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8.5 SISTEMI A COEFFICIENTI PERIODICI

 

Sommario Se la dipendenza dal tempo è periodica, il comportamento delle soluzioni può essere studiato tramite la mappa che descrive la trasformazione delle condizioni iniziali nelle soluzioni dopo un periodo. In questo modo si possono individuare le soluzioni periodiche (con lo stesso periodo), e discutere la loro stabilità. Nel caso lineare questa procedura fornisce un metodo di calcolo esplicito per decidere la stabilità delle soluzioni periodiche.

Sistemi periodici

Le soluzioni di sistemi di equazioni differenziali (non necessariamente lineari) con secondi membri periodici (rispetto al tempo) hanno delle proprietà valide in generale, che ci serviranno poi nel caso lineare.

Proprietà:

Lo studio della stabilità delle soluzioni del sistema a coefficienti periodici può essere ricondotto a quello della stabilità di B, nel senso di seguito precisato.

Definizione:

Teorema delle soluzioni periodiche :  Sia F(X,t) periodica nel tempo con periodo T. Se il flusso del sistema tex2html_wrap_inline48982 è definito per ogni tex2html_wrap_inline34368 , e tex2html_wrap_inline49040 , allora

Dimostrazione:

 C.D.D.

Equazioni lineari a coefficienti periodici

I risultati precedenti si applicano in particolare allo studio di alcune equazioni a coefficienti periodici che siano lineari.

Il moto (piccole oscillazioni) di un pendolo piano con lunghezza variabile in modo periodico è governato (in assenza di dissipazione) dall'equazione

displaymath49124

con tex2html_wrap_inline49126 (si suppone tex2html_wrap_inline49128 ) per un T>0, ovvero dal sistema

displaymath49118

in cui l'origine corrisponde alla posizione di equilibrio tex2html_wrap_inline49132 . Poiché Tr A(t)=0, per il teorema delle soluzioni periodiche , l'applicazione B è lineare e conserva l'area .

Le soluzioni del sistema sono stabili intorno all'origine se e solo se B è stabile, ovvero se e solo se le parti reali dei suoi autovalori hanno valore assoluto non superiore a 1, ossia se e solo se vale il criterio della traccia  |Tr B|<2; in tal caso, infatti, poiché tex2html_wrap_inline49144 gli autovalori B sono complessi coniugati, e la loro comune parte reale è pari a (Tr B/2) che è in modulo minore di 1 (se invece sono reali e distinti non possono avere entrambi modulo minore di 1).

In particolare Tr, come funzione che associa valori reali alle funzioni continue tex2html_wrap_inline35724 per mezzo della matrice B, è un operatore continuo (è continua la somma) tex2html_wrap_inline49160 : allora l'insieme tex2html_wrap_inline49162 delle funzioni continue tex2html_wrap_inline35724 per le quali il sistema è stabile

displaymath49166

è un aperto dello spazio tex2html_wrap_inline49168 (immagine inversa dell'aperto (-2,2)). In altre parole, perturbando un tex2html_wrap_inline35724 corrispondente ad un sistema stabile si ottiene un nuovo sistema ancora stabile: si parla in tal caso di sistema fortemente stabile  .

Esempio:


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997