A.1 ALGEBRA LINEARE, POLINOMI

Polinomio caratteristico

Data una matrice quadrata $A$ di tipo $n\times n$, i vettori $V\in {\bf R}^n$ tali che $A\,V=\lambda\,V$ sono gli autovettori di $A$; i numeri $\lambda\in {\bf R}$ sono gli autovalori. Poiché la stessa matrice definisce anche una trasformazione lineare di ${\bf C}^n$ in sé, $A$ può anche avere autovalori ed autovettori complessi. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico $det[A-\lambda I]$, che ha grado $n$, ed i cui coefficienti sono invarianti per coniugio della matrice $A$, come la traccia ed il determinante.

La molteplicità dell'autovalore $\lambda$ è la dimensione del sottospazio vettoriale (di ${\bf R}^n$, oppure di ${\bf C}^n$) degli autovettori con quell'autovalore. La molteplicità algebrica del numero $\lambda$ come radice del polinomio caratteristico è maggiore o uguale della molteplicità dell'autovalore.

Il numero di radici di un'equazione algebrica in una variabile, con polinomio di grado $n$, contando ogni radice con la sua molteplicità algebrica, è $n$.

Per esempio, le radici dell'equazione $\lambda^n-1=0$ sono le $n$ radici dell'unità di ordine $n$, numeri complessi di modulo 1 e argomento multiplo di $2\pi/n$.

Se $P(\lambda)=det[A-\lambda I]$ è il polinomio caratteristico della matrice $A$, allora $P(A)$ è la matrice nulla.

Forme canoniche

Ogni matrice $A$ di tipo $n\times n$ si può scrivere in uno ed un solo modo come somma di una matrice semisemplice e di una matrice nilpotente: $A= S + N$ che commutano tra loro: $SN=NS$.

Si noti che questo teorema vale sia per $A$ a coefficienti complessi (con $S,N$ pure a coefficienti in ${\bf C}$), sia per $A$ a coefficienti reali, nel qual caso anche $S,N$ sono a coefficienti reali.

Per ogni matrice quadrata $N$ che sia nilpotente, cioè tale che $N^k$ è la matrice nulla (per qualche intero $k$), esiste una matrice invertibile $B$ tale che $B^{-1}N\,B$ ha tutti i coefficienti nulli salvo quelli immediatamente sotto la diagonale principale, che valgono $0$ o $1$.

Per ogni matrice quadrata $A$ a coefficienti complessi, esiste una matrice invertibile $B$ (pure a coefficienti complessi) tale che $B^{-1}A\,B$ è nella forma canonica di Jordan, cioè una matrice a blocchi $B^{-1}A\,B= diag\,[D_1, D_2, \ldots, D_k]$, con ogni $D_j$ un blocco di Jordan della forma $D_j=\lambda_j\,I + N_j$, dove $\lambda_j$ è un autovalore di $A$ (reale o complesso) ed $N_j$ è un nilpotente in forma canonica con tutti i coefficienti immediatamente sotto la diagonale principale uguali ad 1, e gli altri nulli.

Per ogni matrice $A$ a coefficienti reali, esiste una matrice invertibile $B$ (pure a coefficienti reali) tale che $B^{-1}A\,B$ è nella forma canonica di Jordan reale

$$B^{-1}A\,B= diag\,[D_1, D_2, \ldots, D_s, C_1, C_2, \ldots, C_r]$$

dove ciascun blocco di Jordan reale è della forma $D_j=\lambda_j\,I + N_j$, dove $\lambda_j$ è un autovalore reale di $A$, oppure

$$C_j=diag\,[Z_j,Z_j,\ldots,Z_j] + M_j$$

dove $Z_j$ è la matrice $2\times 2$ che rappresenta il numero complesso $z_j$, con $(z_j\,\overline{z_j})$ una coppia di autovalori complessi coniugati di $A$, ed $M_j$ è un nilpotente con tutti i coefficienti due diagonali sotto la diagonale principale uguali ad 1, e gli altri nulli.

Ogni matrice quadrata e simmetrica $A=A^T$ ammette una matrice $R$ ortogonale (con $R^T=R^{-1}$) tale che $R^TA\,R$ è una matrice diagonale, con sulla diagonale gli autovalori, tutti reali, di $A$.

Bibliografia :

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Abeasis, S. : Algebra lineare e geometria, Zanichelli, Bologna 1990.

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Lang, S. : Algebra lineare, Boringhieri, Torino 1970.