Sommario Un sistema alle differenze finite lineari si risolve
calcolando le potenze di una matrice; questo calcolo diventa molto
più semplice se la matrice è ridotta alla forma canonica di
Jordan. Modelli alle differenze finite lineari sono impiegati in molti
campi; qui diamo degli esempi tratti dalla modellizzazione di fenomeni
economici.
Un sistema dinamico discreto lineare in è
della forma:
Si può
allora cercare di semplificare questo calcolo mediante un
cambiamento di coordinate lineare: se
è la stessa orbita vista in un nuovo sistema di coordinate,
associate alla base
mediante la matrice
con
colonne
(si ricorda che in tal caso
è invertibile, e
), allora
Quindi nel nuovo sistema di coordinate il sistema dinamico
discreto ha per matrice
e per soluzione
; se la nuova base è scelta in modo che il calcolo
delle potenze di
sia più semplice, allora converrà esprimere
la soluzione passando attraverso
, cioè:
L'analogia con il caso continuo è così stretta che non vale la pena di ripetere la discussione dei vari casi di autovalori coniugati, di una matrice semisemplice e con parte nilpotente; si può passare direttamente al risultato generale, utilizzando la forma canonica di Jordan.
Per il teorema della decomposizione S + N la matrice
può comunque essere descritta come somma di una matrice semisemplice
ed una matrice nilpotente
, che commutano tra loro:
.
Allora vale la formula del binomio di Newton:
Per ogni matrice di tipo
, le soluzioni di
hanno componenti che si possono esprimere come
combinazioni lineari delle seguenti successioni:
Si noti che i
coefficienti del polinomio dipendono da
. Se si
vuole esprimere la dipendenza da
, e non da
, si può usare l'espressione
dove
è
un polinomio di grado
che contiene monomi di grado
.
Dimostrazione:
Definizione:
Si dice che
è una
mappa asintoticamente stabile
nel punto
se è stabile, ed inoltre
esiste un intorno
di
tale che
Supponiamo che
sia un'applicazione lineare,
cioè
con
una matrice
.
Poiché le successioni
contengono le potenze
-esime degli
autovalori, la stabilità della soluzione nulla
è controllata dai moltiplicatori di Lyapounov, che sono i
moduli degli autovalori: l'applicazione lineare è asintoticamente
stabile nel punto
se e solo se tutti i
moltiplicatori di Lyapounov sono minori di
.
Avere tutti i moltiplicatori di Lyapounov è
necessario, ma non sufficiente per la stabilità della soluzione
nulla; infatti in presenza di autovalori multipli di modulo
possono essere presenti termini a crescenza polinomiale nell'indice
.
L'analogia con il teorema del pozzo lineare può essere
resa esplicita definendo, in questo caso, gli
esponenti di Lyapounov
come i logaritmi naturali dei moltiplicatori di Lyapounov,
cioè come i numeri reali per ogni autovalore
della matrice
del sistema dinamico discreto lineare.
Questa seconda definizione di esponenti di Lyapounov è
coerente con la precedente, nel senso che segue. Se è un
sistema dinamico continuo lineare, ed i suoi esponenti di Lyapounov
sono
, con
, consideriamo il
sistema dinamico discreto lineare ottenuto per
discretizzazione con passo
:
Vale anche il risultato analogo dei teoremi del pozzo nonlineare e della sorgente nonlineare:
Sia
un sistema dinamico discreto,
un
punto fisso, tale che
, e
la matrice jacobiana
di
in
. Se tutti i moltiplicatori di Lyapounov di
sono
minori di 1, allora
è asintoticamente stabile in
; se tutti
i moltiplicatori di Lyapounov sono maggiori di 1,
è
asintoticamente stabile in
.
Dimostrazione omessa.
In generale, una successione può essere definita per ricorrenza da
una funzione di un certo numero di valori precedenti; per esempio si
parla di equazione alle differenze finite di
ordine 2 quando
Esempio:
Esercizio Studiare i seguenti problemi alle differenze finite lineari del secondo ordine:
Diamo di seguito alcuni esempi di modelli di fenomeni economici mediante equazioni alle differenze finite lineari. Gli esempi citati sono microeconomici, cioè descrivono la legge della domanda e dell'offerta per un singolo bene su di un dato mercato; esistono però anche modelli alle differenze finite di fenomeni macroeconomici, cioè dell'andamento di un intera economia.
Esempio:
Il modello della ragnatela dell'equilibrio di un mercato è un
sistema dinamico discreto lineare in , con tre variabili
la cui interpretazione è la seguente:
Il tempo è discreto, (come è logico perché i fenomeni
economici non possono essere istantanei).
Le equazioni del modello sono le seguenti:
![]() |
Si può comprendere dall'equazione (2) che l'unità di tempo corrisponde al tempo necessario per la produzione; per esempio può essere un anno per i prodotti agricoli che possono essere seminati e raccolti solo una volta all'anno.
Allora si può ricavare una singola equazione alle differenze finite per
la variabile che rappresenta il prezzo:
Qualitativamente la soluzione è un'oscillazione () che è
smorzata se
, amplificata se
; nel primo caso la
soluzione tende a
per
, seguendo un
percorso che ha l'aspetto di una ragnatela (se si congiunge ogni punto
dell'orbita con il successivo mediante due segmenti paralleli agli
assi, vedi Figura 4.1).
Esempio:
Il modello delle scorte si ottiene modificando, nel modello
della ragnatela, l'equazione di equilibrio di mercato,
assumendo che domanda ed offerta possano non essere in equilibrio e
generare delle scorte ; allora l'equazione (3) è rimpiazzata
da:
![]() |
Possiamo sintetizzare le equazioni (1), (2), (4) e (5) in un'unica equazione
alle differenze finite di ordine 2 per la variabile prezzo:
Andrea Milani 2009-06-01