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2.4 AUTOVALORI COMPLESSI

Sommario Se la matrice di un sistema dinamico lineare ha autovalori complessi, non è diagonalizzabile. Però può essere diagonalizzabile in campo complesso. Ad ogni coppia di autovalori complessi coniugati corrisponde un blocco $2\times 2$ che si può mettere in una forma canonica. Queste forme canoniche costituiscono un modello del campo complesso.

Forma matriciale dei numeri complessi

Tra le matrici a coefficienti reali di tipo $2\times 2$ consideriamo il sottospazio ${\bf C}$ di dimensione 2 delle matrici della forma

\begin{displaymath}
\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\
{b}&{a}\end{array}\right...
...array}{cc}{0}&{-1}\\
{1}&{0}\end{array}\right] = a\,I + b\,J
\end{displaymath}

Il sottospazio ${\bf C}$ è generato da $I,J$, dove $I$ è la matrice identità e $J$ la matrice antisimmetrica definita sopra. In questa rappresentazione matriciale del numero complesso, la scelta di $J$, che determina la struttura complessa, deve rispettare il requisito $J^2=-I$. Ogni matrice di ${\bf C}$ è quindi presentabile in tre forme: come matrice, come combinazione lineare della base $\{I,J\}$ e come coppia di coordinate rispetto alla base:

\begin{displaymath}
\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\
{b}&{a}\end{array}\right] = a\,I + b\, J \simeq (a,b)
\end{displaymath}

La forma $a\,I + b\,J$ dà la rappresentazione algebrica del numero complesso; la forma $(a,b)$ dà la rappresentazione cartesiana del numero complesso (nel cosiddetto piano di Argand-Gauss).

L'insieme ${\bf C}$ di matrici non solo è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione per uno scalare, ma anche rispetto al prodotto di matrici. Infatti

\begin{displaymath}
\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\
{b}&{a}\end{array}\right...
...&{-(ad+bc)}\\
{bc+ad}&{-bd+ac}\end{array}\right] \in {\bf C}
\end{displaymath}

Il fatto più notevole a proposito del prodotto in ${\bf C}$ è che essa gode della proprietà commutativa:

\begin{displaymath}
(a\,I +b\,J)\,(c\,I+d\,J)=(c\,I+d\,J)\,(a\,I +b\,J)
\end{displaymath}

che non vale in generale per le matrici quadrate qualsiasi.

Il generatore $I$ è l'unità reale ed il generatore $J$ l'unità immaginaria: se $z=a\,I +b\,J$, allora $a=Re(z),\;
b=Im(z)$. Il sottospazio di ${\bf C}$ generato da $I$ contiene i numeri complessi che possono essere identificati con i numeri reali, tramite la corrispondenza biunivoca tra $\lambda I\in {\bf C}$ e $\lambda\in {\bf R}$ ; si usa perciò dire che $\lambda\, I + 0\,J$ è un numero reale. Questa identificazione consente anche di scrivere semplicemente $z=a+J\,b$, dove si sottintende l'unità reale.

L'uso anche contemporaneo delle diverse rappresentazioni dei numeri complessi è possibile senza contraddizioni. Si possono per esempio mescolare due modelli di numeri complessi ottenendo una definizione consistente di prodotto; se infatti $z=x+Jy$, $w=u+Jv$, possiamo eseguire il prodotto $w\,z$ usando per $w$ la rappresentazione come matrice, e la rappresentazione cartesiana $z\in{\bf R}^2$, pur di considerare $z$ come vettore colonna, ed usando il prodotto di matrici riga per colonna:

\begin{displaymath}
w\,z=\left[\begin{array}{cc}{u}&{-v}\\
{v}&{u}\end{array}\...
...t]=\left[\begin{array}{c}{ux-vy}\\
{vx+uy}\end{array}\right]
\end{displaymath}

Poiché per ogni matrice di ${\bf C}$:

\begin{displaymath}
det\, \left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\
{b}&{a}\end{array}\right]=a^2+b^2 \geq 0
\end{displaymath}

definiamo, per ogni $z\in {\bf C}$, il modulo di $z$ come $\vert z\vert=\sqrt{det\,z}$. Il modulo così definito ha le stesse proprietà della lunghezza di un vettore:

\begin{displaymath}
\vert z\vert=0 \iff z=0\,I + 0\,J
\hspace{5mm},\hspace{5mm}
...
...5mm},\hspace{5mm}
\vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert
\end{displaymath}

In effetti, se consideriamo la forma cartesiana del numero complesso, cioè $z=(x,y)$, allora $\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}$, ossia il modulo del numero complesso è la lunghezza del vettore che lo rappresenta nel piano di Argand-Gauss. D'altro canto se $z=(a,0)$ è un numero complesso che è anche reale, $\vert z\vert=\vert a\vert$, cioè i tre usi dello stesso simbolo (e i due della stessa parola ``modulo") non portano ad alcuna contraddizione.

Poiché il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine nel piano di Argand-Gauss, ossia il raggio delle coordinate polari, vogliamo definire la variabile angolo che assieme ad essa forma le coordinate polari. Se $\vert z\vert=r>0$, esiste una ed una sola matrice di rotazione tale che

\begin{displaymath}
z=r\, \left[\begin{array}{cc}{\cos\theta}&{-\sin\theta}\\
{\sin\theta}&{\cos\theta}\end{array}\right]
\end{displaymath}

Infatti

\begin{displaymath}
z/r= \left[\begin{array}{cc}{x}&{-y}\\
{y}&{x}\end{array}\right] \ \ con \ \ x^2+y^2=1
\end{displaymath}

e usando la parametrizzazione della circonferenza $x^2+y^2=1$ mediante seno e coseno si ottiene la matrice di rotazione. Allora l'insieme degli angoli $\theta $ di rotazione della matrice $z/r$ si chiama argomento del numero complesso $z$, e si indica con $arg(z)$ (si tratta in effetti di una variabile angolo).

Il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli; gli argomenti del prodotto sono la somma degli argomenti. Infatti dati $z,w\in C$

\begin{displaymath}
\vert zw\vert=\sqrt{det(zw)}=\sqrt{det(z)\, det(w)}=\vert z\vert\,\vert w\vert
\end{displaymath}

per il teorema del determinante del prodotto. Se poi

\begin{displaymath}
z=r\,(\cos\theta\, I + \sin\theta\,J)\hspace{5mm},\hspace{5mm}
w=s\,(\cos\phi\, I + \sin\phi\,J)
\end{displaymath}

con $r,s\in {\bf R}$, allora, eseguendo il prodotto

\begin{displaymath}
zw=(rs)\,[(\cos\theta\cos\phi -\sin\theta\sin\phi)\,I +
(\cos\theta\sin\phi + \sin\theta\cos\phi)\, J =\end{displaymath}


\begin{displaymath}=(rs)\,[\cos(\theta+\phi)\, I + \sin(\theta+\phi)\, J]
\end{displaymath}

L'ultimo passaggio si può giustificare in due modi: o con le formule di addizione della trigonometria, o perché $\cos\theta\, I + \sin\theta\, J$ è la matrice associata ad una rotazione dell'angolo $\theta $ (in verso antiorario), $\cos\phi\, I
+ \sin\phi\,J$ è la matrice associata alla rotazione di $\phi$, e la composizione di due rotazioni è la rotazione dell'angolo somma. In altre parole, non occorre ricordare le formule di addizione se ci si ricordano le regole per moltiplicare i numeri complessi (che poi discendono semplicemente dalle regole $IJ=JI=J\,,\; JJ=-I$).

Data $z\in {\bf C}$, chiamiamo complesso coniugato di $z$, e indichiamo con $\overline z$, la matrice trasposta di $z$ (che è pure in ${\bf C}$):

\begin{displaymath}z=\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\
{b}&{a}\end{array}\right] = a\,I+b\,J\simeq (a,b)\end{displaymath}


\begin{displaymath}\overline z = {\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\
{b}&{a}\en...
...a}&{b}\\
{-b}&{a}\end{array}\right] =
a\,I-b\,J\simeq (a,-b)\end{displaymath}

Il complesso coniugato ha la stessa parte reale $Re(z)$, e parte immaginaria opposta $-Im(z)$. Ha quindi anche lo stesso modulo $\vert z\vert$, ed argomenti opposti $-arg(z)$. Vale la proprietà: $\overline{z+w}=
\overline z + \overline w$. Anche per il prodotto:

\begin{displaymath}
\overline{zw}=(zw)^T = w^T z^T= \overline w\, \overline z= \overline
z\,\overline w
\end{displaymath}

L'inverso di $z\in {\bf C}$, $z\neq 0$, si può calcolare come

\begin{displaymath}
z^{-1}=\frac{\overline z}{\vert z\vert^2}
\end{displaymath}

Infatti

\begin{displaymath}
z^{-1}={\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\
{b}&{a}\end{arra...
...{a}\end{array}\right]}^T = \frac 1{\vert z\vert^2}
\overline z
\end{displaymath}

Seguono dalla formula dell'inverso le proprietà:

\begin{displaymath}
\vert z^{-1}\vert=\vert z\vert^{-1} \hspace{5mm},\hspace{5mm}arg(z^{-1})=-arg(z)
\end{displaymath}

La potenza $n$-esima di un numero complesso $z$ è definita per induzione nello stesso modo della potenza di un numero reale: $z^0=1,\; z^{n+1}=z^n\,z$. Usando la formula del modulo del prodotto e dell'argomento del prodotto si mostra che

\begin{displaymath}
\vert z^n\vert=\vert z\vert^n\hspace{5mm},\hspace{5mm}
arg(z^n)=n\, arg(z)
\end{displaymath}

Le formule del modulo e dell'argomento della potenza valgono per ogni $n$ intero, anche negativo, purché naturalmente si intenda $z^{-k}=(z^{-1})^k=(z^k)^{-1}$.

Sia $z=a\,I +b\,J$ una matrice di ${\bf C}$: le radici dell'equazione caratteristica, cioè i valori di $\lambda\in
{\bf C}$ tali che

\begin{displaymath}
det\,[z-\lambda I]=0
\end{displaymath}

sono i numeri complessi $z$ e $\overline z$. Infatti sia $Re(z)=a, Im(z)=b$:

\begin{displaymath}
det\,[z-\lambda I]=det\;\left[\begin{array}{cc}{a-\lambda}&{-b}\\
{b}&{a-\lambda}\end{array}\right]
=(a-\lambda)^2 + b^2=0
\end{displaymath}

ha soluzione $\lambda=a\,I \pm b\, J$. Questo è un caso particolare del teorema di Hamilton-Cayley.

Sistemi dinamici lineari complessi

Consideriamo ora un sistema dinamico lineare con matrice non diagonalizzabile (in campo reale) di questo tipo:

\begin{displaymath}
\left[\begin{array}{c}{\dot x}\\
{\dot y}\end{array}\right...
...}\right]\; \left[\begin{array}{c}{x}\\
{y}\end{array}\right]
\end{displaymath}

e costruiamo una variabile complessa $z=x+ J\,y$; poiché come già osservato si possono mescolare le due rappresentazioni matriciali e vettoriali, ponendo $w = a + J\,b$ il secondo membro dell'equazione differenziale si può esprimere come prodotto in ${\bf C}$:

\begin{displaymath}
\dot z = w\, z
\end{displaymath}

dove $w\in {\bf C}$ è la stessa cosa di $A$ considerata come numero complesso; allora la soluzione si ottiene mediante la funzione esponenziale di argomento complesso, che è definita dalla serie:

\begin{displaymath}
\sum_{i=0}^{\infty}\frac{w^it^i}{i!}=\exp(wt)\end{displaymath}

la cui convergenza è garantita dal teorema di convergenza in norma, usando il modulo del numero complesso come norma. Se la condizione iniziale è $z(0)=z_0=x_0+J\,y_0$:

\begin{displaymath}
z(t)=x(t)+J\, y(t)=e^{w\,t}\,z_0\end{displaymath}

da cui la soluzione nel senso reale:

\begin{displaymath}x(t)=Re\left(e^{w\,t}\,z_0\right)\hspace{5mm},\hspace{5mm}
y(t)=Im\left(e^{w\,t}\,z_0\right)\end{displaymath}

L'ambiguità nell'espressione $\exp(wt)$, tra la funzione esponenziale di una variabile complessa e l'esponenziale di matrice, non crea alcun problema. In effetti le due serie coincidono e la loro convergenza può essere dimostrata usando o il modulo $\vert wt\vert$ o la norma di matrice $\vert\vert wt\vert\vert$ nel teorema di convergenza in norma.

Esempio:


Esempio:


Centri e fuochi

Per trattare il caso generale dell'equazione $dz/dt=w\,z$ con $w\in {\bf C}$ occorre utilizzare il teorema della somma degli esponenti: poiché le due matrici $I,J$ commutano tra loro ($IJ=JI=J$):

\begin{displaymath}
A=a\, I + b\,J \hspace{5mm},\hspace{5mm}\exp(A\,t)= \exp(a\,t\,I)\; \exp(b\,t\,J)\end{displaymath}

e quindi usando i calcoli eseguiti nei due esempi precedenti:

\begin{displaymath}
\exp(A\,t)=e^{a\,t}\, [\cos(b\,t)\,I + \sin(b\,t)\,J]\end{displaymath}

Allora le soluzioni di $dz/dt=w\,z$ dove $w=A\in {\bf C}$ sono le seguenti:

\begin{displaymath}
x(t)+J\,y(t)=\exp(A\, t)\, z_0= e^{a\,t}\, (\cos(b\,t)\,I +
\sin(b\,t)\,J)\,(x_0+J\,y_0)
\end{displaymath}

e per ottenere le soluzioni in forma reale basta moltiplicare ed separare parte reale e parte immaginaria:

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lcl}
{\displaystyle x(t)} & {\display...
...,t}\, [\sin(b\,t)\, x_0 +\cos(b\,t)\,y_0]}
\end{array}\right.
\end{displaymath}


Il flusso integrale al tempo $t$ si può descrivere come una rotazione di un angolo $b\,t$ seguita da un'omotetia di un fattore $\exp(a\,t)$.

Vorremmo generalizzare questa soluzione al caso di una arbitraria matrice $A$ di tipo $2\times 2$ con autovalori complessi coniugati $a+J\,b,\; a-J\,b$. Consideriamo $A$ come operatore lineare su ${\bf C}^2$; allora esistono in ${\bf C}^2$ due autovettori:

\begin{displaymath}
A\, W = (a+J\,b)\,W \hspace{5mm},\hspace{5mm}A\, Z = (a-J\,b)\,Z .
\end{displaymath}

Gli autovettori relativi ai due autovalori coniugati possono essere scelti in modo da essere coniugati tra loro: $Z=\overline W$; infatti, $A$ è reale, $\overline A=A$ e quindi:

\begin{displaymath}
A\, \overline{W}=\overline{A\,W}=\overline{(a+J\,b)\,W}=
(a-J\,b)\, \overline{W}
\end{displaymath}

Consideriamo in ${\bf R}^2$ i due vettori

\begin{displaymath}
Y=Re(W)=\frac{W+\overline W}2\hspace{5mm},\hspace{5mm}X=Im(W)=\frac{W-\overline W}{2\sqrt{-1}}
\end{displaymath}


Il simbolo $\sqrt{-1}$ è stato usato al posto di $J$ per evitare confusione tra le operazioni matriciali e le operazioni algebriche in ${\bf C}$. Allora riscriviamo le equazioni degli autovalori in termini di $X,Y$:

\begin{displaymath}
A\,W=A\,(Y+\sqrt{-1}\,X)= A\, Y + \sqrt{-1}\, A\, X =
(a+\sqrt{-1}\, b)\, (Y+\sqrt{-1}\, X)
\end{displaymath}

e separando parte reale e parte immaginaria:

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lcl}
{\displaystyle A\, X} & {\displa...
...isplaystyle=} &{\displaystyle -b\,X+ a\,Y}
\end{array}\right.
\end{displaymath}

Supponiamo di usare un sistema di riferimento definito dalla base $\{X,Y\}$. Verificare che i vettori $X,Y$ sono linearmente indipendenti. L'applicazione associata ad $A$ con la base canonica è associata nella nuova base a

\begin{displaymath}
Q=\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\
{b}&{a}\end{array}\right]= a\, I + b\,J
\end{displaymath}

Perciò se si vuole calcolare l'esponenziale di matrice di $A$, si può calcolare $\exp(Q\, t)$ che è data dalla formula del caso precedente, e poi usare:

\begin{displaymath}
\exp(A\,t)=\exp(B^{-1}\, Q\, B\,t)=B^{-1}\, \exp(Q\,t)\, B
\end{displaymath}

dove $B^{-1}=[X,Y]$ ha come colonne i vettori della nuova base.

Figura 2.3: Un punto di equilibrio di tipo fuoco; a sinistra in forma canonica.
\begin{figure}{\centerline{\epsfig{figure=figures/figfuoco.ps,height=7cm}}}
\end{figure}

In conclusione, se una matrice $2\times 2$ ha autovalori complessi coniugati, è sempre possibile riportarla con un cambiamento di riferimento ad una matrice che appartiene a ${\bf C}$, e che corrisponde ad uno degli autovalori.

Possiamo quindi studiare il comportamento qualitativo con la forma canonica

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lcl}
{\displaystyle \dot x} & {\displ...
...aystyle=} &{\displaystyle b\,x + a\,y}
\end{array}\right. \ .
\end{displaymath}

Figura 2.4: Un punto di equilibrio di tipo centro; a sinistra in forma canonica.
\begin{figure}{\centerline{\epsfig{figure=figures/figcentro.ps,height=7cm}}}
\end{figure}


Il comportamento qualitativo delle soluzioni dipende solo dal segno di $a$:

Problema Nel piano $(x_1,x_2)$ determinare tutte le curve $X\colon{\bf R}\to{\bf R}^2$, la cui tangente nel punto $P$ forma un angolo costante $\omega$ con il vettore che congiunge l'origine con $P$. Per quali $\omega$ le curve sono limitate ?

(Soluzione)

Esercizio Descrivere tutte le soluzioni di $\dot X =AX$ dove $X\in {\bf R}^2$ e la matrice

\begin{displaymath}
A=\left[\begin{array}{cc}{2}&{-3}\\
{2}&{\phantom{-}2}\end{array}\right] \ .
\end{displaymath}

(Soluzione)

Sistema semisemplice


Definizione:



Una matrice con tutti gli autovalori, reali o complessi, semplici (nel senso di molteplicità algebrica 1) è certamente semisemplice, perché gli autovettori corrispondenti ad autovalori diversi sono sempre linearmente indipendenti, e per il teorema fondamentale dell'algebra gli autovalori sono esattamente $n$. Però una matrice può essere semisemplice anche con degli autovalori multipli.

Se la matrice $A$ è semisemplice, allora tutte le orbite del sistema dinamico:

\begin{displaymath}
\dot X = A\, X\hspace{5mm},\hspace{5mm}X\in {\bf R}^n\end{displaymath}

si possono esprimere mediante combinazioni lineari di funzioni esponenziali $\exp(a_k\,t)$ (dove gli $a_i$ sono le parti reali degli autovalori di $A$) moltiplicate per funzioni trigonometriche $\cos(b_k\,t)$ e $\sin(b_k\,t)$ (dove i $b_k$ sono le parti immaginarie degli autovalori di $A$).

Dimostrazione:

 C.D.D.


Esercizio Determinare il flusso integrale del sistema dinamico

\begin{displaymath}
\left\{\begin{array}{lcl}
{\displaystyle \frac{d\,X}{dt}}...
...}
{3}&{1}&{-4}\\ {3}&{4}&{-3}\\ {-1}&{4}&{0}\end{array}\right]
\end{displaymath}

e determinare quali orbite hanno $\underline 0$ come limite per $t\to +\infty$, quali per $t\to -\infty$.

(Soluzione)

Andrea Milani 2009-06-01