3.1 STABILITÀ

Sommario Un sistema dinamico continuo ha una soluzione per ogni condizione iniziale; se per ogni $t>0$ essa resta in un compatto, allora avrà senso chiedersi quale ne sia il limite per $t\to +\infty$. Se una soluzione ha un limite finito per $t\to \pm \infty$, questo limite sarà un punto di equilibrio. Un punto di equilibrio è considerato stabile se tutte le soluzioni ad essa vicine restano vicine, asintoticamente stabile se esse hanno anche lo stesso limite.

Punti di equilibrio

Un sistema dinamico continuo $\dot X = F(X)$, con $F$ una funzione $F:W\mapsto{\bf R}^n$ regolare (di classe almeno $C^1$) su un aperto $W\subset{\bf R}^n$, ammette sempre una ed una sola soluzione che passa per la condizione iniziale $X(0)=X_0\in W$ (per il teorema di esistenza e unicità). Un caso particolarmente semplice si verifica quando $F(X_0)=\underline{0}$:

Definizione:

Se $F(X_0)=\underline 0$ il punto $X_0$ si dice punto di equilibrio del sistema dinamico. La soluzione costante $X(t)=X_0$, essendo sempre definita, è l'orbita del sistema dinamico con condizione iniziale $X_0$.

Per il teorema di esistenza e unicità tale soluzione è unica, quindi un'altra soluzione non può entrare (o uscire) dal punto di equilibrio. In molti esempi, come nei punti di tipo nodo oppure fuoco, esistono soluzioni che si avvicinano sempre di più ad un punto di equilibrio, o per $t\to +\infty$ o per $t\to -\infty$, ma non arrivano a coincidere con esso per nessun $t$ finito.

Il teorema di esistenza e unicità in generale non garantisce l'esistenza di un'orbita, definita per ogni $t\in {\bf R}$, ma solo una soluzione definita per valori di $t$ in un intorno dello zero. Le soluzioni possono essere espresse collettivamente mediante il flusso integrale, che però in generale non è definito per ogni $t\in {\bf R}$, e neppure per ogni condizione iniziale $X_0\in {\bf R}$ per un $t=h\neq 0$ fissato: infatti l'intervallo su cui ogni soluzione è definita dipende dalla condizione iniziale:

$$\Phi: D\longmapsto W \hspace{5mm},\hspace{5mm} \Phi(t,X)=\Phi^t(X) \hspace{5mm},\hspace{5mm} D\subset {\bf R}\times W$$

Il flusso integrale rappresenta collettivamente tutte le soluzioni del sistema dinamico continuo, nel senso che per $X_0$ fisso e $t$ variabile $\Phi^t(X_0)$ è la soluzione con condizioni iniziali $X_0$:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \frac{\partial {\P... ...)} & {\displaystyle=} &{\displaystyle X_0} \end{array}\right.$$

Per il teorema di continuità del flusso la funzione $\Phi^t$, per $t$ fisso, è una funzione continua in tutti i punti $X$ in $W$ in cui è definita (tale funzione è addirittura differenziabile, come risulta dal teorema di differenziabilità del flusso).

Il teorema di continuazione delle soluzioni assicura che la soluzione non cessa di essere definita ad un tempo finito $t_1$, a meno che per $t\to t_1$ la soluzione stessa non tenda verso la frontiera di $W$ (in un senso che viene precisato nella sezione A.5). Perciò se una soluzione resta limitata ``per sempre'' (diciamo per ogni $t>0$) ha senso chiedersi quale ne sia il limite per $t\to +\infty$.

Se la soluzione $X(t)$ ha limite per $t\to +\infty$:

$$\lim_{t\to+\infty} X(t)=X_S$$

e questo punto limite appartiene all'aperto $W$ su cui il campo vettoriale $F(X)$ è definito e regolare, allora $X_S$ è un punto di equilibrio. Lo stesso vale nel caso del limite per $t\to -\infty$.

Dimostrazione:

Sia $Y(t)$ la soluzione passante per il punto limite $X_S$ al tempo $t=0$; per il teorema di esistenza e unicità $Y(t)$ esisterà per un $h>0$ abbastanza piccolo. Poiché il flusso integrale $\Phi^t$ è, per ogni $t$ fisso, una funzione continua delle condizioni iniziali, facendo passare il tempo $h$ su entrambi i membri della formula del limite:


$$\Phi^h(X_S)=\Phi^h\left(\lim_{t\to+\infty} X(t)\right)= \lim_{t\to+\infty} X(t+h)=X_S\;.$$



Perciò il punto $X_S$ sta fermo, cioè è un punto di equilibrio.

 C.D.D.

Stabilità

La stabilità è un concetto base nella teoria dei sistemi dinamici, e forse proprio per questo ne esistono molte diverse definizioni. Qui presentiamo solo i due tipi principali di stabilità per un punto di equilibrio di un sistema dinamico continuo.

Definizione:

Il punto $S$ in $W$ si dice attrattivo se esiste un intorno $U$ di $S$ (contenuto in $W$) tale che per ogni condizione iniziale $X_0$ in $U$, la soluzione $X(t)$ ad essa corrispondente ha $S$ come limite:

$$\lim_{t\to+\infty} X(t)=S$$



Per il teorema qui sopra, il punto attrattivo $S$ deve essere di equilibrio.

Esempio:

Il sistema dinamico lineare


$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displa... ... & {\displaystyle=} &{\displaystyle bx+ay} \end{array}\right.$$


con $a<0$, ha nell'origine un punto di equilibrio di tipo fuoco che è attrattivo. Infatti, in coordinate polari

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle r} & {\displaysty... ...frac x{r^2}\,\dot y -\frac y{r^2}\,\dot x} \end{array}\right.$$


il sistema dinamico diventa:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot r} & {\displ... ... x{r^2}\,(bx+ay) -\frac y{r^2}\,(ax-by)=b} \end{array}\right.$$


ed il limite di tutte le soluzioni diverse dall'equilibrio è espresso da

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \lim_{t\to+\infty... ...isplaystyle=} &{\displaystyle \pm \infty} \end{array}\right.$$


per cui l'origine è comunque punto limite, le soluzioni si avvolgono a spirale attorno all'equilibrio (in verso antiorario se $b>0$).

La coordinata polare $\theta$ non è definita in ogni caso dalla funzione arcotangente, che assume solo valori tra $-\pi/2$ e $\pi/2$. In effetti $\theta$ è una variabile angolo, cioè è definita solo a meno di multipli di $2\pi$; però la derivata totale di $\theta$ è ben definita per ogni punto diverso dall'origine (i calcoli eseguiti qui sopra sono quindi corretti).

Definizione:

Se $S$ è un punto di equilibrio, si dice bacino (o anche bacino di attrazione) di $S$ l'insieme $U$ delle condizioni iniziali tali che le corrispondenti soluzioni hanno $S$ come punto limite.

$S$ stesso appartiene sempre al suo bacino. $S$ è attrattivo se e solo se sta nella parte interna del suo bacino di attrazione. Anche un punto non attrattivo può avere un bacino di attrazione, come nel caso della sella instabile.

Esempio:

Nell'esempio precedente di un punto di equilibrio tipo fuoco in un sistema lineare, il bacino di attrazione è tutto ${\bf R}^2$.

Definizione:

Un punto $S$ in $W$ si dice stabile se per ogni intorno $U$ di $S$ esiste un intorno $V$ di $S$ (si intende che $U,V\subset W$) tale che ogni soluzione con condizione iniziale in $V$ sta in $U$ per ogni $t\geq 0$.

Si noti che l'intorno $V$ dipende dalla scelta di $U$, cioè tutte le soluzioni che partono vicino a $S$ restano in un suo intorno arbitrariamente piccolo, ma a condizione di avere condizione iniziale adeguatamente vicina.

Un punto stabile deve essere di equilibrio: se così non fosse, prendiamo un punto $Y\neq S$ sulla stessa soluzione, cioè con $\Phi^h(S)=Y$. Allora esiste un intorno $U$ di $S$ che non contiene $Y$; qualunque sia l'intorno $V$ di $S$, esso contiene $S$, e ogni soluzione passante per $S$ non può stare definitivamente in $U$ perché se per $t=k$ passa per $S$, per $t=k+h$ passa per $Y$ che non è in $U$.

Un punto stabile e attrattivo si dice asintoticamente stabile.

Un punto attrattivo non è necessariamente stabile, ma i controesempi non sono semplici.

Esempio:

Il sistema dinamico lineare:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displa... ... y} & {\displaystyle=} &{\displaystyle bx} \end{array}\right.$$


con $b\neq 0$ ha un punto di equilibrio di tipo centro nell'origine, che è stabile, ma non attrattivo. Infatti in coordinate polari:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot r} & {\displ... ...aystyle=} &{\displaystyle \theta_0+bt} \end{array}\right. \ .$$


Il limite per $t\to +\infty$ non esiste, ma gli insiemi del tipo $B_\delta=\{r<\delta\}$ sono un sistema fondamentale di intorni, ciascuno dei quali è invariante per il flusso integrale. Quindi l'origine è stabile ma non asintoticamente stabile.

Definizione:

Un punto di equilibrio $S$ si dice instabile se ha un intorno $U$ tale che per ogni intorno $V$ di $S$ esiste una condizione iniziale $X_0$ in $V$ la cui soluzione non sta in $U$ per qualche $t\geq 0$. Un punto è instabile se e solo se non è stabile.

Assegnato l'intorno $U$, l'intorno $V$ è scelto arbitrariamente piccolo, eppure alcune soluzioni che partono da $V$ finiscono con l'uscire da $U$.

Esempio:

Attorno al punto di equilibrio di tipo sella del sistema dinamico lineare:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...y} & {\displaystyle=} &{\displaystyle b y} \end{array}\right.$$


con $a>0>b$, le soluzioni con condizione iniziale $(x_0,y_0)$ con $x_0\neq 0$ tendono all'infinito per $t\to +\infty$, anche per un $x_0$ arbitrariamente piccolo, perciò l'origine è un punto di equilibrio instabile. Il bacino del punto di equilibrio è costituito dai punti con $x_0=0$.

Problema Sia $A$ una matrice $n\times n$ con autovalori che hanno tutti parte reale nulla. Provare che per il sistema dinamico lineare $\dot X = A\, X$ l'origine è un punto stabile se e solo se $A$ è una matrice semisemplice. (Soluzione)

Gli esempi qui sopra sono sistemi dinamici lineari, dei quali è possibile scrivere esplicitamente le soluzioni; perciò lo studio del comportamento qualitativo delle soluzioni, come per esempio la stabilità, è banale. Al contrario, le definizioni qualitative come la stabilità diventano uno strumento essenziale quando si ha a che fare con un sistema dinamico nonlineare.