8.4 SISTEMI A COEFFICIENTI VARIABILI

 

Sommario Per un sistema lineare non autonomo le soluzioni esistono per ogni valore della variabile indipendente per cui sono definiti e e continui i secondi membri. Si possono trarre conclusioni sulla stabilità dell'origine studiando l'evoluzione di un parallelepipedo intorno all'origine: se il volume tende a zero nel tempo, l'origine sarà un pozzo. Il volume evolve secondo un'equazione differenziale lineare in dimensione 1, in cui compare la traccia della matrice dei coefficienti del secondo membro.

Wronskiano

Il comportamento qualitativo delle soluzioni può essere studiato per mezzo del legame fra gli invarianti del flusso integrale e gli invarianti della matrice A(t).

Nel caso di un sistema lineare non autonomo   , in cui la matrice dei coefficienti dipende dal tempo, le soluzioni esistono ancora per ogni condizione iniziale, e sono tutte definite sull'intervallo I, per il teorema di esistenza (caso lineare) .

Definizione:

Si dice wronskiano   W(t) di un sistema di n funzioni vettoriali il determinante della loro matrice:

Il wronskiano di è il volume orientato del parallepipedo formato dai vettori , nel senso della misura di volume e dell'orientamento fissati dalla base di rispetto alla quale sono calcolate le componenti .

Teorema del determinante wronskiano :  Siano soluzioni di : allora

• il loro wronskiano W(t) è identicamente nullo se e solo se si annulla in un punto ;
• le formano un sistema fondamentale di soluzioni  se e solo se per un .
• se le formano un sistema fondamentale di soluzioni, allora il loro wronskiano W(t) soddisfa l'equazione

  

  ovvero .

Dimostrazione:

Il valore di influenza quello di W(t) tramite il flusso del sistema, che è un isomorfismo per ogni t: poiché ,



Sviluppando in serie la soluzione di si ottiene



ottenendo così anche lo sviluppo della matrice di



I coefficienti sono di ordine 0 rispetto a solamente per i=j: perciò nel determinante di ciascuno dei prodotti di n termini dei contribuisce al coefficiente di con gli elementi della diagonale , e lo sviluppo in serie del determinante risulta



Dunque per un generico t

 C.D.D.

Nel caso a coefficienti costanti si ottiene la formula della traccia .

Esempio:

Un'altalena può essere modellata, nel caso di piccole oscillazioni, come un pendolo lineare con lunghezza variabile nel tempo: l'equazione diventa in tal caso



La posizione di equilibrio non è mai asintoticamente stabile .

Infatti il sistema associato all'equazione è



se l'origine fosse asintoticamente stabile, il wronskiano del sistema sarebbe infinitesimo per , mentre per qualunque assegnata si ha Tr A(t)=0 e quindi .

Problema Nel caso con dissipazione, l'altalena con piccole oscillazioni è modellata dall'equazione

In quali casi la posizione di equilibrio è asintoticamente stabile ? (Soluzione)