1.1 SISTEMI CONTINUI E DISCRETI

Sommario Un sistema dinamico esprime la variabilità di uno stato nel tempo. Lo stato è rappresentato da un punto in uno spazio vettoriale di dimensione n. Il tempo può essere rappresentato come continuo, $t\in {\bf R}$, oppure discreto, $t\in {\bf Z}$. Il sistema dinamico è la legge che esprime la variazione nel tempo, la sua soluzione è l'insieme delle orbite, in funzione delle condizioni iniziali.


Definizione:



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Il sistema dinamico è definito dalla legge che governa il cambiamento, cioè dal campo vettoriale $F$ o dalla mappa $f$, non dalle orbite, anche se ovviamente date tutte le orbite si può ricostruire il sistema dinamico; viceversa non è in generale facile trovare tutte le orbite di un sistema dinamico dato.

Interpretare la variabile indipendente $t$ di un sistema dinamico continuo come tempo è abbastanza naturale, ma non è obbligatorio. Anche l'indice $k$ della successione che risolve un sistema dinamico discreto può indicare un tempo, sia inteso come approssimazione di un tempo continuo, sia perché lo stato ha senso solo a intervalli discreti di tempo (per esempio ogni giorno lavorativo nel caso di variabili economiche).

Si usa la parola soluzione per indicare una curva $X(t)$ che soddisfa all'equazione di un sistema dinamico continuo solo per valori di $t$ in un intervallo aperto. Non è detto a priori che un sistema dinamico continuo abbia soluzioni definite per ogni $t\in {\bf R}$, che quindi costituiscano delle orbite; una soluzione $X(t)$ (oppure $X_k$) potrebbe uscire da $W,$ o andare all'infinito, per $t$ finito (oppure $k$ finito). Le condizioni per cui ogni punto di $W$ appartiene ad un'orbita nel caso continuo saranno discusse nell'appendice A.5.

Nel caso discreto, poiché per definizione l'applicazione $f$ è iniettiva e surgettiva su $W$, per ogni $X_0\in W$ esiste un'orbita definita da:

\begin{displaymath}
X_k=f^k(X_0)\ \ ,\ \ k\in {\bf Z}\ .\end{displaymath}

Nelle ipotesi qui fatte ogni sistema dinamico è tale che, per ogni condizione iniziale $X_0$, l'orbita tale che $X(0)=X_0$ se esiste è unica. Questo è ovvio nel caso discreto, è invece un risultato significativo nel caso continuo, che sarà dimostrato nell'appendice A.5.

Andrea Milani 2009-06-01