\\ {y_0}\end{array}\right]$$


dove la matrice esprime una rotazione di un angolo $-\omega t$, in verso orario per $t>0$ se $\omega>0$. Questo esempio ha due proprietà importanti.

Definizione:

Si dice che la funzione reale $E$ è un integrale primo (di un sistema dinamico continuo) su $W\subset{\bf R}^n$ se $E$ è una funzione differenziabile su $W$ tale che:

$$E(X(t))=E(X(0))=E(X_0)$$


per ogni soluzione, cioè per ogni condizione iniziale $X_0$.

Ogni insieme di livello di $E$ è un insieme invariante.

Esempio:

Nel caso dell'oscillatore armonico, esiste un integrale primo:

$$E(x,y)=\frac{\omega^2}2\left(x^2+y^2\right) .$$



Calcolando la derivata totale, cioè la derivata di $E$ lungo una soluzione $(x(t), y(t))$ con la formula usuale di derivazione delle funzioni composte:


$$\frac{d{E}}{d{t}}= \frac{d{E(x(t),y(t))}}{d{t}} = \frac{\pa... ...= \omega^2 x\frac{d{x}}{d{t}} + \omega^2 y \frac{d{y}}{d{t}}=$$


a questo punto sostituendo i secondi membri delle equazioni differenziali:

$$=\omega^3(xy-yx)=0$$


per cui il valore di $E$ resta costante lungo ogni soluzione.

Definizione:

Un sistema dinamico continuo su ${\bf R}^2$ si dice conservativo se il suo flusso integrale per ogni $t$ fisso è una trasformazione di ${\bf R}^2$ in sé che conserva l'area (in valore ed in segno, cioè conserva l'orientazione). Le condizioni per cui questo si verifica sono discusse nel Capitolo 5.

Esempio:

Un oscillatore armonico, poiché il flusso integrale è espresso da una rotazione della condizione iniziale (di un angolo $-\omega t$), è conservativo.

Caso discreto

Definizione:

Si dice che $E$ è un integrale primo di un sistema dinamico discreto su $W\in {\bf R}^n$ se $E$ è una funzione differenziabile su $W$ tale che $E(X_k)=E(X_0)$ per ogni soluzione, cioè per ogni condizione iniziale $X_0$.

Esempio:

Uno scorrimento in ${\bf R}^2$:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle x_{k+1}} & {\displ... ...}} & {\displaystyle=} &{\displaystyle y_k} \end{array}\right.,$$


dove $g(y)$ è una funzione arbitraria, ha $E=y$ come integrale primo.

Definizione:

Si ha un sistema dinamico discreto conservativo su ${\bf R}^2$ se la mappa che definisce il sistema dinamico conserva l'area (in valore ed in segno, cioè conserva l'orientazione).

Esempio:

Un sistema dinamico discreto lineare è della forma:

$$X_{k+1}=AX_k$$


dove $A$ è una matrice quadrata. Consideriamo il caso in ${\bf R}^2$, cioè con la matrice $A$ di tipo $2\times 2$; i vettori della base canonica $E_1=(1,0)^T,\; E_2=(0,1)^T$ vengono trasformati in $V_1=AE_1$, $V_2=AE_2$ che coincidono con le colonne di $A$. L'area del parallelogramma di lati $V_1, V_2$ è il modulo del prodotto vettore:

$$Area(V_1,V_2)=\vert V_1\wedge V_2\vert=det\, A$$


Perciò se $det\, A =+1$ il sistema è conservativo.

Si noti che ci sono due casi possibili, qualitativamente molto diversi tra loro: nel primo $A$ è una matrice di rotazione, che ha automaticamente determinante 1, nel secondo:



$$A=\left[\begin{array}{cc}{\lambda}&{0}\\ {0}&{1/\lambda}\end{array}\right]$$