3.5 GRADIENTI

Sommario Se un campo vettoriale $F$ è il gradiente di una funzione $-U$, il sistema dinamico definito da $F$ ammette $U$ come funzione di Lyapounov globale, e si possono calcolare esplicitamente tutti i bacini di attrazione. Quindi per i sistemi dinamici gradiente è particolarmente semplice, nella maggior parte dei casi, discutere l'esistenza delle soluzioni per ogni $t\in {\bf R}$, i punti limite e la stabilità degli equilibri.

Definizione:

Un sistema dinamico gradiente è un sistema dinamico continuo $\dot X = F(X)$ definito su un aperto $W\subset{\bf R}^n$ tale che il campo vettoriale $F(X)$ è il gradiente (con segno cambiato) di una funzione regolare $U$, di classe almeno $C^2$ su $W$:

$$\dot X =F(X)=-grad^T\, U(X)=-\left[\frac{\partial {U}}{\par... ... {x_2}},\ldots, \frac{\partial {U}}{\partial {x_n}}\right]^T$$



Il simbolo di trasposto è necessario perché il gradiente è un vettore riga, mentre $F(X)$ è un vettore colonna. Per semplificare la notazione si usa il simbolo $\nabla U=grad^T\, U$ che indica il gradiente come vettore colonna, cioè il vettore colonna con le derivate parziali come componenti.

Figura: Il gradiente come campo vettoriale. Nella figura sono disegnate sia alcune linee di livello, sia il gradiente in un reticolo di punti, per la funzione $U=-1/2y^2+ \cos x$.



La funzione $-U(X)$ si indica anche con il nome di potenziale del campo vettoriale conservativo $F(X)$; si faccia però attenzione a non confondere il potenziale dei sistemi gradienti, che è il potenziale di un campo vettoriale opposto alle velocità, con l'opposto dell'energia potenziale (per unità di massa) nei sistemi newtoniani, che è il potenziale del campo vettoriale che esprime l'accelerazione.

Il campo vettoriale $\nabla U=-grad^T\,U$ è perpendicolare in ogni punto alle superfici di livello $U(X)=cost$ (per il teorema della funzione implicita; si veda la Figura 3.6), e si annulla solo nei punti stazionari della funzione $U$, che sono anche punti di equilibrio per il sistema dinamico gradiente. La stabilità di questi punti di equilibrio può essere studiata utilizzando sia il metodo della funzione di Lyapounov che quello della linearizzazione nei punti di equilibrio.

Il potenziale come funzione di Lyapounov

Un sistema dinamico gradiente è dotato in modo naturale di funzioni di Lyapounov, che sono semplicemente $L(X)=U(X)+cost$. Infatti la derivata totale

$$\dot U(X)= - grad\,U(X) \cdot \nabla U(X)= -\vert grad\,U(X)\vert^2 \leq 0$$

e si annulla solo nei punti di equilibrio. Perciò ogni punto $S$ di minimo locale non degenere per $U(X)$ è un punto di equilibrio asintoticamente stabile per il sistema dinamico gradiente, con funzione di Lyapounov stretta $U(X)-U(S)$. La disponibilità di una funzione di Lyapounov ``globale'' consente di ottenere conclusioni molto precise anche sui limiti e sui bacini di attrazione.

Sia $X(t)$ una soluzione del sistema gradiente $\dot X=-\nabla U(X)$ definito sull'aperto $W$, tale da mantenersi per ogni $t>0$ dentro un compatto $K$ contenuto in $W$. Supponiamo inoltre che i punti di equilibrio del sistema dinamico (cioè i punti stazionari di $U$) siano isolati. Allora il limite per $t\to +\infty$ della soluzione $X(t)$ esiste, ed è un punto stazionario di $U(X)$.

Dimostrazione:

La soluzione $X(t)$ è definita per ogni $t>0$ perché resta in un compatto $K\subset U$, quindi si applica il teorema di continuazione delle soluzioni. Se $K$ è compatto, ogni successione $X(t_m)$ con $t_m\to +\infty$ deve avere una sottosuccessione convergente, ossia $X(t)$ deve avere qualche valore limite $Z$ per $t\to +\infty$. Ripetendo lo stesso ragionamento usato nella dimostrazione del teorema di funzione di Lyapounov decrescente, si ottiene che la funzione $U$ è costante sulla soluzione con condizione iniziale $Z$. Ma in un sistema gradiente $\dot U=0$ solo nei punti di equilibrio, quindi il valore limite $Z$ è un equilibrio.

Resta da provare che il valore limite è un solo punto di equilibrio. Poiché i punti di equilibrio sono isolati, l'insieme dei valori limite non può contenerne più di uno per non essere sconnesso, il che contraddirebbe il teorema di invarianza degli insiemi limite.

 C.D.D.

Poiché la funzione di Lyapounov $U(X)+cost$ è globale, cioè vale su tutto l'insieme $W$ su cui è definito il sistema dinamico, è possibile dare delle descrizioni globali dei bacini di attrazione in termini dei valori di $U$. Supponiamo per esempio che $S$ sia un punto di minimo locale non degenere (quindi isolato) per $U$, e che $U(S)=c$ sia il valore di questo minimo: allora per ogni $\varepsilon>0$ l'insieme

$$U^{-1}[c,c+\varepsilon]=\{X\in W\vert c\leq U(X)\leq c+\varepsilon\}$$

è un intorno di $S$, e per $\varepsilon$ abbastanza piccolo la sua componente connessa $Z$ contenente $S$, non conterrà altri punti stazionari. Allora $Z$ è positivamente invariante, ed è contenuto nel bacino del punto asintoticamente stabile $S$. Per esempio in dimensione 2, se supponiamo che tutti i punti stazionari di $U$ siano non degeneri (la matrice hessiana non abbia autovalore 0), allora ci sono solo tre tipi di punto stazionario: i minimi (locali forti), i massimi (locali forti), ed i punti di sella. Per trovare i bacini di attrazione dei punti di minimo basta quindi tracciare le curve di livello $U(x,y)=h_i$ dove $h_i$ sono i valori di $U$ corrispondenti ai punti di sella: gli aperti connessi delimitati da queste curve di livello e contenenti i minimi sono contenuti nei bacini di attrazione.

Esempio:

Consideriamo la funzione che descrive il prodotto delle distanze al quadrato da due punti, per esempio da $(1,0)$ e $(-1,0)$

$$U(x,y)=[(x-1)^2 +y^2]\cdot [(x+1)^2+y^2]= 1 -2x^2+2y^2 +(x^2+y^2)^2$$


Essa avrà ovviamente due minimi assoluti nei due punti stessi, dove una delle due distanze è zero; inoltre $U\to +\infty$ per $(x,y)\to \infty$. Ci sono solo tre punti stazionari, $(-1,0),(0,0),(1,0)$; l'origine è un punto di sella (Figura 3.7).

Il sistema dinamico gradiente che ha $-U(x,y)$ come potenziale


$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\disp... ...aystyle=} &{\displaystyle 4y(-1-x^2-y^2)} \end{array}\right.$$


ha quindi ogni soluzione definita per ogni $t>0$, e con punto limite uno dei tre punti stazionari.

Figura 3.7: Il gradiente come sistema dinamico. Per la funzione $U(x,y)=1 -2x^2+2y^2 +(x^2+y^2)^2$ sono disegnate alcune linee di livello e alcune soluzioni del sistema dinamico gradiente.

Problema Nell'esempio precedente, dimostrare che le soluzioni con condizioni iniziali $(0,y_0)$ hanno il punto di sella $(0,0)$ come punto limite per $t\to +\infty$, mentre tutte le soluzioni con condizioni iniziali $(x_0,y_0)$ con $x_0\neq 0$ appartengono ai bacini dei due minimi. (Soluzione)

Punti stazionari ed hessiani

Un'altra proprietà caratteristica dei sistemi dinamici gradienti è che i sistemi linearizzati nei punti di equilibrio sono descritti da matrici simmetriche. Se $\dot X=F(X)=-grad^T\,U(X)$, ed $F(S)=\underline 0$:

$$\frac{d{(X-S)}}{d{t}} = \frac{\partial {F}}{\partial {X}} (S... ...ial^2 {U}}{\partial {X}^2} (S) \;(X-S)+ O(\vert X-S\vert^2)\ .$$

Se il campo vettoriale gradiente $F(X)$ è di classe $C^1$, la funzione $U$ è di classe $C^2$ e, per il teorema delle derivate miste, le derivate seconde non dipendono dall'ordine di derivazione. Il sistema linearizzato ha come matrice meno la matrice hessiana delle derivate seconde, che risulta simmetrica:

$$A=\left(-\frac{\partial^2 {U}}{\partial {x_i}\,\partial{x_j}}(S)\right)_{i=1,n,\ j=1,n}\hspace{5mm},\hspace{5mm}A^T=A \ .$$

Per il teorema di diagonalizzazione delle forme quadratiche gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali, quindi coincidono con gli esponenti di Lyapounov del sistema linearizzato nel punto stazionario. Perciò si ha un pozzo dove la matrice hessiana è definita positiva (cioè quando $U$ ha un minimo non degenere), ed una sorgente dove $U$ ha un massimo non degenere. In tutti i casi in cui esistono autovalori con segni discordi si ha una situazione come quella della sella, cioè un punto stazionario per $U$ che non è un estremo ha un bacino, ma non sta nella parte interna del suo bacino.

Esercizio Consideriamo i sistemi dinamici gradiente in ${\bf R}^2$:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\disp... ...style -\frac{\partial {Q}}{\partial {y}}} \end{array}\right.$$

dove $Q(x,y)$ è una forma quadratica omogenea non degenere. Dimostrare che possono avere un solo punto di equilibrio, e che questo può essere soltanto del tipo nodo o sella, ma né centro, né fuoco, né nodo improprio. (Soluzione)

Esercizio Studiare il sistema

$$\frac{d{}}{d{t}} \left[\begin{array}{c}{x}\\ {y}\end{array... ...array}{c}{-2xy+y^2+y}\\ {-x^2+x+2xy-2y}\end{array}\right]\;.$$

(Soluzione)