5.2 INTEGRABILITÀ

Sommario I sistemi hamiltoniani ad un grado di libertà sono integrabili nel senso che la soluzione si può esprimere mediante un algoritmo che include quadrature e funzioni implicite. Tutte le curve di livello regolari, semplici e chiuse della funzione hamiltoniana corrispondono ad orbite periodiche.

Legge oraria

Consideriamo una hamiltoniana del tipo che si può ottenere da un sistema newtoniano, e le corrispondenti equazioni di Hamilton:

$$H(p,q)=\frac 1{2m}\, p^2 +V(q) \hspace{5mm},\hspace{5mm} \l... ...splaystyle=} &{\displaystyle \frac 1m\;p} \end{array}\right.$$

Poiché la funzione di Hamilton è un integrale primo, se si fissa il suo valore $E$ l'equazione della curva di livello $H(p,q)=E$ definisce implicitamente una relazione tra $p$ e $q$: per esempio si può ricavare $p$ in funzione di $q$:

$$p=\pm \sqrt{2m\,[E-V(q)]}\;.$$

La funzione $p=p(q)$ così ricavata è ben definita e regolare (di classe $C^1$) per $p\neq 0$, scegliendo opportunamente il segno davanti alla radice secondo il segno di $p$. D'altro canto il momento $p$, per la seconda equazione di Hamilton, è dato da $p=m\dot q$; perciò si può ricavare

$$\frac{d{q}}{d{t}} = \pm \sqrt{\frac{2E-2V(q)}{m}}$$

che è un sistema dinamico in ${\bf R}$, cioè un'equazione differenziale a variabili separabili, la cui soluzione si può ottenere mediante una quadratura

$$t_2-t_1=\pm \sqrt{\frac m2}\int_{q_1}^{q_2}\; \frac{d\,q}{\sqrt{E-V(q)}}\;,$$

dove $q_1,q_2$ sono i valori della coordinata $q$ ai tempi $t_1,t_2$.

Figura 5.1: Il tempo necessario per passare da valore $q1$ al valore $q2$ della coordinata $q$ si calcola mediante una quadratura, ma questa quadratura va calcolata in due pezzi se la velocità cambia segno.

La soluzione del sistema dinamico però richiede la legge oraria del moto, cioè la relazione $q=q(t)$, che è espressa dalla funzione inversa. L'esistenza della funzione inversa richiede che la funzione $t=t(q)$ sia monotona, cioè che $\dot q$ non cambi di segno. Perciò, se una curva di livello $H(p,q)=E$ passa per un punto $p=0,\,q=q^*$ (come in Figura 5.1) il tempo necessario perché la soluzione vada da $(p_1,q_1)$ con $p_1>0$ a $(p_2,q_2)$ con $p_2<0$ passando per $(0,q^*)$ sarà dato dalla somma di due integrali:

$$t_2-t_1= + \sqrt{\frac m2}\int_{q_1}^{q^*} \frac{d\,q}{\sqrt... ... \sqrt{\frac m2}\int_{q^*}^{q_2} \frac{d\,q}{\sqrt{E-V(q)}}\;.$$

Quindi il sistema è integrabile nel senso che la soluzione è definita da equazioni finite (non contenenti le derivate) che però possono coinvolgere una funzione implicita, una quadratura e una funzione inversa.

Orbite periodiche

Il caso più importante dell'applicazione di questo procedimento di calcolo della legge oraria ``a tratti'' è quello del calcolo dei periodi. Un punto di equilibrio di un sistema hamiltoniano è un punto in cui si annullano i due secondi membri delle equazioni di Hamilton, cioè un punto in cui $\nabla H=\underline 0$; quindi è anche un punto stazionario della funzione hamiltoniana. Nel caso delle hamiltoniane $H(p,q)=p^2/2m +V(q)$ questo può verificarsi solo per $p=0$, nei punti $(0,q^*)$ tali che $V'(q^*)=0$.

Figura 5.2: Due curve di livello della funzione hamiltoniana: quella che non contiene punti di equilibrio è l'immagine di un'orbita periodica, mentre quella che contiene un punto di sella per $H(p,q)$ si decompone in immagini di orbite con il punto di sella come punto limite.

Supponiamo che la curva di livello $H(p,q)=E$ non contenga alcun punto di equilibrio; allora nei punti in cui la curva attraversa la retta $p=0$ si ha $\dot q=0$, ma $\dot p\neq0$, cioè la retta $p=0$ viene attraversata trasversalmente. Siano $q_1,\,q_2$ due valori di $q$ tali che $V(q_1)=V(q_2)$, e tali che nell'intervallo $q_1<q<q_2$ vale sempre $V(q)<V(q_1)$. Allora esistono due curve

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle p_+(q)} & {\displ... ... \end{array}\right. \hspace{5mm},\hspace{5mm} E=V(q_1)=V(q_2)$$

definite per $q_1<q<q_2$, e l'insieme dei punti di queste due curve è la traiettoria, cioè l'insieme dei punti percorsi dall'orbita con condizione iniziale $(0,q_1)$ (si veda la Figura 5.2). Infatti la soluzione con questa condizione iniziale è contenuta in $H(p,q)=E$ e non può avere come $\omega$-limite un punto di equilibrio perché nel chiuso $H(p,q)=E$ non ce ne sono. Quindi ogni soluzione passante per $(0,q_1)$, non potendo ``fermarsi'' prima di ripassare per il punto di partenza, è un'orbita periodica. Il periodo è il tempo necessario per ritornare in $(0,q_1)$ partendo dallo stesso punto, quindi è espresso dalla somma

$$P= + \sqrt{\frac m2}\int_{q_1}^{q_2} \frac{d\,q}{\sqrt{E-V(q... ... \sqrt{\frac m2}\int_{q_2}^{q_1} \frac{d\,q}{\sqrt{E-V(q)}}\;,$$

dove i due integrali, per ragioni di simmetria, danno lo stesso contributo: ossia il tempo per andare da $(0,q_1)$ a $(0,q_2)$ passando da valori positivi di $p$, ed il tempo per ritornare a $(0,q_1)$ passando per valori negativi di $p$, sono uguali, e si può scrivere:

$$P= \sqrt{2m}\int_{q_1}^{q_2}\, \frac{d\,q}{\sqrt{E-V(q)}}\;.$$

L'integrale che fornisce il periodo è un integrale improprio in tutti e due gli estremi, poiché $E-V(q_1)=E-V(q_2)=0$. Se però $V'(q_1)\neq 0$, espandendo in $q_1$ la funzione integranda è

$$\frac 1{\sqrt{E-V(q_1)-V'(q_1)(q-q_1)+ o(q-q_1)}} = \frac 1{\sqrt{-V'(q_1)(q-q_1)}+o\left(\sqrt{\vert q-q_1\vert}\right)}$$

e quindi è integrabile perché di ordine di infinito minore di uno rispetto a $1/(q-q_1)$; analogamente nell'intorno di $q_2$. Se invece fosse $V'(q)=0$ in uno dei due estremi, il periodo sarebbe ``infinito'', cioè si avrebbe una traiettoria con insieme limite un punto di equilibrio instabile.

Se invece l'insieme di livello contiene un punto di equilibrio, come nella Figura 5.2 accade per $H(p,q)=E_1$, allora questo potrà essere punto limite per $t\to +\infty$, oppure per $t\to -\infty$ (o anche in entrambi i casi), delle orbite contenute nell'insieme di livello; l'immagine di ogni orbita sarà una componente connessa dell'insieme di livello privato dei punti di equilibrio.

Esempio:

Sia l'energia potenziale, in un intorno di $q=0$, una funzione pari della forma

$$V(q)=\frac 12\, q^2+O(q^4)$$


e la massa $m=1$. Allora la funzione hamiltoniana $H(p,q)=p^2/2+V(q)$ ha in $p=0,\,q=0$ un minimo non degenere; se non ci fosse il termine $O(q^4)$ si avrebbe un oscillatore armonico, con periodo di tutte le orbite pari a $2\pi$. Se si prende la condizione iniziale $p=0, q=q_0$, si ottiene per $q_0$ abbastanza piccolo un'orbita periodica con periodo $P=P(q_0)$. Vogliamo far vedere che

$$\lim_{q_0\to 0}\,P(q_0)=2\pi\;.$$



La formula del periodo data mediante quadrature è


$$P= \sqrt{2}\int_{-q_0}^{q_0}\, \frac{d\,q}{\sqrt{E-V(q)}}\;.$$


dove l'energia dipende dalla condizione iniziale

$$E=E(0,q_0)=V(q_0)=\frac 12\, q_0^2 +O(q_0^3)\;;$$


sostituendo nella formula del periodo

$$P(q_0)= {2}\int_{-q_0}^{q_0}\, \frac{d\,q}{\sqrt{q_0^2-q^2+O(q_0^4)-O(q^4)}}\;.$$


Ora eseguiamo la sostituzione di variabile $q=q_0\,\cos\theta$:

$$P(q_0)=2\int_{0}^{\pi}\, \frac {q_0\sin\theta\,d\,\theta} {q_0\sqrt{1-\cos^2\theta +O(q_0)}}$$


e separando la parte di ordine zero rispetto a $q_0$ dell'integrale:

$$P(q_0)= 2\int_{0}^{\pi}\, \frac {\sin\theta\,d\,\theta}{\s... ... 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,d\,\theta + O(q_0^2)=2\pi +O(q_0^2)$$


ossia il periodo delle piccole oscillazioni tende al periodo del sistema linearizzato, per ampiezza delle oscillazioni $\to 0$, con differenza del secondo ordine di infinitesimo.

In effetti il limite per $q_0\to 0$ andrebbe discusso con qualche precauzione, visto che si tratta di un integrale improprio con parametro; il passaggio al limite è legittimo perché l'integrale improprio resta sempre convergente.

Esercizio Studiare i sistemi dinamici ottenuti dalle hamiltoniane somma di un'energia cinetica $T(p)=p^2/2m$ (con $m>0$) e di un'energia potenziale cubica $V(q)=aq^3 +b q^2 + cq +d$, con $a,b,c,d$ parametri reali.

Suggerimento: Se $a\neq 0$, eseguire una traslazione $x=q-w$ scegliendo la costante $w$ in modo da annullare il termine quadratico.

(Soluzione)

Caso non newtoniano

Questa discussione si generalizza ad una funzione hamiltoniana $H(p,q)$ qualsiasi, anche se non deriva da un sistema newtoniano:

Sia $H(p,q)$ una funzione hamiltoniana di classe $C^2$ su di un aperto $W\subset {\bf R}^2$. Se una componente connessa $C$ dell'insieme di livello $H(p,q)=E$ è non vuota, compatta, e non contiene punti stazionari di $H(p,q)$, allora coincide con la traiettoria di un'orbita periodica. Se invece $C$ contiene dei punti stazionari isolati, allora ogni componente connessa di $C$ privata dei punti stazionari è una traiettoria; la soluzione corrispondente o esce da ogni compatto in $W$ oppure ha come punto limite uno dei punti stazionari (questo vale sia per $t\to +\infty$, sia per $t\to -\infty$). Dimostrazione:

Se $C$ non contiene alcun punto in cui $\nabla H=\underline 0$, allora per il teorema della funzione implicita $C$ è l'immagine di una curva regolare. Se $C$ è compatto, la soluzione con condizione iniziale in un qualunque punto $(p_0,q_0)\in C$ è definita per ogni $t\in {\bf R}$ (per il teorema di continuazione delle soluzioni); quindi deve avere un insieme $\omega$-limite, che per il teorema di Poincaré-Bendixon è un'orbita periodica. Ma una curva regolare connessa che contiene l'immagine di un'orbita periodica non può contenere altri punti.

Se invece $C$ contiene dei punti stazionari, sia $B$ l'insieme formato da $C$ privato dei punti stazionari. $B$ è localmente una curva regolare, e quindi ogni sua componente connessa per archi contiene solo punti appartenenti ad una sola traiettoria.

 C.D.D.

I punti di minimo dell'hamiltoniana sono circondati da curve di livello chiuse, sulle quali le orbite periodiche girano in senso antiorario (infatti $grad H$ è rivolto verso l'esterno delle curve di livello, e $J\,\nabla H$ è ruotato di $+\pi/2$). Questo caso era già noto per una hamiltoniana proveniente da un sistema newtoniano con un minimo dell'energia potenziale. Se invece la hamiltoniana ha un massimo (caso che non si presenta nei sistemi newtoniani) le orbite periodiche vicine girano in senso orario.

Anche il procedimento per calcolare la legge oraria si generalizza ad una funzione hamiltoniana qualsiasi. Sia $H(p,q)$ una funzione hamiltoniana di classe $C^2$ su di un aperto $W\subset {\bf R}^2$. Se

$$\frac{\partial {H}}{\partial {p}}(p_0,q_0)\neq 0$$

allora la soluzione con condizione iniziale $(p_0,q_0)$ può essere calcolata per $t$ in un intorno di 0, utilizzando la funzione $p=p(q)$ implicitamente definita da $H(p(q),q)=E$ (con $E=H(p_0,q_0)$). La quadratura

$$t(q)=\int_{q_0}^q \; \left[{\frac{\partial {H}}{\partial {p}} (p(q'),q')}\right]^{-1}\; {d\,q'}\;,$$

fornisce l'inversa della legge oraria $q=q(t)$; una volta nota la legge oraria, se ne può dedurre la dipendenza dal tempo di $p$ come funzione composta $p(t)=p(q(t))$.

Quando la curva $H(p,q)=E$ passa per un punto in cui $\partial H/\partial p=0$, allora $\dot q=0$, e la quadratura che serve a calcolare la legge oraria viene spezzata in due integrali; in particolare questo è sempre necessario per calcolare il periodo di un'orbita periodica, visto che $q(t)$ avrà sempre sull'orbita stessa almeno un punto di massimo ed un punto di minimo (in cui $\dot q=0$).

Studio qualitativo

Oltre a descrivere le soluzioni mediante quadrature e funzioni inverse, possiamo studiarne le proprietà qualitative.

Per studio delle proprietà qualitative si intende: trovare i punti di equilibrio, determinare eventuali orbite periodiche, individuare le orbite aperte ma definite per ogni $t\in R$, disegnare approssimativamente le separatrici, le curve eccezionali, e alcune soluzioni rappresentative descrivendone gli insiemi limite.

I punti di equlibrio corrispondono ai punti stazionari della hamiltoniana, ed il sistema linearizzato si ottiene dalla matrice hessiana

$$\frac{\partial^2 {H}}{\partial {(p,q)}^2}= A= \left[\begin{array}{cc}{a}&{b}\\ {b}&{d}\end{array}\right]$$

che è simmetrica per il teorema della derivate miste. Il sistema linearizzato ha matrice

$$J\, A= \left[\begin{array}{cc}{0}&{-1}\\ {1}&{\phantom{-}0... ...}{-b}&{-d}\\ {\phantom{-}a}&{\phantom{-}b}\end{array}\right]$$

e quindi traccia nulla, determinante $-b^2+ad=det\, A$. Gli autovalori sono immaginari puri se $det\, A>0$, cioè se $H$ ha un massimo o un minimo locale non degenere; in questo caso il punto di equlibrio è stabile (con $\pm H + cost$ come funzione di Lyapounov). Gli autovalori sono reali e di segno opposto se $det\, A<0$, cioè il punto di equlibrio è una sella nonlineare se il punto stazionario di $H$ è una sella. Con questa informazione è facile tracciare le curve di livello di $H$, quindi le traiettorie, nell'intorno dei punti di equilibrio. Tracciando per prime le separatrici si può subito avere un'idea dell'andamento di tutte le traiettorie.

L'unico passaggio delicato di questo studio qualitativo è quello in cui si decide quali insiemi di livello $H(p,q)=E$ sono compatti: in tal caso se non ci sono punti stazionari l'insieme di livello è unione di componenti connesse che corrispondono ad orbite periodiche, se ci sono punti di equilibrio essi costituiranno gli insiemi limite. Se invece l'insieme di livello è illimitato, o comunque esce da ogni compatto contenuto nell'insieme di definizione di $H(p,q)$, almeno una delle componenti connesse è una curva aperta, cioè parametrizzata in modo iniettivo da un intervallo aperto (per esempio usando il tempo come parametro).

Esempio:

In un sistema hamiltoniano che proviene da uno newtoniano $H(p,q)=p^2/2m +V(q)$, con $V(q)$ definita e di classe $C^1$ sull'intervallo $(a,b)$ (non si esclude che $a=-\infty$, e/o $b=+\infty$), se

$$\lim_{q\to a} V(q)=\lim_{q\to b} V(q)= +\infty$$


allora tutti gli insiemi di livello $H(p,q)=E$ sono compatti, e quindi sono composti da orbite periodiche oppure orbite con punti stazionari di $H(p,q)$ come insiemi limite.

Figura 5.3: Curve di livello sicuramente compatte si ottengono quando il livello $H(p,q)=E$ corrisponde ad un valore inferiore al limite di $V(q)$ per $q$ che tende agli estremi dell'insieme di definizione.



Se invece


$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \lim_{q\to a} V(... ...q)} & {\displaystyle=} &{\displaystyle L} \end{array}\right.$$


allora ogni insieme di livello $H(p,q)=E$ con $E<\min(L,M)$ è certamente compatto (se non è vuoto). $H(p,q)=L$ ed $H(p,q)=M$ sono curve eccezionali.

Esercizio Dati i sistemi dinamici le cui equazioni di Newton sono della forma:

$$\ddot q=\frac{aq^2+bq+c}{q^4}\;,$$

studiare le proprietà qualitative di tutte le soluzioni, in funzione dei parametri reali $a,b,c$.

(Soluzione)

Esercizio

Studiare il sistema dinamico definito dalla hamiltoniana (già usata come esempio nella Sezione 5.1)

$$H(p,q)=\frac{p^2}{2(1+q^2)}+\frac{g\,q^2}2\ .$$

(Soluzione)