6.3 INSIEMI IPERBOLICI

Sommario In presenza di punti omoclinici si può costruire un modello esplicito del comportamento caotico, definito mediante operazioni semplici come lo scorrimento di una sequenza biinfinita di cifre. I punti che corrispondono a questo modello formano un insieme omeomorfo al prodotto di due insiemi di Cantor, che sta nella chiusura dell'insieme delle orbite periodiche.

Il ferro di cavallo

Per descrivere in modo esplicito l'intreccio omoclinico che risulta dall'intersezione della separatrice stabile con quella instabile consideriamo un intorno di un segmento su una delle due. Sia $P$ un punto fisso iperbolico, $Q$ un punto omoclinico trasversale, e sia $C$ un intorno del segmento $PQ$ sulla separatrice stabile $W_s(P)$ (Figura 6.11). L'immagine $S(C)$ è accorciata lungo la separatrice stabile e allungata lungo quella instabile; queste deformazioni sono sempre più accentuate in $S^2(C), S^3(C)$ e così via, finché per un certo intero $n$ l'immagine $S^n(C)$ è ripiegata come un ferro di cavallo che tocca $C$ dai due lati, cioè $S^n(C)\cap C$ ha due componenti connesse.

Figura 6.11: Effetto della mappa su di un intorno di un segmento sulla separatrice stabile, che congiunge il punto fisso iperbolico $P$ con il punto omoclinico $Q$.

Possiamo supporre che un opportuno cambiamento differenziabile di coordinate trasformi il segmento $PQ$ della curva separatrice stabile in un segmento di retta e $C$ in un quadrato per semplificare la figura e la discussione seguente. Sempre a meno di opportuni cambiamenti di coordinate differenziabili, si può allora descrivere la mappa $G=S^n$ ristretta a $C$ mediante una sequenza di tre trasformazioni: $C=I\times I$ con $I=[0,1]$; prima $C$ viene compresso lungo l'asse corrispondente alla separatrice stabile (supponiamo che sia l'asse $x$), poi viene dilatato lungo l'asse corrispondente alla separatrice instabile (supponiamo che sia l'asse $y$), infine viene ripiegato a ferro di cavallo (Figura 6.12). L'intersezione $G(C)\cap C=C_0\cup C_2$ consiste di due rettangoli $C_0=A\times I$ e $C_2=B\times I$ con $A,B$ sottointervalli di $I$. Possiamo supporre che la matrice jacobiana di $S^n$ su $G^{-1}(C_0)$ sia

$$DS^n=\left[\begin{array}{cc}{\lambda}&{0}\\ {0}&{\lambda^{-1}}\end{array}\right]$$

con $0<\lambda<1/2$; invece su $G^{-1}(C_2)$

$$DS^n=\left[\begin{array}{cc}{-\lambda}&{0}\\ {0}&{-\lambda^{-1}}\end{array}\right]$$

dove i segni meno derivano dalla rotazione di $\pi$ che ha subito il secondo lembo del ferro di cavallo.

Figura 6.12: La costruzione della mappa a ferro di cavallo. In alto: l'intorno $C$ di un segmento della separatrice, rappresentato come un quadrato; la sequenza di trasformazioni che fornisce la mappa del ferro di cavallo. I due rettangoli che andranno a finire, mediante $G$, nelle due componenti connesse di $C\cap G(C)$ sono indicati ad ogni passo. In basso: al centro $C\cap G(C)$, a sinistra la sua immagine inversa $G^{-1}(C)\cap C$, a destra la sua immagine $G(C)\cap G^2(C)$, la cui intersezione con $C$ consiste di quattro rettangoli.

A questo punto iteriamo la mappa $G=S^n$, e consideriamo le immagini successive: $C\cap G(C)\cap G^2(C)$ sono quattro rettangoli verticali (Figura 6.12), $C\cap G(C)\cap G^2(C)\cap G^3(C)$ otto rettangoli, e in generale $\bigcap_{k=0}^N G^k(C)$ sono $2^N$ rettangoli verticali, prodotto di $2^N$ sottointervalli di $I$ disgiunti per $I$. Allora

$$\bigcap_{k=0}^{+\infty} G^k(C)= K\times I$$

dove $K$ è un insieme di Cantor, un insieme chiuso senza punti interni che si ottiene appunto con infinite ripetizioni dell'operazione di togliere un segmento centrale (aperto) da ogni segmento chiuso.

Un ragionamento del tutto analogo vale per la mappa inversa $G^{-1}$:

$$G^{-1}(C_0\cup C_2)=G^{-1}(C\cap G(C))=G^{-1}(C)\cap C$$

sono due rettangoli orizzontali, $\bigcap_{k=0}^N G^{-k}(C)$ sono $2^N$ rettangoli orizzontali, prodotto di $I$ per $2^N$ sottointervalli di $I$ disgiunti. Allora

$$\bigcap_{k=0}^{+\infty} G^{-k}(C)= I\times K$$

e l'intersezione di tutte le iterazioni

$$\bigcap_{k=-\infty}^{+\infty} G^{k}(C)= K\times K =\Lambda$$

è il prodotto di due insiemi di Cantor. L'insieme $\Lambda$ è invariante per il sistema dinamico discreto definito da $G=S^n$, e si chiama insieme di Smale.

La discussione precedente costituisce una traccia di dimostrazione del seguente enunciato: se un punto fisso iperbolico ha un punto omoclinico trasversale, allora esiste un insieme (chiuso, compatto, senza parte interna) invariante per un'iterata della mappa, che è omeomorfo al prodotto di due insiemi di Cantor. Per una presentazione più dettagliata si rimanda al lavoro originale [Smale 67].

Dinamica simbolica

La dinamica definita dalla mappa $G=S^n$ ristretta all'insieme di Smale $\Lambda$ ha delle proprietà molto interessanti, ed è suscettibile di una descrizione esplicita che va sotto il nome di dinamica simbolica. Per ottenere questa descrizione introduciamo il concetto di storia di un punto $X\in \Lambda$. Se $X$ sta in $\Lambda$ deve appartenere o a $C_0$ o a $C_2$; allora il suo `presente' è descritto qualitativamente dal simbolo 0 oppure dal simbolo 2. $G(X)$ a sua volta appartiene o a $C_0$ o a $C_2$, quindi l'immediato `futuro' è descritto qualitativamente da un'altra scelta tra gli stessi due simboli; lo stesso vale per l'immediato passato, che sarà descritto da 0 se $G^{-1}(X)\in C_0$, da 2 se $G^{-1}(X)\in C_2$. In generale definiamo la sequenza biinfnita (funzione a valori interi) ${\{a_k\}}, k\in {\bf Z}$ in questo modo:

$$a_k=0\ se \ G^k(X)\in C_0\ \; a_k=2\ se \ G^k(X)\in C_2\ .$$

La sequenza ${\{a_k\}}$ descrive la storia di $X$ nel senso di registrare l'appartenenza all'una o all'altra delle due componenti connesse dei punti dell'orbita di $X$.

Le storie possibili dei punti di $\Lambda$, cioè le funzioni definite su ${\bf Z}$ e a valori in $\{0,2\}$, formano l'insieme ${\{0,2\}}^{{\bf Z}}$ a cui si può attribuire una topologia nel modo seguente: un intorno della sequenza ${\{a_k\}}$ è costituito da tutte le sequenze ${b_k}$ tali che

$$b_k=a_k \ per \ \vert k\vert<m \ .$$

Si può verificare che tali insiemi, per ogni intero $m$, soddisfano alla definizione di un sistema fondamentale di intorni e perciò definiscono una topologia.

Lemma:

La corrispondenza tra un punto $X$ e la sua storia ${\{a_k\}}$ è un omeomorfismo


$$\Phi : \Lambda \longrightarrow {\{0,2\}}^{{\bf Z}} \ .$$





Dimostrazione del lemma:

La continuità di questa applicazione si può verificare direttamente dalla definizione della topologia su ${\{0,2\}}^{{\bf Z}}$, tenendo conto che la mappa $G$ è pure continua.

Il passaggio più delicato consiste nel verificare che la corrispondenza è biunivoca. Se due punti hanno la stessa storia per il futuro ($a_k=b_k$ per $k>0$) la differenza tra loro nella coordinata $y$ è minore di $1/2^k$ per ogni $k$, cioè le coordinate $y$ sono uguali. Se hanno la stessa storia passata ($a_k=b_k$ per $k<0$) la differenza nella $x$ è minore di $2^{-k}$ per ogni $k$, cioè le coordinate $x$ sono uguali. Se la corrispondenza tra punti e la loro storia è continua e biunivoca, allora è un omeomorfismo.

C.D.D. lemma

Il lemma implica una proprietà veramente notevole della dinamica sull'insieme di Smale: ogni storia è possibile. Non importa quanto `strana' sia una storia, cioè una sequenza di simboli $0,2$, esisterà sempre un punto $X\in \Lambda$ la cui orbita si comporta proprio così. Per esempio, non importa quanto sia lunga una sequenza di $2$, cioè per quante iterazioni un'orbita resti in $C_2$ (più vicino al punto omoclinico $Q$ che al punto fisso $P$), a questi può sempre seguire sia un 2 che uno 0. Questo vuol dire che il comportamento di ogni orbita è imprevedibile. Non importa quanto bene si conoscono le condizioni iniziali, se queste sono note con un'approssimazione finita esiste sempre un orizzonte di prevedibilità, cioè un numero di iterazioni dopo le quali condizioni iniziali indistinguibili (secondo l'accuratezza disponibile) danno luogo a orbite lontane tra loro.

Il lemma fornisce un'altra costruzione dell'equivalenza topologica dell'insieme di Smale con un prodotto di due insiemi di Cantor. Infatti si può considerare il caso particolare di insieme di Cantor ottenuto come segue: partendo dal segmento $I=[0,1]$ se ne tolga il terzo centrale $(1/3, 2/3)$. Quindi si tolga il terzo centrale da ciascuno dei due intervalli rimasti, cioè si tolga $(1/9, 2/9) \cup (7/9, 8/9)$. Si prosegua togliendo al passo $N$-esimo da ciascuno dei $2^N$ intervalli chiusi rimasti il suo terzo centrale aperto. L'intersezione infinita di tutti gli insiemi ottenuti dopo ogni passo è un insieme di Cantor $K_0$; gli insiemi di Cantor sono tutti omeomorfi. Però quello ottenuto con la particolare procedura del terzo centrale può essere descritto come segue: consideriamo i punti di $I=[0,1]$ rappresentati con uno sviluppo in base tre, cioè con ``cifre'' ${0,1,2}$. Allora $K_0$ è l'insieme di tutti i numeri tra 0 e 1 tali che nel loro sviluppo ternario non appare la cifra 1. (Attenzione: $1\in K_0$ può essere descritto come $0.22222\ldots$, e così $1/3=0.022222\ldots$.)

Di conseguenza l'omeomorfismo tra $\Lambda$ e $K_0\times K_0$ si può ottenere considerando la ``storia presente e futura'' ${\{a_k\}}, k\geq 0$ come un punto di $K_0$ e la ``storia passata'' ${\{a_k\}}, k<0$ come un altra coordinata pure $\in K_0$.

Definizione:

Si chiama scorrimento di Bernoulli l'applicazione

$$\sigma: {\{0,2\}}^{{\bf Z}} \longrightarrow {\{0,2\}}^{{\bf Z}}$$


così definita: data una sequenza ${\{a_k\}}\in {\{0,2\}}^{{\bf Z}}$, si fanno scorrere i simboli di un posto verso sinistra, cioè

$$\sigma(\{a_k\})=\{b_k\} \hspace{5mm},\hspace{5mm}b_k=a_{k+1} \ .$$



Si può verificare che lo scorrimento di Bernoulli è un omeomorfismo.

Se una sequenza $\{a_k\}$ è interpretata come la storia di un punto $X\in \Lambda$, allora la sua immagine mediante lo scorrimento di Bernoulli è la storia di un altro punto, che ha la stessa storia una sola iterazione prima. È facile verificare che questa è la storia dell'immagine $G(X)$ dello stesso punto. In altre parole se $\Phi$ è l'omeomorfismo tra i punti dell'insieme di Smale e le loro storie, $\sigma(\Phi(X))=\Phi(G(X))$, ovvero $G=\Phi^{-1}(\sigma(\Phi(X)))$.

Proprietà:

Le orbite periodiche sono dense nell'insieme di Smale.

Dimostrazione:

Sia $X\in \Lambda$ un punto dell'insieme di Smale e $\Phi(X)=\{a_k\}$ la sua storia. Un sistema fondamentale di intorni è dato dalle sequenze ${b_k}$ che coincidono con $\{a_k\}$ per $\vert k\vert<m$; per ognuno di questi intorni, cioè per ogni $m$, si costruisce un'orbita periodica come segue. Un'orbita periodica per lo scorrimento di Bernoulli è una sequenza ${b_k}$ periodica, in cui cioè una sequenza finita di lunghezza $r$ di simboli si ripete infinite volte ($r$ è un periodo). Allora dato $m$ si sceglie l'orbita periodica di periodo $2m+1$ ottenuta ripetendo infinite volte la sequenza finita $\{a_k\}, k=-m, \ldots, 0,\ldots, m$.

 C.D.D.

I punti periodici contenuti nell'insieme di Smale sono tutti iperbolici.

Teorema di Smale

Diamo un enunciato formale del teorema di Smale, che lega i punti omoclinici alle proprietà dell'insieme $\Lambda$.

Definizione:

Sia $G$ un diffeomorfismo di ${\bf R}^2$ (oppure ${\bf T}^2$). Un insieme $H$ invariante per $G$ si dice insieme iperbolico se esistono due costanti $c>0$ e $\lambda>1$ tali che per ogni punto $X\in H$ esistono due vettori $V_1, V_2$ tali che per ogni $m\in {\bf N}$
$$\begin{eqnarray*} \vert DG^m(X)\, V_1\vert &\leq& c\, \lambda^{-m} \vert V_1\ver... ...\vert DG^m(X)\,V_2\vert &\geq& c^{-1}\, \lambda^m \vert V_2\vert \end{eqnarray*}$$

Esempio:

Un punto fisso iperbolico è un insieme iperbolico. L'orbita di un punto periodico iperbolico è un insieme iperbolico.

Esempio:

Nella costruzione del ferro di cavallo, l'insieme invariante $\Lambda$ è iperbolico con $V_1=(1,0), V_2=(0,1)$, $c=1$ e $0<\lambda<1/2$.

Sia $S$ un diffeomorfismo di ${\bf R}^2$ (oppure ${\bf T}^2$), $P$ un suo punto fisso iperbolico, $Q$ un punto omoclinico trasversale. Allora esiste un intero $n$ ed un insieme compatto $\Lambda$, contenente sia $P$ che $Q$, invariante ed iperbolico per $G=S^n$, tale che la restrizione di $G$ a $\Lambda$ è coniugata mediante omeomorfismi allo scorrimento di Bernoulli $\sigma$ sulle sequenze biinfinite di due simboli, ossia

$$\Phi : \Lambda \longrightarrow {\{0,2\}}^{{\bf Z}}$$

è un omeomorfismo, e

$$G\vert _\Lambda = \Phi^{-1} \circ \sigma \circ \Phi \ .$$

Dimostrazione omessa. Per una dimostrazione si veda [Smale 67]. Per un'altra esposizione si può consultare [Guckenheimer-Holmes 97, cap.5].